楊禮銓， 于佳鑫

（上海理工大學(xué) 上海市現(xiàn)代光學(xué)系統(tǒng)重點實驗室，上海 200093）

引 言

近年來，回音壁模式（WGM）微球腔因具有傳播模式穩(wěn)定閉合、光能量密度極高、結(jié)構(gòu)簡單、高品質(zhì)因子（Q值）、低模式體積等特點，成為微腔領(lǐng)域研究中的熱點[1-4]。WGM微球腔是一種球形光學(xué)微腔諧振器，微腔內(nèi)的光線在球形諧振腔內(nèi)表面不斷進(jìn)行全反射，最終在腔內(nèi)形成穩(wěn)定閉合的傳播模式，此即為WGM模式[5]。因此光場會在微腔內(nèi)部，形成特定的量子化分布和極高的光能量密度。這種極高的光能量密度，能夠進(jìn)一步增強(qiáng)光與物質(zhì)的相互作用，使得WGM在腔量子電動力學(xué)、量子信息處理、低閾值激光、光學(xué)傳感器等方面得到廣泛的應(yīng)用[6-9]。

WGM微球腔制備簡單，其原材料可以采用工業(yè)生產(chǎn)的方式得到，避免了復(fù)雜的制備工藝；同時又保留了WGM特有的光場分布，對增益材料具有特定的調(diào)節(jié)自發(fā)輻射的作用，能夠?qū)μ囟Ｊ竭M(jìn)行增強(qiáng)或抑制，因而在微納激光應(yīng)用方面得到了廣泛關(guān)注[10]。Fu等[11]通過調(diào)節(jié)微球腔尺寸，實現(xiàn)室溫下自由光譜范圍和半高寬可調(diào)的微球腔激光；Zhao等[12]實現(xiàn)了在77～400 K溫度范圍內(nèi)，通過強(qiáng)連續(xù)光驅(qū)動的微球腔激光。隨著激光器件集成化的發(fā)展，更緊湊的微腔激光更利于激光器件的集成與應(yīng)用[13]。當(dāng)前，對于微球激光的研究，雖然在實驗上實現(xiàn)了不同尺寸的WGM微球激光，但是，對于WGM微球激光的最小極限尺寸尚不清楚。

本文采用二維時域有限差分法（2D-FDTD），探究了二氧化硅微球腔放置于二氧化硅襯底上的諧振結(jié)構(gòu)的光學(xué)特性。通過對不同的光學(xué)模式進(jìn)行分析，得到了隨WGM微球腔直徑變化的不同模式特性，包含電場分布、模式有效折射率、球腔的Q值變化。同時探究了WGM微球腔能形成穩(wěn)定模式、能量增益的最小球腔尺寸。這對未來WGM微球腔的進(jìn)一步優(yōu)化提供了理論支撐，也對微球激光的集成化應(yīng)用具有指導(dǎo)意義。

1 物理模型的建立

目前微球腔的實際應(yīng)用案例中，普遍需要與襯底或其他支持的結(jié)構(gòu)相接觸，可通過隨機(jī)播撒或微納操作將介質(zhì)微球放置于襯底上。其中介質(zhì)微球大多為工業(yè)批量合成得到，襯底一般為二氧化硅，氟化鎂等常見介電材料。因而，我們采用最常用的二氧化硅介電材料，對二氧化硅微球腔放置于二氧化硅襯底上形成的結(jié)構(gòu)，進(jìn)行物理建模。微球腔與襯底結(jié)合的諧振結(jié)構(gòu)剖面圖如圖1所示。其中d表示微球腔的直徑大小，m表示底部二氧化硅襯底的厚度。在模擬中采用2DFDTD，使用Lumerical軟件對整體的諧振結(jié)構(gòu)進(jìn)行理論模擬。設(shè)置底部二氧化硅厚度m =10 μm，采用材料為（n，k）的數(shù)據(jù)點集，n為材料折射率，k為材料消光系數(shù)。模擬范圍內(nèi)整個結(jié)構(gòu)周圍背景介質(zhì)采用n = 1的空氣，激發(fā)諧振結(jié)構(gòu)的光源為偶極子光源，為了模擬無限域的同時最小化雜散光反射，使用完美匹配層作為邊界條件。通過改變微球腔的直徑 d 從而模擬不同大小的球腔結(jié)構(gòu)。

圖1 物理模型剖面圖Fig.1 A sectional view of the physical model

2 模擬結(jié)果及分析

2.1 不同模式的場分布特性

對不同模式電場分布的研究，得到不同的模式特征，以及二氧化硅微球腔放置于二氧化硅襯底上的模式分布。為了研究微球腔中一階徑向階數(shù)的兩種不同光學(xué)WGM模式，選取直徑為8 μm的微球腔，在相同的方位角模式數(shù)情況下的電場分布，如圖2所示。

根據(jù)WGM諧振峰位置處不同的模式，用紅色表示TE模式，藍(lán)色表示TM模式。圖2（a）

圖2 直徑為8 μm的微球腔兩種不同光學(xué)WGMFig.2 Two different optical WGM for microspheres of diameter 8 μm

通過對上述兩種基本光學(xué)模式的分析，可以發(fā)現(xiàn)二氧化硅微球腔中能夠形成穩(wěn)定均勻的WGM，但在與襯底接觸的地方會產(chǎn)生一定的能量泄露，從而造成能量的損耗，為了得到微球激光，需要添加相應(yīng)的增益介質(zhì)來彌補(bǔ)相應(yīng)的損耗，才能進(jìn)一步提升在微納激光、微納光子器件等方面的應(yīng)用。

2.2 微腔的最小尺寸分析

在實際的應(yīng)用中，WGM微球腔常常與半導(dǎo)體材料相結(jié)合，通過在微腔內(nèi)部WGM特有的量子化分布并具有極高的能量密度光場，激發(fā)半導(dǎo)體材料發(fā)光，將半導(dǎo)體材料作為增益介質(zhì)，使光能在球腔內(nèi)部形成更為穩(wěn)定，更高能量的WGM光場分布，最終形成微球型激光。其中二維過渡金屬硫族化合物材料具有體積小、發(fā)光效率高等優(yōu)點，有望成為新一代高集成微納激光的增益材料[12]。因此，以二維過渡金屬硫族化合物材料為例，通過不同直徑的微球腔Q值，計算出腔內(nèi)能量的損耗，再與增益材料的增益相結(jié)合，當(dāng)腔內(nèi)增益大于損耗時，腔體內(nèi)的模式更能穩(wěn)定的存在，此時對應(yīng)的微球腔的物理尺寸，也就是能保證模式穩(wěn)定，能量增益的最小尺寸。

在WGM微腔中，腔內(nèi)的能量I隨時間呈指數(shù)衰減

式中：I0是原始腔內(nèi)能量；t是衰減時間；δ是總的往返損耗；tc是腔內(nèi)光子壽命。由式（1）可得，對于腔內(nèi)能量一個往返對應(yīng)的衰減為

式中：Q為腔體的Q值，neff為模式有效折射率；Lc為腔內(nèi)光程長度；λ為對應(yīng)諧振位置的波長。得到半導(dǎo)體材料增益與腔損耗的關(guān)系為

式中：g為半導(dǎo)體材料增益。可以看出在半導(dǎo)體材料作為增益介質(zhì)的情況下，模式有效折射率越大，增益越高。而微球腔的損耗同樣與球腔的Q值和模式有效折射率有關(guān)，為此計算了不同直徑下微球腔的Q值和模式有效折射率，來進(jìn)一步分析微球腔增益等于損耗時的最小尺寸。

2.3 模式有效折射率

不同模式的區(qū)別也反映在模式的有效折射率上，模式有效折射率是微腔模式色散的一個固有特性，同時決定了激發(fā)不同模式所需的相位匹配條件。對于微球腔的模式有效折射率，可表示為

式中：l為方位角模式數(shù)；neff為模式有效折射率；R為微球腔半徑；λ為對應(yīng)的波長。對上述微球腔諧振結(jié)構(gòu)的不同WGM進(jìn)行計算，得到不同直徑下一階徑向階數(shù)的兩種不同模式的有效模式折射率。如圖3所示，計算了不同直徑下在750 nm波長處的模式有效折射率。數(shù)據(jù)點表示實際計算出的模式有效折射率值，直線表示有效模式折射率的整體趨勢，黑色和紅色直線分別對應(yīng)了光學(xué)模式TE和TM。從圖3可以看出，TE模式整體位于TM模式上端，相對于TM模式，TE具有更大的模式有效折射率。

圖3 模式有效折射率隨微球腔直徑的變化Fig.3 The mode index changes with the diameter of the microsphere cavity

通過對不同直徑下微球腔的模式有效折射率計算，對基本的光學(xué)模式有了更為清晰的認(rèn)識，模式有效折射率對WGM微球腔的模式光纖耦合，相位匹配都有著極為重要的作用[14]。

2.4 微球腔的Q值分析

Q值是對諧振腔光能量的存儲和使光循環(huán)能力的定量描述，通常反應(yīng)了微腔中存儲能量以及消散能量的比值。Q值的大小也反映出微腔的質(zhì)量。Q值可表示為

式中：λ為波長；Δλ表示波長對應(yīng)峰值的半高寬；ω0為角頻率；Estored為腔內(nèi)儲存的能量；Pdiss為腔中能量耗散的功率。利用式（5）計算了不同直徑的微球腔在750 nm波長附近的一階徑向模式數(shù)下對應(yīng)的Q值大小，并按照不同的模式進(jìn)行了統(tǒng)計繪圖，如圖4所示。

圖4 不同模式Q值隨微球腔直徑的變化Fig.4 The value of Q in different modes varies with the diameter of microsphere cavity

從圖4可以看出，Q值整體的大小隨著微球腔的直徑增大而增大，這也符合直徑對Q值的影響特性，直徑越大的微腔其Q值越大。從不同模式上看，TM模式的Q值在不同尺寸下都比TE模式的Q值要高。同時，Q值的大小也反映出腔體不同的能量損耗，Q值越大，腔內(nèi)光線繞內(nèi)壁一周全反射形成的WGM所損耗的能量就越小，光能在腔內(nèi)保留也就越多。這在微球激光的應(yīng)用領(lǐng)域中有著至關(guān)重要的作用。

通過上面的模式有效折射率和Q值的計算，當(dāng)增益的表達(dá)式為式（3）時，此時腔內(nèi)損耗等于增益，腔內(nèi)模式得以穩(wěn)定保留。以二維過渡金屬硫族化合物（MoS2）為例，在532 nm波長連續(xù)激光激發(fā)下，其形成微球腔激光時室溫下光學(xué)增益值約為2×105cm?1（實驗值為1.2×105～2.3×105cm?1[12]），對于不同的模式會有較小的差異。通過分析不同直徑下的電場分布，從而確定對應(yīng)的增益區(qū)域大小，其中在8 μm直徑附近，其模式對應(yīng)的增益區(qū)域為8個方位角模式數(shù)，可計算對應(yīng)的襯底接觸長度約2 μm；其對應(yīng)的損耗代入該模式下的Q值（280.4）與模式有效折射率（1.278），以及諧振波長748 nm進(jìn)行計算。根據(jù)以上計算可以得到，當(dāng)微球腔直徑為7.8 μm時，微球腔的損耗與增益正好相抵消。根據(jù)尺寸與Q值的關(guān)系得出（見圖4），當(dāng)微球腔直徑繼續(xù)減小時，其Q值會減小，導(dǎo)致?lián)p耗增大，故而損耗會大于半導(dǎo)體材料的增益，所以7.8 μm是形成微球激光的最小尺寸。之前的報道中微球型激光最小在8.13 μm，也符合上述結(jié)論[11]。

3 結(jié) 論

本文通過2D-FDTD對二氧化硅微球腔放置于二氧化硅平面上的諧振結(jié)構(gòu)進(jìn)行模擬。通過改變不同的微球腔直徑的方法，得到了形成穩(wěn)定WGM的情況下，其最小微球腔激光的直徑約為7.8 μm。同時分析了一階徑向模式數(shù)下的電場分布、模式有效折射率、以及球腔的Q值，為WGM微球腔的集成應(yīng)用提供了理論支持。