劉彥奎，劉穎

(河北大學 數(shù)學與信息科學學院，河北 保定 071002)

決策科學的一個重要特點就是決策環(huán)境中存在大量已知或未知的不確定性因素.現(xiàn)實中許多不確定應用問題都可以建模成一個優(yōu)化系統(tǒng)，其中的約束條件既依賴于決策變量又與不確定參數(shù)的分布密切相關.例如在庫存管理中，缺貨約束就與訂購策略和未知需求的分布有關.值得注意的是，缺貨約束的處理方法嚴重依賴于未知參數(shù)的分布.根據(jù)可獲知分布信息的類型和數(shù)量的不同，決策者采用不同優(yōu)化手段對其分析處理.當不確定參數(shù)的分布只能獲知支撐信息時，經(jīng)典的魯棒優(yōu)化(robust optimization)[1]可以對這類問題進行有效的處理.此外一些研究者[2-3]嘗試從大量的歷史數(shù)據(jù)中估計不確定模型參數(shù)的概率分布，并采用隨機優(yōu)化(stochastic optimization)對不確定性進行建模.然而，現(xiàn)實中觀察出不確定數(shù)據(jù)的隨機性并進一步識別其準確概率分布非常困難，特別是對于大規(guī)模的實際應用問題[1,4].在一些實際應用中決策者根本無法獲得大量歷史樣本數(shù)據(jù)，例如新書的發(fā)行量、新股的收益、新產(chǎn)品的需求等.在沒有客觀數(shù)據(jù)參考的情況下，通常采用相關領域的專家意見，以專家評判作為數(shù)據(jù)來源，因而專家數(shù)據(jù)也是普遍存在的重要數(shù)據(jù)來源之一.利用專家數(shù)據(jù)度量不確定現(xiàn)象可能性或可信性的相關理論和方法被稱為模糊理論[5-7]和模糊優(yōu)化方法[8].作為主觀不確定性的有效研究方法[9]，其已被用于研究眾多現(xiàn)實問題.這些研究都基于一個前提，即問題中不確定參數(shù)的準確分布都可以從專家經(jīng)驗中精確獲得.

當不確定參數(shù)的可獲知分布信息介于上述二者之間時，此時非精確分布在某些特定結(jié)構的分布集或分布族中變化，分布魯棒優(yōu)化方法(distributionally robust optimization)[10-11]是針對這類情況的一種有效建模范式.通常它采用一種基于“最差情形”導向的決策方法來處理各種應用問題并建立相應的優(yōu)化模型.尋求這類模型的最優(yōu)決策需要決策者在一個依據(jù)某種特征刻畫的分布族中確定最差情況下的最優(yōu)結(jié)果.對每一個分布信息非精確的魯棒優(yōu)化問題，非精確分布集的結(jié)構特征都是其求解的關鍵[12].現(xiàn)實情形中由于受到噪聲、外溢值和偏見認識的影響，專家數(shù)據(jù)也存在不確定性，從而使得精確且完整的可信性分布信息也不易直接獲得.決策者只能在模糊參數(shù)的分布信息部分知道的情況下制定相關的決策.注意到分布信息缺失通常會使決策者面臨巨大的決策風險，導致嚴重的不良決策后果.因此，對現(xiàn)實決策問題中模糊參數(shù)不完整分布信息加以識別，并結(jié)合實際決策背景進行分析和建模就具有重要的研究意義.

模糊不確定決策系統(tǒng)中，模型參數(shù)的可信性分布信息部分可知時的優(yōu)化理論和方法被稱為魯棒可信性優(yōu)化理論或方法.針對此類模糊分布的不確定性，本文將從理論和應用2個方面對魯棒可信性優(yōu)化的相關研究進行綜述，主要介紹魯棒可信性優(yōu)化的現(xiàn)有理論研究結(jié)果及實際問題的應用研究現(xiàn)狀以便讀者對該方法獲得初步的認識.

1 魯棒可信性優(yōu)化理論

為了處理模糊分布中的不確定性，Liu等[13]提出了模糊可能性理論作為高維的模糊不確定性的新的公理化體系，在2-型模糊系統(tǒng)下建立了模糊可能性空間，其中的模糊可能性測度推廣了普通的可能性測度更適合描述2-型模糊性.同時使用函數(shù)的觀點給出了2-型模糊變量的定義，并提出了相關概念及計算方法.在常見2-型模糊變量中有1種特殊的類型：區(qū)間值模糊變量[14]，其第二可能性分布恒為1.因此在此類2-型模糊變量的三維結(jié)構中，只需分析其2型可能性分布即可.注意到其2型可能性分布是一個由可變分布構成的分布族，參數(shù)可能性分布在此分布族內(nèi)圍繞名義分布進行波動.依據(jù)可能性分布函數(shù)波動模式的不同，可以定義多種類型的區(qū)間值模糊變量并構建相應的非精確分布集.而非精確分布集的結(jié)構特征也決定了魯棒可信性優(yōu)化問題的處理和求解方法.

基于垂直波動方向，Liu等[14]給出了一類參數(shù)區(qū)間值模糊變量的概念，其2型可能性分布函數(shù)定義為[μξL(x,θl),μξU(x,θr)]，其中θl、θr分別是上下2個方面的波動參數(shù)，基于可變分布族的上下邊界定義了上選擇變量ξU和下選擇變量ξL，并將二者的線性組合形式定義為參數(shù)選擇變量ξλ，給出了一種單參數(shù)選擇的分析方法.參數(shù)選擇變量是從非精確分布族選出一個代表變量，它的優(yōu)勢特征是隨著參數(shù)取值的不同，選擇變量的分布可以遍歷整個分布族，即分布族中每一個分布都與特定參數(shù)值下的選擇變量與其相對應.即參數(shù)選擇變量的分布可以代表非精確分布族中的所有分布.選擇參數(shù)λ反映了決策者樂觀或悲觀的決策態(tài)度，單一參數(shù)的設定決定了決策者決策態(tài)度的一致性.此外，在可能性分布達不到1的廣義情形下，Guo等[15]給出了廣義參數(shù)可能性分布和廣義區(qū)間值模糊變量的概念，該研究也屬于單參數(shù)選擇的范疇.隨后Liu等[16]基于這2類單參數(shù)選擇變量的共同點，給出了一個選擇變量的新線性擾動形式并在此基礎上構建了相應的非精確分布集.

決策者還可以采取其他多源化的選擇方式，Chen等[17]給出了參數(shù)區(qū)間值模糊變量的交叉選擇方法，該方法基于樂觀和悲觀決策角度給出了幾種常用類型的交叉選擇變量.具體地以正態(tài)變量為例，其悲觀交叉選擇呈現(xiàn)為在正態(tài)變量的左右半支上取最大分布和最小分布的組合方式.該方法的不足在于它是2種極端分布情況的結(jié)合，并不能靈活地刻畫分布族中一般情形.隨后Guo等[18-19]給出了雙參數(shù)選擇變量的概念，并采用雙參數(shù)選擇的觀點對問題進行研究.這一方法中研究者設定了左右2個選擇參數(shù)λ=(λ1,λ2)，不同參數(shù)值的選取呈現(xiàn)出決策者決策態(tài)度的變化性.同時隨著參數(shù)值的變化該雙選擇變量也可遍歷整個分布族，刻畫出分布不確定性的變化范圍.圖1～圖4以梯形模糊變量為例說明了單參數(shù)選擇變量、交叉選擇變量和雙選擇變量的區(qū)別，其中藍色圍出的區(qū)域是2-型梯形模糊變量的非精確分布族，紅色標識出的變量是特定選擇方法確定出的選擇變量.

圖1 2-型梯形模糊變量的非精確分布集Fig.1 Ambiguous distribution set of type-2 trapezoidal fuzzy variables

圖2 單參數(shù)的選擇變量Fig.2 Single parametric λ selection variable

圖3 悲觀交叉選擇變量Fig.3 Pessimistic cross selection variable

圖4 雙選擇變量Fig.4 Bi-parameter selection variable

基于水平波動方向，Pei等[20]從水平集的角度提出了一種新的2型模糊變量：水平區(qū)間2型模糊變量，也是分布不確定性的有效建模工具.水平區(qū)間2型模糊變量借助水平波動參數(shù)，給出一種由名義可能性分布構造參數(shù)水平區(qū)間2型模糊變量的新方法.該方法提出的圍繞名義分布的水平波動與前述討論的垂直波動方式不同，給出的選擇變量分布通過水平集來確定.值得注意的是該方法盡管是通過左右2個水平集定義選擇變量，但使用了同一個選擇參數(shù)屬于單參數(shù)選擇的范疇.

近來Liu等[21]在研究非精確可信性約束的魯棒對等逼近問題時又給出了2類新的非精確分布集：基于指數(shù)函數(shù)的分布非精確集和基于支撐及期望信息的非精確分布集.在所提出的非精確分布集下，Liu等[21]找到了非精確可信性約束的安全逼近形式，得到的結(jié)果分別為計算上可處理的凸約束或線性約束形式.這些研究成果都推動了魯棒可信性優(yōu)化理論的前進和發(fā)展.

2 魯棒可信性優(yōu)化應用

魯棒可信性優(yōu)化方法是處理模糊可信性分布中包含不確定性的一類有效建模工具，已成功用于處理多種實際問題.該方法的廣泛使用源于如下優(yōu)勢特征：1)該方法不需要不確定模型數(shù)據(jù)的完全分布信息.在現(xiàn)實中，由于應用問題的復雜性，通常很難估計和預測一些重要參數(shù)的分布.相反地不確定參數(shù)的分布信息只能部分獲取，該方法可以對模糊參數(shù)的可信性分布不精確的情況進行有效建模.2)求解魯棒可信性優(yōu)化模型的難點在于其中的各類區(qū)間值模糊變量，這些變量中包含的高維不確定性使模型中的目標或約束通常難于處理.實際優(yōu)化問題中針對特定變量類型，通過尋求目標或約束的魯棒對等或安全逼近形式，可將魯棒可信性優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為計算上可處理的等價模型形式.因此建模有效性和計算可處理性直接推動該方法多領域的廣泛應用.

2.1 庫存管理

在不確定的庫存問題中，最優(yōu)決策嚴重依賴于不確定市場需求.Guo等[19]在供應商收益最大的決策視角下研究了單周期庫存問題，其中不確定市場需求的分布信息是部分可知的，并表示為廣義參數(shù)區(qū)間值模糊變量.在該問題中零售商訂購的商品只有單一品類.考慮到客戶需求的多樣化問題，隨后Guo等[22]對多產(chǎn)品單周期庫存管理問題展開討論，其中不確定的需求和碳排放以可變的可能性分布為特征，并用廣義參數(shù)區(qū)間值模糊變量進行刻畫，以二階矩為風險度量，在均值-矩優(yōu)化準則下建立了一種新的魯棒可信性多產(chǎn)品單周期庫存管理模型，并設計有效算法進行求解.

2.2 可持續(xù)發(fā)展

可持續(xù)發(fā)展需要在不確定情況下實施適當?shù)慕?jīng)濟、環(huán)境、能源和社會的政策.Bai等[23]提出了一個針對可持續(xù)發(fā)展問題的分布魯棒優(yōu)化模型，其中不確定的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值、人均用電量和人均溫室氣體排放通過參數(shù)區(qū)間值可能性分布及其相關的不確定性分布集進行刻畫；同時在強調(diào)決策環(huán)境的2個假設下建立了原始分布魯棒可信性可持續(xù)發(fā)展模型的魯棒對應，最后應用于分析阿拉伯聯(lián)合酋長國的關鍵經(jīng)濟部門，為規(guī)劃未來的勞動力和資源分配提供了定量依據(jù).

2.3 投資管理

在金融投資方面，Liu等[14]提出了一個最小化投資風險的有價證券選擇模型，其中收益風險通過總收益的二階矩來度量，而不確定收益通過垂直波動的單參數(shù)區(qū)間值模糊變量進行刻畫.Liu等[21]基于新的矩信息非精確分布集構建了一個魯棒可信性風險值優(yōu)化模型，同時導出其魯棒對等模型并進行有效求解.在項目投資優(yōu)化方面，鑒于有效的項目選擇和員工分配策略直接影響組織或機構的盈利能力.Liu等[24]基于關鍵值優(yōu)化準則，討論了不確定性和交互作用對項目投資回報和員工分配的影響，其中不確定收益和員工能力用可變的參數(shù)可能性分布來表征.根據(jù)其結(jié)構特征，最終將原始魯棒可信性項目組合模型轉(zhuǎn)化為等價的非線性混合整數(shù)規(guī)劃形式.

2.4 供應鏈管理

供應鏈網(wǎng)絡設計是供應鏈管理中的一類重要問題，可以被看作設備選址問題的一個擴展.由于市場條件和需求的變化，制定采購和分銷計劃存在大量不確定性.Bai等[25]建立了一個可信性風險值優(yōu)化模型，其中不確定的需求和運輸成本以可變的可能性分布為特征，處理該問題時利用可能性臨界值降低需求和成本不確定性的維度，最終得到了模型的等價形式.閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡設計是更為復雜的網(wǎng)絡設計問題，Liu等[16]基于一類新的非精確分布集考慮了不確定需求、運輸成本和碳排放的不確定性，構建了閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡的均值-上偏距分布魯棒可信性優(yōu)化模型.該模型權衡了經(jīng)濟成本的均值和上偏風險，為研究這一問題提供新的均值-風險架構.

協(xié)調(diào)供應鏈成員之間的行動和決策是推動供應鏈績效改善的關鍵驅(qū)動因素之一.Guo等[18]解決了單周期3層供應鏈的協(xié)調(diào)問題，其中不確定需求以廣義參數(shù)區(qū)間值可能性分布為特征.在風險中立的準則下，證明了集中決策中的供應鏈平均利潤大于分散決策中的供應鏈平均利潤總額.此外還研究了1個具有退貨合同和退貨政策的3級供應鏈并導出了不同成員最優(yōu)訂單量的解析表達式.Pei等[20]研究了雙渠道供應鏈這一集中系統(tǒng)，其中制造商和零售商努力整合線上線下渠道，進而提高整個供應鏈的性能.該研究中制造商為使供應鏈的預期利潤最大化尋求2個最優(yōu)的定價決策：零售價格和直銷價格，同時問題中的不確定需求通過水平區(qū)間模糊變量進行刻畫.

表1對本文涉及到的相關文獻在選擇參數(shù)類型、不確定性位置和風險類型3個方面進行了區(qū)分便于分析識別這些應用研究.

表1 魯棒可信性優(yōu)化應用研究的分類

3 結(jié)論

對魯棒可信性優(yōu)化理論和應用方面的最新進展進行了綜述.系統(tǒng)地總結(jié)和區(qū)分了不同波動方式下選擇變量的定義方法.選擇變量的概念將非精確分布集的分布不確定性導致的計算復雜度降低，同時保留原非精確分布集中不確定分布的重要信息.多種類型選擇變量的參數(shù)可能性分布為實際優(yōu)化問題提供了更靈活的決策，有助于促進魯棒可信性優(yōu)化方法的發(fā)展.大量相關研究的發(fā)表從理論和實際應用方面都證明了這一研究領域的活力，展示了魯棒可信性優(yōu)化方法的優(yōu)勢，為研究人員和從業(yè)者提供了更豐富的技術視角.此外預計諸如與非精確分布集相關的風險理論、魯棒可信性大規(guī)模動態(tài)規(guī)劃的可處理性等問題，特別是醫(yī)療、防疫等熱點領域的應用特定框架將在未來幾年受到廣泛關注.