唐進(jìn)元， 馮俊易， 關(guān)先磊

(中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083)

軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模與分析是轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)研究?jī)?nèi)容。例如渦輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)硬盤驅(qū)動(dòng)器系統(tǒng)[1-4]，齒輪系統(tǒng)[5-6]等均需要精準(zhǔn)的軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的建模與分析。

目前多采用有限元法和假設(shè)模態(tài)法等數(shù)值方法建立軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。Shahab等[7]建立了最多3個(gè)均勻分布轉(zhuǎn)盤的軸-盤轉(zhuǎn)子數(shù)學(xué)模型，并分析了轉(zhuǎn)盤參數(shù)中“厚度/外半徑”比值對(duì)固有頻率的影響，當(dāng)“厚度/外半徑”比值很小時(shí)，耦合的固有頻率接近于未耦合的固有頻率；相反，耦合效應(yīng)將更加明顯。

Lee等[1]采用子結(jié)構(gòu)綜合法和假設(shè)模態(tài)法研究了軸-葉盤系統(tǒng)上的葉盤柔性，指出了只有一個(gè)節(jié)徑的轉(zhuǎn)盤模式將與軸耦合。后來(lái)在另一項(xiàng)研究中，使用假設(shè)模態(tài)法研究了短軸雙盤系統(tǒng)和長(zhǎng)軸雙盤系統(tǒng)。并發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)盤的同相模態(tài)振型下傾向于強(qiáng)化轉(zhuǎn)軸的凈轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而異相模態(tài)振型下則傾向于削弱轉(zhuǎn)軸的凈轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

此外，Lim和Jang等研究了硬盤驅(qū)動(dòng)器系統(tǒng)，前者采用有限元方法和試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，指出可以將該系統(tǒng)劃分成少量的有限單元網(wǎng)格，得到系統(tǒng)柔性耦合振動(dòng)特性；后者采用了有限元法和子結(jié)構(gòu)綜合法研究，考慮了包括滾珠軸承在內(nèi)的柔性支承結(jié)構(gòu)的硬盤驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，說(shuō)明了柔性支承結(jié)構(gòu)的剛性連接約束對(duì)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)硬盤驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率具有重要作用。Jia[9]采用假設(shè)模態(tài)法建立了柔性軸-多轉(zhuǎn)盤系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)盤的柔性的增加通常會(huì)降低系統(tǒng)的固有頻率。

近年來(lái)，軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模與分析的研究是熱點(diǎn)研究?jī)?nèi)容。但系統(tǒng)中一些參數(shù)對(duì)動(dòng)力學(xué)特性的影響還有待于拓展和完善。Heydari等[10]分析了柔性轉(zhuǎn)盤的位置和“徑厚比(轉(zhuǎn)盤外圓半徑/轉(zhuǎn)盤厚度)”對(duì)軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率和臨界速度的影響，但是并沒(méi)有解釋在結(jié)合頻率變化規(guī)律時(shí)考慮轉(zhuǎn)盤位置、轉(zhuǎn)盤外半徑對(duì)該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，有些轉(zhuǎn)盤位置和徑厚比對(duì)動(dòng)力學(xué)特性影響的結(jié)論值得進(jìn)一步商榷。因此，本文提出等頻線的概念以描述頻率變化規(guī)律(以相對(duì)轉(zhuǎn)盤位置、轉(zhuǎn)盤相對(duì)外半徑為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)繪制固有頻率的變化圖，根據(jù)圖中所呈現(xiàn)的線條規(guī)律，固有頻率的值在水平范圍內(nèi)或垂直范圍內(nèi)保持不變，而形成的線條本文將其定義為“等頻線”。)，在此基礎(chǔ)上分析轉(zhuǎn)盤位置和轉(zhuǎn)盤外半徑對(duì)系統(tǒng)坎貝爾圖和模態(tài)的影響。

本文首先通過(guò)無(wú)量綱物理量(軸半徑ri、轉(zhuǎn)盤外半徑rD、轉(zhuǎn)盤厚度hD和轉(zhuǎn)盤位置lD)參數(shù)化分析，揭示這些參數(shù)對(duì)柔性軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的耦合振動(dòng)特性中固有頻率的影響，采用“等頻線”描述參數(shù)化研究中固有頻率的變化規(guī)律，在垂直等頻線和水平等頻線基礎(chǔ)上選取特定的參數(shù)變化，判定相應(yīng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，本文研究結(jié)果可為研究柔性軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性時(shí)提供結(jié)構(gòu)參數(shù)的參考依據(jù)。

1 柔性軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

1.1 坐標(biāo)系

具有簡(jiǎn)支邊界條件的軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的示意圖,如圖1所示。為了描述圓盤的柔性變形和剛性運(yùn)動(dòng)，引入了3個(gè)坐標(biāo)系：

圖1 軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)原理圖及坐標(biāo)系示意圖

(1)O0X0Y0Z0為固定慣性坐標(biāo)系，用C0坐標(biāo)系表示，Z0軸為沿轉(zhuǎn)軸的軸線。

(2)O1X1Y1Z1為以恒定速度Ω,r/s，繞O0X0Y0Z0的Z0軸建立的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，用C1坐標(biāo)系表示，用于描述軸的彎曲振動(dòng)和轉(zhuǎn)盤的剛性運(yùn)動(dòng)，其原點(diǎn)O1與O0一致，Z1軸與Z0軸一致。

(3)O2X2Y2Z2為以O(shè)2為原點(diǎn)建立的擺動(dòng)坐標(biāo)系，用C2坐標(biāo)系表示，可以用來(lái)描述圓盤的橫向振動(dòng)，O2為轉(zhuǎn)盤部分的中心點(diǎn)同時(shí)也是轉(zhuǎn)軸部分的中心點(diǎn)，Z2軸垂直于轉(zhuǎn)盤和軸截面。

(a)

e1=Te2

T=

(1)

1.2 轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)盤上任意一點(diǎn)的速度

圓形截面的Timoshenko軸的柔性變形位移在C1坐標(biāo)系中定義，分別用沿X1方向的uS和沿Y1方向vS表示， 因此，任意軸截面的中心點(diǎn)的位置矢量為C1rO1O2=[uSvSz]e1,C1rO1O2左上標(biāo)C1為該矢量在C1坐標(biāo)系中定義，下標(biāo)O1O2為該矢量從O1點(diǎn)指向O2點(diǎn)，z為軸截面的坐標(biāo)。在C2坐標(biāo)系中，轉(zhuǎn)軸截面上任意一點(diǎn)相對(duì)于轉(zhuǎn)軸截面中心的位置矢量可以用極坐標(biāo)的形式表示為C2rO2S=[rcosθrsinθ0]e2，其中位置矢量下標(biāo)O2S為從O2點(diǎn)產(chǎn)生的速度矢量。然后可以得到轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)相對(duì)于O1坐標(biāo)系的位置矢量為rS=C1rO1O2+C2rO2S，對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得軸上任意點(diǎn)的絕對(duì)速度

(2)

式中,ωC0C1和ωC0C2分別為C1和C2相對(duì)于慣性系C0的瞬時(shí)角速度，此外，若不考慮表示軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的扭轉(zhuǎn)角θz，ωC0C2的線性化形式可以表示為

(3)

式中，Ω為軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)速。忽略3階項(xiàng)和3階以上高階項(xiàng)，轉(zhuǎn)軸中任意點(diǎn)的速度表示為

(4)

注意到，所有的位移都是坐標(biāo)z的函數(shù)?；诮?jīng)典薄板理論建立的薄環(huán)形圓盤，如圖1所示。圓盤中心與軸截面的中心剛性連接，這意味著圓盤的內(nèi)邊界始終垂直于連接點(diǎn)處的軸。與轉(zhuǎn)軸類似，轉(zhuǎn)盤上任意一點(diǎn)位置矢量可寫成

C2rO2D=[rcosθrsinθwD]e2

式中,wD為極坐標(biāo)r和θ的函數(shù)，代表轉(zhuǎn)盤的橫向位移。與式(2)同理，轉(zhuǎn)盤上任意一點(diǎn)的速度具體表達(dá)式為

(5)

1.3 能量表示

轉(zhuǎn)軸的動(dòng)能方程保留二階及以下低階項(xiàng)可以表示為

(6)

轉(zhuǎn)盤的動(dòng)能可化簡(jiǎn)表示為

(7)

式中:Ri和Ro分別為轉(zhuǎn)盤的內(nèi)外半徑,同時(shí)Ri也為轉(zhuǎn)軸的半徑;h為轉(zhuǎn)盤的厚度。從式(7)可知，第一部分表示剛性平移和轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能，第二部分表示橫向振動(dòng)的動(dòng)能，最后一部分描述軸與盤之間的耦合效應(yīng)。

Timoshenko轉(zhuǎn)軸的應(yīng)變能表示為

(8)

式中:E為楊氏模量；其中к=6(1+μ)/(7+6μ)，к為剪切修正系數(shù);μ為泊松比；G為剪切模量。薄環(huán)形盤由于橫向振動(dòng)而產(chǎn)生的應(yīng)變能為

(9)

此外，由于旋轉(zhuǎn)引起的應(yīng)變能為

(10)

式中,σr和σθ為徑向方向和圓周方向上由于旋轉(zhuǎn)引起的初始應(yīng)力。

總應(yīng)變能可表示為VD=VD1+VD2。

1.4 能量表達(dá)的離散化

本節(jié)將采用有限元法和假設(shè)模態(tài)法[11]對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行離散。具有兩個(gè)4自由度節(jié)點(diǎn)的軸單元，如圖3所示。兩個(gè)平移自由度用沿x軸的uSi和沿y軸的vSi(i=1,2)表示，兩個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度用繞x軸的θxi和繞y軸的θyi表示。因此，軸單元的位移矢量e可以表示為

圖3 Timoshenko轉(zhuǎn)軸單元和環(huán)狀轉(zhuǎn)盤單元

(11)

式中,ω為要確定的圓頻率。轉(zhuǎn)軸單元的橫向位移函數(shù)可以用形函數(shù)的形式表示為

(12)

式中:Nui(i=1,2,3,4)為轉(zhuǎn)軸橫向形狀函數(shù)單元;NS,u和NS,v為由Nui組成的轉(zhuǎn)軸橫向位移形函數(shù)。

此外，轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)位移表示為

(13)

式中：Nφi(i=1,2,3,4)為轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)位移形狀函數(shù)單元；NS,θx和NS, θy為由Nφi組成的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)位移形函數(shù)。

將形函數(shù)代入能量表達(dá)式，即可得到軸單元能量表達(dá)式的矩陣形式。動(dòng)能表示為

(14)

其中,

(15)

應(yīng)變能表示為

(16)

其中,

(17)

式中,le為軸單元的長(zhǎng)度。

如圖3所示，用環(huán)單元來(lái)離散化轉(zhuǎn)盤。環(huán)單元中定義了3個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中第一個(gè)是假定位于幾何中心的四自由度節(jié)點(diǎn)，同時(shí)也是軸單元的節(jié)點(diǎn)。另外兩個(gè)節(jié)點(diǎn)位于環(huán)單元同一條徑向線上的內(nèi)邊界和外邊界，其中包含橫向位移wdi(d=s,c和i=2,3)和繞轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)角度φdi(d=s,c和i=2,3)。環(huán)單元第一個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移矢量為

(18)

式中,下標(biāo)“SD”為將軸與轉(zhuǎn)盤連接的耦合節(jié)點(diǎn)。包含余弦和正弦項(xiàng)在內(nèi)的其他兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移矢量為

(19)

環(huán)單元的橫向位移表示為

(20)

式中,n為節(jié)徑數(shù)目。NDw為環(huán)單元的形函數(shù)，表示為

NDw1=1-3ξ2+2ξ3,NDw2=(Ro-Ri)ξ(ξ-1)2,

NDw3=3ξ2-2ξ3,NDw4=(Ro-Ri)ξ2(ξ-1),

ξ=(r-Ri)/(Ro-Ri)

(21)

為了方便地組裝單元矩陣，將3個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移矢量組合在一起，表示為

(22)

環(huán)單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)可表示為

(23)

環(huán)單元的橫向位移可表示為

(24)

轉(zhuǎn)盤動(dòng)能表達(dá)的矩陣形式為

(25)

其中,

(26)

(28)

環(huán)單元的應(yīng)變能表示為

(29)

其中，

(30)

1.5 軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

將能量表達(dá)式寫成形函數(shù)乘以位移矢量的形式后，應(yīng)用拉格朗日方程導(dǎo)出有限元法中軸單元和環(huán)單元的單元矩陣

(31)

式中，L=T-U，T為動(dòng)能，U為應(yīng)變能(i=S或者D，指該參數(shù)為轉(zhuǎn)軸或者轉(zhuǎn)盤對(duì)應(yīng)的參數(shù))。

組裝軸單元矩陣和環(huán)單元矩陣的示意圖，如圖4所示。通過(guò)將所有軸單元和環(huán)單元組裝在一起，可以得到多盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的微分方程組

圖4 軸單元和環(huán)單元矩陣組裝到總體矩陣的示意圖

(32)

式中:M，G，K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、陀螺、剛度矩陣；δ為系統(tǒng)的位移向量。

2 結(jié)果與分析

在本章節(jié)中，將使用幾個(gè)例子來(lái)分析軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的耦合自由振動(dòng)特性。根據(jù)第1章的柔性軸-盤轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型，柔性軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)可以由軸長(zhǎng)LS，m，軸半徑Ri，m，轉(zhuǎn)盤外半徑Ro，m，轉(zhuǎn)盤厚度HD，m和軸上的轉(zhuǎn)盤位置LD，m等參數(shù)來(lái)定義。材料參數(shù)包括楊氏模量E，N/m2，密度ρ，kg/m3和泊松比μ。本文中暫不考慮材料參數(shù)的影響，因此在算法程序上和ANSYS軟件仿真時(shí)采用相同的固定的材料參數(shù)。

在2.1節(jié)中，首先研究了數(shù)值模擬的計(jì)算收斂性，如表1所示。再用ANSYS軟件進(jìn)一步驗(yàn)證模型，ANSYS軟件建模過(guò)程如下：材料參數(shù)設(shè)置為與算法程序相同的固定值(E=2×1011N/m2,ρ=7 700 kg/m3,μ=0.3)。定義轉(zhuǎn)軸單元類型為solid95，定義轉(zhuǎn)盤單元類型為shell181，定義shell181單元相對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)盤厚度HD,m。繪制軸-盤轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)實(shí)體后進(jìn)行自定義的網(wǎng)格劃分,如圖5和圖6所示。將轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)盤連接處的網(wǎng)格進(jìn)行節(jié)點(diǎn)耦合，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)盤的耦合。ANSYS整體模型，如圖7所示，施加與算法程序相同的邊界條件后，用ANSYS軟件的分塊蘭索斯求解方法求解零轉(zhuǎn)速下的軸-盤轉(zhuǎn)子模型的模態(tài)，得到表2和表3中ANSYS固有頻率計(jì)算結(jié)果；用ANSYS中QR阻尼求解方法，考慮陀螺效應(yīng)，求解不同轉(zhuǎn)速下的軸-盤轉(zhuǎn)子模型的模態(tài)，得到表4中ANSYS固有頻率計(jì)算結(jié)果。

圖5 轉(zhuǎn)軸網(wǎng)格劃分的軸端視圖

圖6 ANSYS軸-盤網(wǎng)格單元節(jié)點(diǎn)耦合以及轉(zhuǎn)盤網(wǎng)格劃分示例

圖7 軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)ANSYS模型局部視圖

圖8～圖15的結(jié)果都是無(wú)量綱的固有頻率，如果沒(méi)有另外說(shuō)明，軸的邊界條件都是兩端簡(jiǎn)支固定。此外，本文中只考慮轉(zhuǎn)盤模態(tài)為一節(jié)徑型模態(tài)的結(jié)果。

2.1 收斂與驗(yàn)證

首先，研究了所提出數(shù)值模型的收斂性，如表1所示。其中ri=0.01，rD=0.2，hD=0.01，lD=0.5?？梢钥闯觯词乖?-6-6網(wǎng)格的情況下，前4個(gè)固有頻率也收斂到一個(gè)穩(wěn)定值。說(shuō)明了算法程序不會(huì)因網(wǎng)格數(shù)量的改變而引起固有頻率計(jì)算結(jié)果的明顯差異，驗(yàn)證了程序的有效性。

其次，對(duì)于單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，軸一般分為兩段，每一段的單元數(shù)量見(jiàn)表1，為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出模型的準(zhǔn)確性，使用另一個(gè)不同參數(shù)的例子(LS=0.46 m，Ri=0.01 m，LD=0.18 m，Ro=0.125 m，HD=0.006 m)，在表2中給出自由邊界條件下的有限元結(jié)果的比較，在表3中給出了表2例子簡(jiǎn)支固定邊界條件下與有限元結(jié)果的比較，以及與Heydari等研究的例子結(jié)果的比較。從表2和表3可知，ANSYS結(jié)果驗(yàn)證了Heydari等所提出計(jì)算方法的有效性，同時(shí)驗(yàn)證了本文所用到計(jì)算程序的有效性。

表1 在簡(jiǎn)支固定的邊界條件下，軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前8階耦合無(wú)量綱固有頻率的收斂性

表2 兩端自由邊界條件下單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率與ANSYS結(jié)果的比較

表3 簡(jiǎn)支固定邊界條件下單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率與ANSYS結(jié)果和參考文獻(xiàn)結(jié)果的比較

在表4中，運(yùn)用與表2相同的幾何參數(shù)，將不同轉(zhuǎn)速下的固有頻率與ANSYS的固有頻率進(jìn)行了比較。從表4可知，隨著轉(zhuǎn)速的增加，結(jié)果變化趨勢(shì)類似，考慮到兩者都是計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真結(jié)果，兩個(gè)結(jié)果之間的誤差是可以接受的，從而驗(yàn)證了本文所使用繪制坎貝爾圖程序的有效性。

表4 不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)固有頻率本文計(jì)算結(jié)果(上)與ANSYS分析結(jié)果(下)的比較

2.2 軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的參數(shù)分析

在本節(jié)中，將研究ri，rD，hD和lD4個(gè)幾何參數(shù)對(duì)軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響。遵從實(shí)際情況，這些參數(shù)的范圍并非無(wú)限?？紤]到軸始終是細(xì)長(zhǎng)軸且轉(zhuǎn)盤始終是薄盤這個(gè)前提，幾個(gè)參數(shù)的大致變化范圍是：0.005≤ri≤0.050，0.1≤rD≤1.0，0.005≤hD≤0.050，0≤lD≤0.5，此外，本文中采用Timoshenko梁理論和經(jīng)典薄板理論，不適用于短而厚的軸和厚圓盤?？梢园l(fā)現(xiàn)，ri和hD的范圍相比rD和lD的變化范圍小得多，為了結(jié)果更加合理，主要研究rD和lD這兩個(gè)參數(shù)的影響。

首先，設(shè)置ri=0.010，hD=0.010，令rD從0.05～1.00變化，令lD從0～0.5變化。軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前6個(gè)耦合無(wú)量綱固有頻率λ相對(duì)于lD和rD的趨勢(shì)，如圖8所示(圖8中每一個(gè)小圖右側(cè)縱坐標(biāo)代表λ的數(shù)值大小)。一般來(lái)說(shuō)，隨著轉(zhuǎn)盤外半徑rD的增大，λ逐漸減小，而隨著rD的增大，λ逐漸增大和減小，這在高階固有頻率上表現(xiàn)得更為明顯。對(duì)于圖8中的第1階無(wú)量綱固有頻率，λ隨rD的增大而迅速減小，但是下降趨勢(shì)較圖8中其他曲線圖平緩，且不存在固有頻率的升降突變現(xiàn)象。然而，對(duì)于高階固有頻率，如第4階～第6階無(wú)量綱固有頻率，很容易區(qū)分頻率逐步衰減現(xiàn)象和升降突變現(xiàn)象。為更好研究頻率升降突變現(xiàn)象，以圖8中的第6階無(wú)量綱固有頻率圖為例，當(dāng)0.13≤rD≤0.20時(shí)，由圖中高亮線條描繪可看見(jiàn)有3個(gè)凸型高峰和3個(gè)凹型低槽。當(dāng)0.3≤rD≤0.5時(shí)，有3個(gè)高峰和兩個(gè)低槽。當(dāng)0.5≤rD≤0.9時(shí)，雖然不明顯但可以確定有兩個(gè)高峰和兩個(gè)低槽。此外，lD在數(shù)值固定情況下，rD在一定的范圍內(nèi)(0.13≤rD≤0.20，0.3≤rD≤0.5，0.5≤rD≤0.9)變化，無(wú)量綱固有頻率基本保持不變，因此可以用一條垂直等頻線來(lái)描述此規(guī)律；此外，對(duì)于固定值的rD，lD在某些間隔內(nèi)變化時(shí)頻率也保持不變，因此用水平等頻線來(lái)描述此規(guī)律。為了更好地理解等頻線，圖9中顯示了幾條垂直等頻線和水平等頻線。

例如從圖9(a)圖中實(shí)線所示，對(duì)應(yīng)圖8中第5階無(wú)量綱頻率，當(dāng)rD從0.40變化到約0.62時(shí)，即垂直等頻線部分，無(wú)量綱頻率保持不變。

(a) 第1階無(wú)量綱頻率

接下來(lái)將考慮參數(shù)ri和hD對(duì)固有頻率的影響。由于兩個(gè)參數(shù)的變化范圍相對(duì)較窄，因此僅選擇部分指定值進(jìn)行參數(shù)分析。圖10顯示出了當(dāng)ri=0.010時(shí)第4階～第6階無(wú)量綱固有頻率，其中上方3個(gè)圖hD=0.005，下方3個(gè)圖hD=0.050。顯然易見(jiàn)，對(duì)于hD=0.005的較薄轉(zhuǎn)盤，垂直等頻線的長(zhǎng)度更短；反之，對(duì)于hD=0.050的較厚轉(zhuǎn)盤則更長(zhǎng)。圖11顯示出了當(dāng)hD= 0.010時(shí)第4階～第6階無(wú)量綱固有頻率，其中上3個(gè)圖ri=0.005，下3個(gè)圖ri=0.050?？梢园l(fā)現(xiàn)，對(duì)于ri=0.005的細(xì)長(zhǎng)軸，垂直等頻線的長(zhǎng)度更長(zhǎng)；反之，對(duì)于ri=0.050的較粗軸，其長(zhǎng)度更短。特別注意到，當(dāng)ri=0.050時(shí)，垂直等頻線幾乎消失并且僅能找到水平等頻線?？梢缘贸鼋Y(jié)論，hD和ri對(duì)垂直等頻線的長(zhǎng)度有相反的影響。圖10、圖11中每一個(gè)小圖右側(cè)縱坐標(biāo)代表λ的數(shù)值大小。又如圖9(b)中緊靠于縱坐標(biāo)數(shù)值3下方的虛線，對(duì)應(yīng)圖11中下方小圖，描繪了rD=0.150的水平等頻線部分，無(wú)量綱頻率不會(huì)隨著相對(duì)轉(zhuǎn)盤位置的變化而變化。

(a) lD=0.50垂直等頻線

(a) 第4階無(wú)量綱頻率

(a) 第4階無(wú)量綱頻率

接下來(lái)，將討論當(dāng)參數(shù)位于等頻線上時(shí)的軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。參考圖9(a)密集點(diǎn)虛線等頻線部分(hD=0.050，ri=0.010)，在0.1≤rD≤0.5間隔中幾乎是一條水平線。然后，分析具有相同參數(shù)(hD=0.050，ri=0.010，lD=0.500)軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的3個(gè)例子，變量是轉(zhuǎn)盤外徑rD，其中rD1=0.2，rD2=0.3，rD3=0.4。這3個(gè)例子的坎貝爾圖在圖12中給出，其中僅給出了第5階無(wú)量綱固有頻率用于比較?？梢园l(fā)現(xiàn)，不僅固有頻率幾乎相同，而且任意轉(zhuǎn)速下的正進(jìn)動(dòng)和反進(jìn)動(dòng)頻率也幾乎相同。對(duì)于圖9 (b)中給出的(rD=0.45，hD=0.010，ri=0.005)水平等頻線，可以看到這條底線在0.1≤lD≤0.5的間隔內(nèi)幾乎是水平的。同理，選擇3種與圖9(b)具有相同參數(shù)的軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，變量為lD(lD1=0.2，lD2=0.3，lD3=0.4)。這3個(gè)例子的坎貝爾圖在圖13中展示，其中僅給出了第5階無(wú)量綱固有頻率用于比較?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著轉(zhuǎn)速的增加，無(wú)量綱頻率彼此分離，這表明，盡管這些例子的第5階自然頻率是相同的，但是它們?cè)诓煌D(zhuǎn)速下的頻率是不同的。因此，頻率隨轉(zhuǎn)速的變化不再相同。

圖12 (hD=0.050，ri=0.010，lD=0.5)軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同rD下的第5階無(wú)量綱固有頻率的坎貝爾圖

圖13 (rD=0.45，hD=0.010，ri=0.005)軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同lD下的第5階無(wú)量綱固有頻率的坎貝爾圖

參考圖10中下方中間的頻率圖，分析在垂直等頻線的基礎(chǔ)上參數(shù)rD的變化對(duì)于相應(yīng)軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)的影響，圖14中給出了3個(gè)樣例的第5階模態(tài)圖，結(jié)果表明在垂直等頻線上參數(shù)rD的變化并不能顯著改變軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)。同樣地，參考圖11(b)、圖11(e)頻率圖，分析在水平等頻線的基礎(chǔ)上參數(shù)lD的變化對(duì)模態(tài)的影響，圖15中給出了3個(gè)樣例的第5階模態(tài)圖，結(jié)合圖11分析可知，雖然在水平等頻線上參數(shù)lD的變化并未改變固有頻率，但是卻影響了軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)圖中轉(zhuǎn)軸模態(tài)的形狀。

(a) rD=0.2

(a) lD=0.2

3 結(jié) 論

(1) 建立了柔性軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型，參數(shù)分析展示了柔性軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率逐步衰減現(xiàn)象和升降突變現(xiàn)象，采用“等頻線”描述柔性軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率升降突變規(guī)律，研究了參數(shù)hD和ri的變化對(duì)等頻線的影響，并進(jìn)一步研究了在等頻線基礎(chǔ)上參數(shù)rD和lD的變化對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。

(2) 若在垂直等頻線上參數(shù)rD發(fā)生變化，柔性軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率幾乎保持不變。若在水平等頻線上參數(shù)lD發(fā)生變化，對(duì)應(yīng)的固有頻率也幾乎保持不變。

(3) 參數(shù)hD的增加會(huì)凸顯上文提及的頻率突變現(xiàn)象，也就是延長(zhǎng)了垂直等頻線的長(zhǎng)度，而參數(shù)ri則有相反的效果。

(4) 在垂直等頻線的研究基礎(chǔ)上，對(duì)于參數(shù)rD的不同的柔性軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)樣例，坎貝爾圖展示了不僅零轉(zhuǎn)速下的固有頻率相同，而且在不同轉(zhuǎn)速下也始終相同。在水平等頻線的研究基礎(chǔ)上，而對(duì)于參數(shù)lD不同的樣例，雖然零轉(zhuǎn)速下相同，但是非零轉(zhuǎn)速下則彼此不同。

(5) 在垂直等頻線上(lD保持不變)，參數(shù)rD的變化并不能顯著改變?nèi)嵝暂S-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)。在水平等頻線上(rD保持不變)，參數(shù)lD的變化則影響了柔性軸-盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)圖中轉(zhuǎn)軸模態(tài)的形狀。