張曉榮

（山西能源學院 電力工程及自動化系，山西 榆次 030600）

引 言

熱透鏡技術作為光熱測量技術之一，因其測量構型簡單、靈敏度高等優(yōu)點廣泛應用于材料吸收損耗、熱特性參數(shù)測量以及薄膜激光損傷監(jiān)測中[1-3]。目前，熱透鏡技術主要采用雙光束測量構型，其原理為：常規(guī)透鏡在基模高斯光束輻照下，因吸收激光能量使其內部產(chǎn)生非均勻的溫度場，從而引起折射率梯度分布，由此形成了熱透鏡；當另一基模高斯光束通過該熱透鏡后，其光強分布發(fā)生變化，通常采用前置針孔的光電探測器測量探測光束中心光強的變化。由于熱透鏡信號受探測光光強波動噪聲的影響較大，其測量分辨率受到了限制。

2017年Domene等[4]提出了基于四象限探測器差分測量的聚焦誤差熱透鏡技術，并將其應用于光學薄膜吸收損耗測量，獲得了優(yōu)于0.1×10?6的測量分辨率和極大的測量動態(tài)范圍。但由于其構型參數(shù)優(yōu)化條件是建立在熱透鏡為理想薄透鏡近似理論模型的基礎上，僅適用于探測光斑半徑小于激勵光斑半徑的情形，因此無法準確分析探測光斑尺寸對聚焦誤差信號的影響[5-7]。而基于熱透鏡光學相移理論的建模方法能夠準確描述熱透鏡對探測光束的衍射效應，不受探測光斑尺寸大小的限制[8]。因此，本文建立基于熱透鏡光學相移理論的聚焦誤差信號理論模型，利用該模型獲得測量構型參數(shù)優(yōu)化條件。通過數(shù)值計算驗證構型參數(shù)優(yōu)化條件的正確性并分析探測光斑尺寸對熱透鏡聚焦誤差信號及其線性范圍的影響，為進一步提高熱透鏡聚焦誤差信號的測量靈敏度及測量準確度提供參考。

1 理論模型

圖1為熱透鏡聚焦誤差信號測量原理圖，圖中TL為熱透鏡，DT為四象限探測器，L1、L2為柱面聚焦透鏡。常規(guī)透鏡在激勵激光輻照下因其吸收激光能量而升溫，在內部形成非均勻分布的溫度場，從而引起內部折射率梯度分布和表面熱變形，便形成了熱透鏡（TL）。當激勵光束為脈沖或高頻方波調制基模高斯光束時，探測光同軸經(jīng)過該激勵激光輻照區(qū)域時，熱透鏡引起的探測光光學相移分布特性與激勵激光光強分布特性近似相同[9]，可表示為

圖1 熱透鏡聚焦誤差信號測量原理圖Fig.1 Schematic diagram of the defocusing measurement system

式中： ? ?0為熱透鏡引起的探測光束中心的最大光學相移； a 為激勵光束光斑半徑。

假設探測光束束腰位于熱透鏡位置處，經(jīng)過熱透鏡后的探測光電場強度[9]可表示為

圖2 四象限探測器上的探測光斑Fig.2 Probe beam on a 4-quadrant detector

從式（8）可以看出，聚焦誤差信號中含有與探測光光學相移無關的信號分量，這是應為探測光經(jīng)兩柱面聚焦透鏡變換后，在探測平面上光強呈 橢圓形分布所致。

2 構型參數(shù)優(yōu)化

通常情況下，由于熱透鏡吸收激光能量引起的表面熱變形和內部折射率變化很小，引起的探測光光學相移很小，產(chǎn)生的聚焦誤差信號幅值較小，需要優(yōu)化測量構型參數(shù)以獲得最大測量靈敏度和測量分辨率。利用多元函數(shù)求極值方法得到式（8）構型參數(shù)優(yōu)化條件為

對于滿足構型優(yōu)化條件的熱透鏡，其聚焦誤差信號小于傳統(tǒng)熱透鏡聚焦誤差信號、但大于光熱偏轉信號[9]。

3 仿真結果及分析

假設熱透鏡引起的探測激光光學相移 ??0= rad，激勵光斑半徑 a =200μm ，探測光波長λ=632.8nm ，聚焦透鏡焦距 f=50mm ，構型參數(shù) zx、 zy、 zD按式（9）和式（10）取值。利用式（5），可得到不同光斑尺寸的探測光在探測平面上的光強分布，結果如圖3所示，其中 m 和 n 都取50以保證足夠的計算精度。

圖3 不同光斑尺寸的探測光在探測平面上的光強分布Fig.3 Intensity profile of probe beam with different spot size on detection plane

當探測光光斑半徑較小時熱透鏡近似為理想薄透鏡，如圖3（a）所示，探測平面上探測激光光強呈橢圓形高斯分布， x 方向光斑半徑大于 y 方向的光斑半徑，使得四象限探測器的2、4象限光功率大于1、3象限光功率，產(chǎn)生聚焦誤差信號。

隨著 ω0的增大，如圖3（b）所示，熱透鏡對探測激光的衍射效應逐漸增強，探測平面上探測激光光強不再是橢圓形高斯分布，光強分布在 y方向明顯變窄，而在 x 方向加寬，使得四象限探測器的2、4象限光功率進一步增大，而1、3象限光功率進一步減小，產(chǎn)生的聚焦誤差信號增大。

隨著 ω0繼續(xù)增大，如圖3（c）所示，探測光中心區(qū)域光強分布受熱透鏡衍射效應的影響愈發(fā)明顯，使得四象限探測器的2、4象限和1、3象限接收到的光功率的差別進一步增大，而探測光邊緣區(qū)域受熱透鏡的衍射效應影響較小，四象限探測器2、4象限和1、3象限接收到的光功率差別不大。隨著探測光斑的增大探測平面上探測光光斑同時增大，雖然探測光斑中心區(qū)域光強分布的變化對聚焦誤差信號的影響增大，但光功率占比減小，而邊緣區(qū)域對聚焦誤差信號基本無影響且光功率占比增大，總體可以使聚焦誤差信號減小。

為進一步分析探測光斑半徑對聚焦誤差信號的影響并驗證構型優(yōu)化理論的正確性，利用式（8）計算熱透鏡在線性光學相移近似條件下探測光斑半徑 ω0和聚焦透鏡間距 Dz對聚焦誤差信號的影響。設探測光最大光學相移 ? ?0=0.001 rad，滿足式（8）近似條件， Dz取值范圍為0～ 2 f ，ω0取值范圍為0～ 3a ，其余參數(shù)與圖3相同。

計算結果如圖4所示：當 Dz=0 時，兩柱面聚焦透鏡等效為一理想薄透鏡，探測平面上光強始終為圓形分布，因此 SFE?L始終等于零且與探測光斑半徑 ω0大小無關；當 Dz＞0 時， SFE?L隨著 ω0增大先增大后減小，與圖3結果一致且與Dz的取值有關。當 Dz較小時， SFE?L隨著 ω0增大變化相對比較緩慢且極大值較??；而當 Dz較大時， SFE?L隨著 ω0增大先迅速增大而后緩慢減小且極大值較大。此外， SFE?L極大值對應的 Dz隨著 ω0增大而逐漸減小。當 ω0≈1.14a 時， SFE?L達到最大值約為 0 .354??0，對應的 Dz≈0.88f ，與理論結果一致。

圖4 聚焦誤差信號隨探測光斑半徑和聚焦透鏡間距的變化關系Fig.4 Focus-error amplitude as function of both probe beam radius and distance between two cylindrical focusing lenses

此外，探測光斑半徑的變化還會影響聚焦誤差信號的線性范圍。利用式（7）可得到聚焦誤差信號 SFE隨 探測 光 斑半徑 ω0和熱 透 鏡引起 的 探測光最大光學相移 ? ?0的變化關系，結果如圖5所示，其中 ? ?0取值范圍為0～2 rad，其余參數(shù)與圖3相同。

圖5 聚焦誤差信號隨探測光斑半徑和熱透鏡最大光學相移的變化關系Fig.5 Focus-error amplitude as function of both probe beam radius and maximum optical phase-shift of probe beam

由此可以得出：當 ω0＜0.25a 時，聚焦誤差信號 SFE與探測光最大光學相移 ? ?0基本保持線性關系，線性范圍大；而當 ω0＞0.25a 時，隨著ω0的增大 SFE與 ? ?0呈現(xiàn)明顯的非線性特性， SFE與 SFE?L相比有所減小，且與 SFE?L的相對差別隨著 ω0增大而逐漸增大，線性范圍逐漸減小。

為定量分析探測光斑對聚焦誤差信號的線性范圍的影響，引入非線性誤差 δ ，定義為

利用圖5數(shù)據(jù)以及計算對應的 SFE?L得到非線性誤差隨探測光斑半徑和探測光最大光學相移的變化關系，如圖6所示。

圖6 線性誤差隨探測光斑半徑和熱透鏡最大光學相移的變化關系Fig.6 Nonlinear error of focus-error signal as function of both probe beam radius and maximum optical phase-shift of probe beam

由圖6可以看出，非線性誤差隨著 ω0和 ??0的增大而增大。當 ω0＜0.25a 時， ? ?0=2 rad時的非線性誤差＜4%且隨著 ω0的減小而減?。划敠?從 0 .25a 增大到 a 時非線性誤差從4%迅速增大到19%，即線性范圍隨著 ω0的增大而迅速減??；當 ω0從 a 增 大 到 3a 時 非 線 性 誤 差 僅 從19%增大到21%，此時 ω0的增大對線性范圍的影響較小。雖然探測光斑半徑增大使得聚焦誤差信號的線性范圍減小，但在構型參數(shù)優(yōu)化條件下??0＜0.4 rad時的非線性誤差＜1%，仍然具有較大 線性范圍。

4 結 論

本文建立了基于光學相移理論的熱透鏡聚焦誤差信號理論模型，利用該模型得到了熱透鏡效應條件下的構型參數(shù)優(yōu)化條件及最大聚焦誤差信號理論值。研究結果表明：探測光斑半徑為激勵光斑半徑的1.14倍時，聚焦誤差信號最大。通過數(shù)值計算分析了探測光斑半徑對聚焦誤差信號幅值及其線性范圍的影響。計算結果表明：聚焦誤差信號隨探測光斑半徑的增大先增大后減小，探測光斑半徑優(yōu)化值及其相應的最大聚焦誤差信號與理論結果一致；而聚焦誤差信號的線性范圍隨著探測光斑半徑的增大而逐漸減小，在構型參數(shù)優(yōu)化條件下探測光最大光學相移＜0.4 rad時聚焦誤差信號的非線性誤差＜1%。這些結論可為進一步提高熱透鏡聚焦誤差的測量靈敏度和準確度提供參考。