張學東， 韓一峰, 王正中， 李會軍， 徐 超， 張歡龍， 劉 豐

(1.西北農(nóng)林科技大學 旱區(qū)寒區(qū)水工程安全研究中心， 陜西 楊凌 712100; 2.中國電建集團 華東勘測設計院有限公司， 浙江 杭州 310014)

1 研究背景

支臂作為弧形鋼閘門的主要承重結構，承受著來自面板上游較大的水壓力。對國內(nèi)外弧形鋼閘門的事故調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，閘門失事破壞主要是由于支臂發(fā)生屈曲失穩(wěn)造成的，保證支臂的穩(wěn)定性是決定整個閘門安全穩(wěn)定運行的關鍵[1]，因此對弧門支臂進行精確化穩(wěn)定承載力分析十分必要。

在結構受力特性上，支臂屬于以承受軸力作用為主的鋼柱構件，雖然運用結構穩(wěn)定理論能夠計算出受壓構件的屈曲荷載，然而支臂在實際生產(chǎn)過程中，由于制造安裝偏差和板件焊接工藝自身不可避免地產(chǎn)生初彎曲和殘余應力，外加上材料、幾何非線性的影響，穩(wěn)定方程的求解就變得異常困難[2]。另外，現(xiàn)行《鋼結構設計標準》(GB 50017—2017)[3](以下簡稱《標準》)雖然能夠用于求解受壓構件的屈曲問題，但是難以適用于兩端復雜約束以及由單桿組成的復雜結構體系的穩(wěn)定問題，通用性較差。為得到穩(wěn)定承載力的準確計算結果，非線性屈曲分析方法已成為結構穩(wěn)定計算的主要方式，施剛等[4]、班慧勇等[5-6]和李國強等[7-8]采用非線性有限元法對軸壓柱的穩(wěn)定承載力進行了數(shù)值計算，通過試驗實測數(shù)據(jù)驗證了采用非線性有限元數(shù)值模型進行受壓構件穩(wěn)定承載力計算的可行性和有效性。施鋼等[9]和姜學宜等[10]詳細地介紹了建立鋼柱有限元模型和整體穩(wěn)定特性求解的全過程，提出了輸入構件幾何初始缺陷和模擬截面殘余應力的方法。Xie等[11]、Dorfmann等[12]和李元齊等[13]通過建立考慮幾何初始缺陷和殘余應力的有限元模型，發(fā)現(xiàn)了殘余應力對軸心受壓構件的穩(wěn)定性有著顯著影響。然而，在對閘門支臂進行屈曲分析時，通常僅按照《標準》施加一定的幾何初始缺陷而不考慮截面殘余應力對穩(wěn)定性的影響，使得計算結果并不可靠[14-15]。因此，建立能夠充分模擬弧門支臂各種初始缺陷的精細化有限元模型對穩(wěn)定計算至關重要，但是截面殘余應力的試驗測量操作復雜，并且數(shù)值模型中施加殘余應力會增大建立精確數(shù)值模型的難度，增加模型復雜性，導致計算求解十分耗時。為提高結構分析計算效率，《標準》表明對于考慮材料彈塑性發(fā)展的直接分析設計法，可以將殘余應力對穩(wěn)定性的不利影響綜合到幾何初始缺陷中一并考慮[3,16]。然而，《標準》并未對綜合初始缺陷幅值作出相應規(guī)定，使得例如支臂這類受壓構件穩(wěn)定數(shù)值分析的簡化模型在施加初始缺陷時缺少依據(jù)。因此，確定出能高效準確描述初始缺陷、幾何和材料非線性影響的支臂穩(wěn)定分析等效模型顯得尤為重要。

基于此，本文對考慮殘余應力影響的焊接工字型弧門支臂有限元等效模型展開相關研究。首先，對不同長細比支臂建立考慮幾何初始缺陷和殘余應力的有限元模型，再進行非線性屈曲分析，并將穩(wěn)定承載力計算結果與《標準》結果對比，驗證有限元模型的正確性；其次，將殘余應力對整體穩(wěn)定性的影響綜合到幾何初始缺陷中考慮，以與《標準》穩(wěn)定計算結果等效為原則，確立了焊接工字型弧門支臂有限元等效模型的綜合初始缺陷幅值；最后，對等效模型在不同長細比條件下的適用性作出相應評價，以期為工程結構的有效分析提供借鑒與參考。

2 結構穩(wěn)定理論

2.1 軸壓穩(wěn)定理論

早在18世紀，歐拉就對軸心壓桿的整體穩(wěn)定問題進行了研究，假定壓桿為“理想軸心壓桿”，并且材料是完全均勻和線彈性的，通過平衡方程推導出了著名的歐拉公式[17]：

(1)

式中：NE為歐拉臨界荷載，N；E為材料的彈性模量，Pa；A為軸心壓桿的截面面積，m2；λ為軸心壓桿的最大長細比。

從歐拉公式可以看出，歐拉臨界荷載只與壓桿的長細比有關，與截面類型、材料屬性均無關。由于歐拉公式是在假定的前提下推導出來的，即壓桿失穩(wěn)時的屈曲應力仍處于彈性階段內(nèi)，所以歐拉公式的適用范圍可表示為：

(2)

或：

(3)

式中：σcr為臨界應力，Pa；σp為材料比例極限，Pa；λp為軸心壓桿柔度界限值。當λ≥λp時，壓桿為大柔度壓桿，或細長壓桿；當λ<λp時，壓桿為中小柔度壓桿。

2.2 壓潰理論

歐拉公式、切線模量理論與雙模量理論均是基于理想軸心壓桿的前提下研究推導出來的，然而受幾何初始缺陷、殘余應力的影響，軸心壓桿的整體穩(wěn)定性問題屬于極值點失穩(wěn)問題[18-19]，那么計算結果并不符合實際。為了與實際情況相一致，Von Karman 提出了考慮壓桿初始缺陷的壓潰理論，按照偏心壓桿穩(wěn)定公式計算，從而逐漸形成了由極限荷載確定出軸心受壓構件不同長細比穩(wěn)定系數(shù)的極限承載力理論。由于極限承載力理論綜合考慮了各種初始缺陷的影響，符合壓桿的實際情況，因此被各個國家普遍采用和推廣，我國的現(xiàn)行《標準》也是采用這一理論對軸心受壓構件進行整體穩(wěn)定計算并給出了多條柱子曲線，用于指導結構的穩(wěn)定設計。

《標準》中對實腹式軸心受壓構件的穩(wěn)定性按照以下公式計算：

(4)

式中：N為軸向壓力，N；φ為穩(wěn)定系數(shù)；A為截面面積，m2；f為鋼材的抗拉強度設計值，Pa。其中，穩(wěn)定系數(shù)φ的計算取截面兩主軸穩(wěn)定系數(shù)的較小值，即根據(jù)截面分類、鋼材的屈服強度與兩主軸方向長細比的較大者查附表所得。

3 有限元模型及驗證

3.1 試件概況

為研究支臂穩(wěn)定數(shù)值分析的等效模型，將支臂簡化為軸心受壓構件。選取的研究對象為兩端鉸接的Q235焊接工字型支臂，其中截面翼緣和腹板的寬厚比均滿足局部穩(wěn)定性要求，選取的支臂幾何長度范圍為6～24 m，共計10種不同長度類型。計算求得長細比λ的取值范圍為52～207，由上述公式(3)可得長細比臨界值λp為93.01，那么選取的試件涵蓋了從中等柔度到大柔度變化的支臂構件，失穩(wěn)模式也同樣包含了彈性失穩(wěn)和彈塑性失穩(wěn)兩種模式，從而能夠較為全面地研究不同失穩(wěn)類型的支臂穩(wěn)定問題。各支臂試件穩(wěn)定數(shù)值分析模型的主要參數(shù)如表1所示，其中截面翼緣寬度為500 mm，厚度為34 mm；腹板高度為620 mm，厚度為30 mm。

表1 各支臂試件穩(wěn)定數(shù)值分析模型主要參數(shù)

3.2 有限元模型

采用通用的有限元軟件ANSYS建立三維有限元模型，由于選取的受壓構件其截面寬厚比均滿足局部穩(wěn)定的要求，分析模型主要針對支臂的整體穩(wěn)定進行研究，不考慮板件局部屈曲的影響，即采用三維有限應變梁單元BEAM188進行模擬，能夠很好地分析長細比大到中等的各類梁柱構件[20]。首先，根據(jù)支臂截面尺寸定義工字型為梁單元的截面類型，建立長度不同的參數(shù)化有限元模型，所有構件沿長度方向均劃分為20個單元。

模型兩端為鉸接約束條件，即約束底端節(jié)點的UX、UY和UZ平動自由度，約束頂端節(jié)點受壓面內(nèi)的平動自由度UX和UZ，除此之外，為使得支臂發(fā)生繞截面弱軸方向的整體彎曲失穩(wěn)變形，其兩端不能發(fā)生扭轉變形，即約束兩端節(jié)點繞軸向轉動的自由度ROTY。工字型支臂典型試件的有限元模型如圖1所示。

3.2.1 材料屬性 當長細比較小，即λ<93.01時，支臂發(fā)生屈曲失穩(wěn)時不再是彈性狀態(tài)，而是產(chǎn)生了材料彈塑性變形，則有限元分析中鋼材的本構模型采用Von Mises屈服準則下的理想彈塑性等向強化模型，并設置非線性材料屬性中切線模量為零，屈服應力設置為材料的屈服強度fy=235 MPa，彈性模量E=2.06×1011Pa，泊松比取為0.3。

3.2.2 幾何初始缺陷 支臂有限元模型同時考慮了幾何初始缺陷與截面殘余應力分布的影響，其中，幾何初始缺陷的幅值根據(jù)我國《鋼結構工程施工質(zhì)量驗收標準》(GB 50205—2020)[21]取為1‰柱長。幾何初始缺陷目前主要有兩種施加方法：第一種是基于一階特征值屈曲模態(tài)(整體彎曲屈曲)施加，利用ANSYS命令UPGEOM更新模型節(jié)點坐標來實現(xiàn)；第二種是根據(jù)構件的幾何初彎曲和荷載初偏心直接建立帶有幾何初始缺陷的有限元模型，按照正弦半波曲線模式分布。為提高有限元計算效率，本文采取第二種方法施加，在定義節(jié)點坐標時將對應位置的幾何缺陷考慮其中，支臂沿長度方向的幾何初始缺陷e為：

e=e0·sin (πx/L)

(5)

式中：e0=L/1000;L為支臂長度，m。

3.2.3 截面殘余應力 截面殘余應力可參考歐洲鋼結構協(xié)會推薦的截面殘余應力分布模式[22]，對于常見的焊接I型或工字型截面，殘余應力分布有Lehigh模型和拋物線模型兩種，如圖2所示。其中，Lehigh模型的殘余應力沿截面線性變化，翼緣邊兩端的殘余壓應力峰值為σrc=0.3fy，腹板上均勻分布的殘余拉應力σrt由構件截面上殘余應力平衡條件求得；而拋物線模型的殘余應力分布比較復雜，為了便于計算，可保證殘余拉、壓應力幅值不變，將拋物線殘余應力分布模型簡化為線性分布，其中殘余壓應力峰值σrc與殘余拉應力峰值σrt皆為0.3fy。

圖2 焊接工字型截面殘余應力兩種分布模型

殘余應力的施加通過編寫初應力文件輸入到ANSYS中來實現(xiàn)[23]，即先提取截面積分點的序號和位置坐標，保存為intcord.txt文件，然后讀取該文件中積分點的位置坐標生成yint、zint兩個數(shù)組；根據(jù)翼緣兩端已知的殘余壓應力峰值，計算截面其他位置積分點的殘余應力值，并輸入生成殘余應力的srint數(shù)組；最后將殘余應力值作為初始應力輸入至截面對應的積分點上，并且由于各板件的厚度較小，不考慮殘余應力沿板厚的變化。以殘余壓應力峰值0.3fy為例，施加殘余應力的兩種模型橫截面如圖3所示。

圖3 施加殘余應力的兩種模型工字型橫截面應力分布(殘余壓應力峰值為0.3 fy)

在有限元模型端部施加軸向荷載，并考慮材料、幾何雙重非線性影響，采用弧長法計算整體穩(wěn)定承載力Fu。

3.3 精細化有限元模型驗證

根據(jù)《標準》考慮L/1000的幾何初始缺陷，按照Lehigh模型和簡化拋物線模型分別施加截面殘余應力對上述支臂構件進行考慮材料、幾何雙重非線性的屈曲分析。為了驗證上述有限元模型所模擬的殘余應力分布的正確性，現(xiàn)選取的殘余壓應力峰值以0.1fy為增量，從0.1fy遞增到1.0fy，共計10種殘余應力類型，共100組。

以試件1為例，不同殘余壓應力峰值條件下兩種模型典型的荷載-位移曲線如圖4所示；以殘余壓應力峰值0.3fy為例，不同長度條件下兩種模型典型的荷載-位移曲線如圖5所示；以《標準》中軸向受壓構件的穩(wěn)定計算公式即公式(4)的計算結果為基準，不同長度和殘余壓應力峰值條件下兩種模型計算的支臂穩(wěn)定承載力相對誤差如圖6所示。

圖5 不同長度條件下兩種模型典型的荷載-位移曲線

圖6 不同長度和殘余壓應力峰值條件下兩種模型計算的支臂穩(wěn)定承載力相對誤差

由圖4～6可以看出，當截面殘余應力采用Lehigh模型和簡化拋物線模型時，支臂穩(wěn)定承載力均隨著殘余壓應力峰值的增大而呈現(xiàn)逐漸減小的變化趨勢，與《標準》對比的相對誤差也呈現(xiàn)先減后增的變化趨勢，大致呈拋物線分布。相對誤差面的最小值即為考慮不同殘余壓應力峰值條件下穩(wěn)定承載力計算誤差最小時的殘余壓應力峰值分布區(qū)域。從坐標面投影可以看出，對于Lehigh模型和簡化拋物線模型兩種殘余應力分布模式，殘余壓應力峰值為0.3fy時，其與《標準》對比的計算誤差均為最小。

圖4 不同殘余壓應力峰值條件下兩種模型典型的荷載-位移曲線

圖7為當截面殘余壓應力峰值取0.3fy時，有限元計算的整體穩(wěn)定承載力Fu,e與《標準》計算穩(wěn)定承載力Fu,1的對比結果。由圖7可以看出，采用兩種殘余應力分布模式建立的有限元分析模型得到的穩(wěn)定承載力與《標準》計算結果均吻合良好，計算誤差的均值和標準差均較小。其中，Lehigh模型的誤差均值為-1.10%，標準差為-0.021 0；簡化拋物線模型的誤差均值為-0.13%，標準差為0.010 3。因此，本文按照L/1000的幾何初始缺陷、殘余壓應力峰值為0.3fy所建立的非線性有限元模型能夠準確模擬出支臂實際穩(wěn)定承載力以及失穩(wěn)變形特征，與歐洲鋼結構設計規(guī)范一致，驗證了有限元模型的正確性，同時也為我國現(xiàn)行《標準》中殘余應力峰值的取值提供了參考。

圖7 支臂穩(wěn)定承載力有限元計算與《標準》計算結果對比

4 考慮殘余應力影響的等效模型

4.1 殘余應力對支臂承載力的影響性

上述支臂有限元模型不僅考慮了L/1000的幾何初始缺陷，同時又考慮了截面殘余應力的影響，可采用模型Ⅱ為非線性屈曲分析的有限元模型，以此來計算構件的穩(wěn)定承載力。為進一步研究Q235焊接工字型支臂的殘余應力對整體穩(wěn)定性的影響，利用有限元模型計算上述10種不同長度支臂的穩(wěn)定承載力，計算過程中僅改變所施加的初始缺陷類型，其余條件均不變。僅考慮幾何初始缺陷的穩(wěn)定承載力計算結果與綜合考慮了截面殘余應力影響的穩(wěn)定承載力計算結果的比較如圖8所示。

圖8 兩種不同條件下支臂的穩(wěn)定承載力計算結果

由圖8可以看出，對于不同長細比的支臂，相較于僅施加幾何初始缺陷的有限元模型，考慮截面殘余應力的模型會減小其穩(wěn)定承載力，并且減小的程度隨著長細比的增大逐漸趨于緩和。原因是由于截面翼緣兩端和腹板跨中存在較大的殘余壓應力，在軸向壓力的作用下該位置容易發(fā)生材料屈服，并且由于應力重分布使得截面上的屈服范圍進一步擴展，支臂就會提前發(fā)生整體失穩(wěn)，那么其穩(wěn)定承載力就會降低。并且隨著長細比的增大，失穩(wěn)類型逐漸由局部彈塑性失穩(wěn)轉化為彈性整體失穩(wěn)，此時幾何初始缺陷對穩(wěn)定性的影響占據(jù)主導作用，而殘余應力影響較小。對施加兩種不同初始缺陷類型的模型計算結果進行比較，發(fā)現(xiàn)截面殘余應力的存在使得支臂穩(wěn)定承載力減小了20%左右，其中試件1最大，為25%，試件10最小，為17%，說明截面殘余應力對支臂的整體穩(wěn)定性影響較大，在穩(wěn)定承載力計算時不容忽視。

4.2 簡化殘余應力的有限元等效模型

為提高計算分析效率，對焊接工字型弧門支臂的非線性穩(wěn)定模型作適當簡化，將殘余應力對整體穩(wěn)定性的影響綜合到幾何初始缺陷中考慮。由于現(xiàn)行《標準》規(guī)定受壓構件的幾何初始缺陷為1/1000柱長，因而綜合考慮殘余應力影響的支臂等效簡化模型所應施加的初始缺陷e0>L/1000?，F(xiàn)以L/1000～L/100為綜合初始缺陷的變化范圍，對上述10種不同長細比的支臂進行非線性屈曲分析，共計190組試件模型。計算得到不同綜合初始缺陷幅值條件下的穩(wěn)定承載力如圖9所示。

圖9 不同綜合初始缺陷幅值下支臂的穩(wěn)定承載力計算結果

由圖9可以看出，隨著長細比的增加，不同缺陷幅值下的有限元計算結果均減小，且減小的趨勢逐漸放緩；初始缺陷對穩(wěn)定承載力的影響較大，初始缺陷幅值越大，支臂越容易發(fā)生整體失穩(wěn)，其穩(wěn)定承載力就越低；隨著長細比的增大，不同初始缺陷幅值條件下的計算結果越來越接近，表明初始缺陷對支臂整體穩(wěn)定性的影響逐漸減小。

對上述支臂的穩(wěn)定承載力數(shù)據(jù)進行誤差分析，以《標準》公式計算結果為基準計算兩者的相對誤差，并計算相對誤差最小時的綜合初始缺陷幅值條帶分布，其結果見圖10。由圖10(a)可以看出，隨著支臂模型綜合初始缺陷幅值的增大，有限元計算結果與標準解的相對誤差先減小而后又逐漸增大。經(jīng)分析，誤差面與零基準面的相交處即為考慮不同初始缺陷幅值條件下穩(wěn)定承載力計算誤差最小時的初始缺陷分布區(qū)域。由圖10(b)可以看出，當長細比λ>100時，相對誤差最小時的綜合初始缺陷幅值大致分布在L/600的位置；而當長細比λ<100時，合理的綜合初始缺陷幅值分布在L/400～L/600的范圍之內(nèi)。

5 等效模型適用性評價

為探究焊接工字型弧門支臂等效模型在不同條件下的適用性與優(yōu)越性，分別采用標準公式法、特征值法以及非線性等效模型法對上述10種不同長細比支臂的穩(wěn)定承載力進行計算，其中，對于大柔度支臂構件，施加L/600的綜合初始缺陷，而對于中小柔度支臂構件，施加L/400的綜合初始缺陷?？傻闷浞€(wěn)定承載力隨長細比的變化曲線，如圖11所示。

圖10 不同初始缺陷幅值下支臂的穩(wěn)定承載力計算精度比較

圖11 不同計算方法的支臂穩(wěn)定承載力隨長細比變化曲線

由圖11可以看出，按照以上3種方法計算得到的穩(wěn)定承載力均隨長細比的增大而逐漸減小，其中特征值屈曲分析計算結果均比《標準》和非線性屈曲分析計算結果大，而后兩者的變化曲線幾乎重合，非線性等效模型的有限元數(shù)值解與《標準》解吻合較好。當長細比較小時，特別是對于中小柔度支臂構件來說，特征值屈曲計算結果與《標準》計算結果相比誤差較大，最大值為288.45%。并且隨著長細比的增大，支臂構件從中小柔度變化到大柔度時，特征值屈曲分析計算結果逐漸接近于《標準》計算結果，誤差逐漸減小，而非線性等效模型的有限元計算結果與《標準》計算結果相比誤差很小，最大值僅為2.70%。這表明非線性等效模型法的計算結果與《標準》計算結果始終保持一致，而特征值法的計算結果遠大于《標準》計算結果，原因是因為非線性等效模型和現(xiàn)行《標準》公式均考慮了初始缺陷等不利因素對穩(wěn)定承載力的影響，而特征值屈曲分析假定支臂構件為理想軸心受壓狀態(tài)，偏離了實際情況。

通過上述分析表明，特征值法僅適用于粗略計算大柔度支臂構件的穩(wěn)定承載力，而且計算結果偏危險，而非線性等效模型法能夠準確計算出任意柔度支臂構件的穩(wěn)定承載力。施加以上綜合初始缺陷幅值的非線性簡化模型既可以考慮《標準》中L/1000的幾何初始缺陷，又綜合了截面殘余應力的影響，其計算結果與《標準》等效。相較于傳統(tǒng)的焊接工字型支臂構件穩(wěn)定計算方法，求解效率高且適用性好，能夠很好地解決弧門支臂的屈曲問題。

6 結 論

本文通過采用非線性屈曲分析法對焊接工字型弧門支臂進行穩(wěn)定計算，探究了考慮截面殘余應力影響的非線性等效模型綜合初始缺陷幅值的問題，并對等效模型在解決屈曲問題的適用性方面作出了相應評價。主要結論如下：

(1)對于工字型截面殘余應力為Lehigh模型和簡化拋物線模型兩種分布模式，均是當殘余壓應力峰值為0.3fy時穩(wěn)定承載力的計算精度最高，并且兩種殘余應力分布模式對穩(wěn)定性計算的影響相差不大，可為支臂非線性精細化有限元模型中截面殘余應力的施加提供相應依據(jù)。

(2)施加L/1000幾何初始缺陷幅值和0.3fy截面殘余壓應力峰值所建立的支臂有限元模型能夠準確模擬幾何初始缺陷和截面殘余應力對構件整體穩(wěn)定特性的影響，通過將有限元數(shù)值結果與《標準》穩(wěn)定計算結果對比，驗證了支臂精細化有限元模型的正確性。

(3)幾何初始缺陷對支臂穩(wěn)定承載力的影響較大，對于大柔度支臂構件，建議綜合初始缺陷幅值取為L/600；而對于中小柔度支臂構件，建議綜合初始缺陷幅值取為L/400，以保證計算結果偏于安全。與《標準》中幾何初始缺陷L/1000相比，按照本文確定的綜合初始缺陷幅值所建立的支臂等效模型綜合考慮了殘余應力對穩(wěn)定性的影響，能夠準確高效地計算出構件的穩(wěn)定承載力。

(4)特征值法僅能夠粗略求解大柔度支臂構件的屈曲問題，而非線性等效模型法能夠很好地解決實際工程中各種柔度支臂構件的屈曲問題。在焊接工字型弧門支臂穩(wěn)定問題求解時，可以統(tǒng)一建立非線性等效簡化模型，為支臂結構分析和參數(shù)化設計提供高效的計算方式。