龐方皓，程慶慶

（上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093）

引 言

超構表面是一種由亞波長結構組成的超薄超材料，具備可定制的光學特性，為實現(xiàn)具有預期功能的平面光子器件提供了一種新穎的方法[1-2]。目前，基于超構表面設計并證實了廣義Snell定律[3]，并相繼出現(xiàn)了聚焦[4-7]、偏折[8-10]、光束發(fā)生器[11-12]、光學全息成像[13-14]等。在超構表面的分支中，由亞波長結構所組成的超構透鏡能夠在平面內對電磁波相位進行高密度的靈活調控，區(qū)別于傳統(tǒng)透鏡通過改變電磁波光程的相位調控方式，超構透鏡具備更加輕量化和更易集成化等優(yōu)勢。然而，受限于材料性質隨波長變化的特征，超構透鏡在成像中存在色差并造成圖像模糊等問題，這阻礙其在光學顯微成像、超分辨成像等領域的發(fā)展。

近年來，大量的研究通過對超構透鏡單元結構進行優(yōu)化設計并實現(xiàn)寬光譜的消色差成像。例如，哈佛大學Capasso團隊提出了一個可見光波段的消色差超構透鏡，其工作波長為490～550 nm，實現(xiàn)了對可見光的連續(xù)寬帶消色差聚焦[15]。加州理工學院的Faraon團隊設計了一個近紅外波段的消色差超構透鏡，其工作波長為1 450～1 590 nm，實現(xiàn)了近紅外波段連續(xù)帶寬的消色差聚焦[16]。南京大學王漱明等[17-18]設計了光頻段的反射式和透射式消色差超構透鏡，其工作波長為1 200～1 680 nm和400～660 nm，分別實現(xiàn)了近紅外的消色差聚焦和可見光波段連續(xù)寬帶的彩色成像。上海理工大學程慶慶等[19-20]完成了對太赫茲波段的消色差設計，分別實現(xiàn)了0.3～0.8 THz連續(xù)寬帶的太赫茲消色差聚焦和0.4～0.8 THz連續(xù)寬帶的消色差艾里光束產生。上述的消色差設計都是借助單層超構透鏡結構的參數(shù)優(yōu)化，使得消色差超構透鏡在設計中面臨數(shù)值孔徑小的缺點，此外生成更好的消色差艾里光束受制于小的樣品尺寸。

本文提出雙層硅基級聯(lián)太赫茲消色差超構透鏡的方案，優(yōu)化超構透鏡上的結構并獲得色差補償相位為φ = 3.87π rad，從而增加太赫茲消色差透鏡的尺寸和數(shù)值孔徑，并且能降低高深寬比樣品的加工難度。理論上將傳輸相位和幾何相位[21]結合，分別提供頻率范圍從0.5 THz到1.1 THz的色差補償相位和0.5 THz頻點的聚焦相位，最終在模擬中設計并驗證焦距F = 12 mm、數(shù)值孔徑NA = 0.37和直徑D = 9.6 mm的雙層硅基級聯(lián)太赫茲消色差超構透鏡，其消色差聚焦示意圖如圖1（a）所示。本文設計的雙層硅基級聯(lián)太赫茲消色差超構透鏡將在太赫茲探測、成像等領域發(fā)揮重要作用，有助于太赫茲消色差元器件的發(fā)展。

圖 1 雙層硅基級聯(lián)超構透鏡消色差聚焦示意圖和相位分布Fig. 1 Schematic diagram of achromatic focusing and phase distribution of cascaded silicon-based achromatic metalens

1 消色差原理

設計的超構表面結構需要滿足消色差聚焦透鏡所需的相位分布。一束平面波經過超構透鏡后聚焦，其超構透鏡的聚焦相位分布如下

式中：(x, y）表示聚焦透鏡平面上任意一點的坐標，透鏡直徑D = 9.6 mm（?D/2 ≤ x ≤ D/2,?D/2 ≤y ≤ D/2）；透鏡焦距F = 12 mm；c為光速；f為目標頻率，取值范圍為0.5（fmin）～1.1 THz（fmax），可以將式（1）的聚焦相位方程分為兩部分，即聚焦相位φ1（x, y）和色差補償相位φ2（x, y）：

重點是設計一系列的單元結構使其不僅滿足式（2）中描述的聚焦相位φ1（x, y），同時滿足式（3）中的色差補償相位φ2（x, y）。特別注意的是，聚焦相位φ1（x, y）僅與頻率fmin相關，匹配該相位分布可以用幾何相位實現(xiàn)，由于幾何相位僅與結構單元的旋轉角度有關，因此通過對特定坐標（x, y）上的結構單元引入旋轉角度θ = φ1/2來滿足聚焦相位分布。式（3）表示的色差補償相位是一個與頻率f成線性相關的函數(shù)，該色差補償相位φ2（x, y）可以通過傳輸相位實現(xiàn)，通過設計不同的單元結構以此滿足色差補償相位的要求。然而，高頻的相位均小于低頻（圖1（b）中的紅色虛線位于藍色實線下方），使得式（3）呈現(xiàn)一個負值的色差補償相位φ2，這與材料的正常色散所表現(xiàn)出的相位隨頻率的增大而增大的關系相違背。因此需要給高頻相位附加相移 φshift(f)=α(f?fmin) ，讓高頻相位大于低頻相位，合并式（2）和式（3）為

2 雙層硅基級聯(lián)消色差超構透鏡設計

雙層硅基級聯(lián)消色差超構透鏡的設計，首要是設計并排列超構表面的單元結構以此滿足色差補償相位。我們利用有限時域差分法（FDTD）對單元結構進行仿真，設計了六種典型單元結構，柱結構和孔洞結構分別如圖2（a）～（c）和圖2（d）～（f）所示。單元結構的材料折射率為nsi= 3.45，x-和y-方向的周期均為px= py= 60 μm，柱（孔洞）結構的長和寬分別為L = 50 μm和W = 41 μm。圖2（a）所示單層柱結構Ⅰ的襯底和柱結構高度分別為T = 150 μm和H = 250 μm，圖3（a）所示為該結構的覆蓋相位φⅠ= 773°和頻率寬帶內的轉換效率均在40%以下。為了進一步增加結構的覆蓋相位，將襯底和柱結構高度都增大為兩倍（T = 300 μm、H = 500 μm），如圖2（b）所示的結構Ⅱ。在圖3（b）中可以看到結構改變后其覆蓋相位增大為φⅡ= 1 554°，近似為結構Ⅰ覆蓋相位φⅠ的兩倍，出現(xiàn)部分頻點的轉換效率在60%（紅色虛線）以上。但由于提高了單元結構的深寬比，而導致增加了樣品的加工難度。為了降低結構的深寬比，我們采用雙層級聯(lián)的方式將兩個結構Ⅰ組合形成圖2（c）所示的結構Ⅲ，襯底和柱結構高度分別為T = 300 μm和H = 250 μm。如圖3（c）所示該結構的覆蓋相位φⅢ= 1 568°和同時大部分頻點的轉換效率均在60%（紅色虛線）以上。對比結構Ⅰ和Ⅱ，雙層級聯(lián)結構Ⅲ的覆蓋相位依然滿足兩倍關系，不僅擴大了結構的覆蓋相位，同時還提升了轉換效率并降低了結構的深寬比。將上述三種單元結構中的柱結構替換為孔洞結構，保持結構參數(shù)不變，形成如圖2（d）～（f）所示孔洞結構Ⅳ、Ⅴ和Ⅵ。如圖3（d）～（f）所示孔洞結構Ⅳ、Ⅴ和Ⅵ的覆蓋相位分別為φⅣ=778°，φⅤ= 1 562°和φⅥ= 1 572°，同比柱結構的覆蓋相位都得到增加。此外，轉換效率在孔洞結構中同樣都得到提高，其中孔洞結構Ⅵ內大部分頻點的轉換效率均高于60%?？锥唇Y構的轉換效率曲線出現(xiàn)更多的由共振模式引起的透射峰，使得孔洞結構能夠提供更大的色差補償相位。因此我們采用雙層級聯(lián)的方法，結合柱結構和孔洞結構共同設計消色差超構透鏡。

圖 2 柱結構（a-c）和孔洞結構（d-f）示意圖Fig. 2 Schematic diagram of column structure (a-c) and hole structure (d-f)

圖 3 柱結構（a-c）和孔洞結構（d-f）的覆蓋相位和轉換效率Fig. 3 Phase coverage and conversion efficiency of column structure (a-c) and hole structure (d-f)

依據上述消色差理論，超構透鏡通過傳輸相位提供工作寬帶內的色差補償相位，幾何相位提供0.5 THz頻點所需的聚焦相位，最終實現(xiàn)0.5～1.1 THz寬帶消色差聚焦。將設計的所有結構參數(shù)進行整理，如表1所示，總共有34種結構，包含柱狀結構（編號1～19）和孔洞結構（編號20～34）長度、寬度的結構參數(shù)和覆蓋相位的數(shù)值大小。編號1～19的柱狀結構提供從1 168°到1 568°的覆蓋相位，編號20～34的孔洞狀結構實現(xiàn)從1 572°到1 858°的覆蓋相位。在結構排布中，孔洞結構排布在超構透鏡的中心位置（?3 180 μm到3 180 μm），另外靠近透鏡邊緣的區(qū)域由柱結構組成（?4 800 μm到?3 180 μm和3 180 μm到4 800 μm）。由于超構透鏡的對稱關系，表2給出超構透鏡半徑上（?x方向）的單元結構排序，包含每個單元結構的坐標位置、編號和旋轉角度。

表 1 單元結構參數(shù)及覆蓋相位數(shù)值Tab. 1 Parameters and compensation phase of structural units

表 2 雙層硅基級聯(lián)消色差超構透鏡單元結構排布Tab. 2 Structural unit arrangement of cascaded silicon-based achromatic metalens

3 雙層級聯(lián)與單層超構透鏡的消色差效果

依據上述雙層級聯(lián)超構透鏡的結構排布，利用FDTD對該超構透鏡進行了消色差效果的仿真驗證。如圖4（a）所示為雙層級聯(lián)消色差超構透鏡的相位曲線，其中最大色差補償相位φ1=φmax?φmin= 3.87π rad（φshift1= φmax）。由圖5（a）所示的該透鏡聚焦電場強度的分布，可以看出0.5 THz和1.1 THz兩個頻點的焦點均在同一位置F1= 12 mm，與預期一致。兩個頻點的焦斑在縱向和橫向上的強度歸一化半高寬分別為FWHM0.5THz= 0.80 mm（橫向）、FWHM1.1THz=0.35 mm（橫向）和FWHM0.5THz= 3.72 mm（縱向）、FWHM1.1THz= 7.82 mm（縱向）。根據NA=n?sinθ 計算得雙層級聯(lián)超構透鏡的數(shù)值孔徑NA1= 0.37，由 F WHM=0.5λ/NA 計算得到兩個頻點的焦斑橫向半高寬FWHM0.5THz' = 0.81 mm（橫向）和FWHM1.1THz' = 0.36 mm（橫向），這與模擬仿真中測量所得的橫向半高寬相接近。

雙層級聯(lián)超構透鏡能夠引入更大的色差補償相位，是單層超構透鏡色差補償相位的兩倍，以至于在相同工作頻率寬帶內雙層級聯(lián)超構透鏡能夠獲得更小的焦距。為了更直觀地說明雙層級聯(lián)超構透鏡的特征，做了單層超構透鏡的消色差聚焦效果對比。單層超構透鏡由單層柱（孔洞）結構組成，結構參數(shù)與表1相同，另外旋轉角度取表2中旋轉角度的一半。單層超構透鏡的相位曲線和仿真效果如圖4（b）和圖5（b）所示，其中最大色差補償相位φ2= φmax?φmin= 1.93π rad（φshift2= φmax）為雙層級聯(lián)超構透鏡最大色差補償相位φ1的一半，0.5 THz和1.1 THz兩個頻點的焦距均在F2= 24 mm，大于雙層級聯(lián)超構透鏡的焦距F1。此外，計算得到透鏡的數(shù)值孔徑為NA2= 0.19，小于雙層級聯(lián)超構透鏡的數(shù)值孔徑NA1=0.37。兩個頻點的焦斑在縱向和橫向上的強度歸一化半高寬分別為FWHM0.5THz=0.87 mm（橫向）、FWHM1.1THz= 0.61 mm（橫向）和FWHM0.5THz= 13.66 mm（縱向）、FWHM1.1THz=17.16 mm（縱向），均大于雙層級聯(lián)超構透鏡的焦斑半高寬。

圖 4 雙層級聯(lián)超構透鏡和單層超構透鏡的相位曲線Fig. 4 (a) Phase curves of cascaded metalens and single layer metalens

圖 5 雙層級聯(lián)超構透鏡與單層超構透鏡的聚焦效果對比Fig. 5 Comparison of focusing effect between cascaded and single layer metalens

4 結論

本論文提供了一種獲得大色差補償相位的雙層級聯(lián)超構透鏡設計方案，解決了單層超構透鏡中色差補償相位受限的問題。進一步，通過參數(shù)優(yōu)化并獲得0.5 THz到1.1 THz頻段內的色差補償相位φ = 3.87π rad，在仿真上設計并驗證了焦距F = 12 mm、樣品尺寸D = 9.6 mm和數(shù)值孔徑NA = 0.37的太赫茲消色差超構透鏡。本文提出的雙層硅基級聯(lián)太赫茲消色差超構透鏡在太赫茲探測超分辨成像系統(tǒng)等領域具有很大的潛在應用，將會促進太赫茲成像領域的發(fā)展。