狄邁 紀(jì)妍琳

摘要：回顧歷史，代數(shù)問題中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾是復(fù)數(shù)概念產(chǎn)生的動因，而幾何意義的產(chǎn)生是復(fù)數(shù)被接受的推動力。因此，HPM視角下的復(fù)數(shù)概念教學(xué)應(yīng)幫助學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個角度建構(gòu)復(fù)數(shù)概念，理解復(fù)數(shù)的二元數(shù)本質(zhì)，接受“虛數(shù)不虛”的事實。在梳理史料的基礎(chǔ)上，進行第一次教學(xué)設(shè)計：以史為鑒，理清脈絡(luò)。通過實施及研討，進行第二次教學(xué)設(shè)計：基于學(xué)情，增刪改進。

關(guān)鍵詞：HPM;復(fù)數(shù)概念;數(shù)形結(jié)合

復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段最后一次數(shù)系的擴充。學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)概念時，要突破已有思維的局限，理解負數(shù)開平方的意義，從一元數(shù)的世界走向二元數(shù)的世界。歷史上，復(fù)數(shù)的出現(xiàn)、發(fā)展與應(yīng)用，均體現(xiàn)了人們在追求真理過程中的理性精神，蘊含豐富的文化內(nèi)涵，具有較高的教育價值。

隨著HPM課例研究的深入開展，基于數(shù)學(xué)史的復(fù)數(shù)概念課例層見疊出?，F(xiàn)有課例大多利用卡丹（G.Cardano，1501—1576）的“分十”問題或邦貝利（R.Bombelli，1526—1572）應(yīng)用求根公式求解一元三次方程的事跡，引發(fā)學(xué)生的認知沖突，揭示復(fù)數(shù)概念產(chǎn)生的必要性。然而，僅從代數(shù)的角度切入，不利于學(xué)生認清復(fù)數(shù)作為二元數(shù)的本質(zhì)，真正地接受復(fù)數(shù)概念，即合法性認識不足。部分學(xué)生學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)概念后，甚至認為復(fù)數(shù)的代數(shù)表征和幾何表征是兩個不同的對象，而不是同一對象的不同表達方式，從而將兩者割裂開來。此外，也有教師僅從幾何的角度設(shè)計復(fù)數(shù)概念教學(xué)。但是，忽視代數(shù)表征的設(shè)計存在引入不自然等局限，即必要性認識不足。

回顧歷史，代數(shù)問題中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾是復(fù)數(shù)概念產(chǎn)生的動因，而幾何意義的產(chǎn)生是復(fù)數(shù)被接受的推動力。因此，HPM視角下的復(fù)數(shù)概念教學(xué)應(yīng)幫助學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個角度建構(gòu)復(fù)數(shù)概念，理解復(fù)數(shù)的二元數(shù)本質(zhì)，接受“虛數(shù)不虛”的事實。

一、史料梳理

（一）代數(shù)意義：復(fù)數(shù)的產(chǎn)生與困境

解一元二次方程時，不可避免地會遇到負數(shù)開平方的問題。

從現(xiàn)存史料可見，3世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖、9世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家摩訶毗羅和12世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅都遇到了負數(shù)開平方的問題，他們都認為負數(shù)是沒有平方根的，因為其不是一個平方數(shù)。

16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡丹研究“分十”問題（將10分成兩部分，使它們的乘積等于40）時，寫下了5+-15和5--15這樣的數(shù)。盡管卡丹是歷史上第一個使用負數(shù)平方根的人，但是他拒絕承認這種數(shù)的存在。

應(yīng)用一元三次方程求根公式過程中發(fā)現(xiàn)的矛盾使數(shù)學(xué)家不得不面對負數(shù)開平方的問題，這是復(fù)數(shù)產(chǎn)生的根本動因。

16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家邦貝利研究方程x3=15x+4時，發(fā)現(xiàn)有三個實數(shù)解4、-2±3，但是應(yīng)用一元三次方程求根公式，卻得到了含負數(shù)開平方形式的解。面對這一矛盾，邦貝利通過將-1引入運算來解決。

雖然復(fù)數(shù)早已誕生，但是人們對復(fù)數(shù)的意義及其合法性一直存有懷疑。

1702年，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（G.W.Leibniz，1664—1716）指出：“虛數(shù)是神靈循跡的精微而奇異的隱蔽所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物?！?/p>

1777年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler，1707—1783）在論文中引入i=-1。但在《代數(shù)學(xué)引論》一書中，歐拉寫道：“所有可以想象的數(shù)，要么大于零，要么小于零，要么等于零，所以負數(shù)的平方根顯然不能包含在這些數(shù)中。因此，我們必須說，它們是不可能的數(shù)。”

（二）幾何意義：復(fù)數(shù)的二元數(shù)本質(zhì)

人們對復(fù)數(shù)的意義及其合法性的懷疑持續(xù)了將近250年，直到復(fù)數(shù)幾何意義的出現(xiàn)，人們才真正接受復(fù)數(shù)。其中，復(fù)數(shù)的圖形表示、實際應(yīng)用、理論的公理化是復(fù)數(shù)被普遍接受的三個重要環(huán)節(jié)。

英國數(shù)學(xué)家沃利斯（J.Wallis，1616—1703）嘗試給出復(fù)數(shù)的幾何解釋：對一元二次方程x2+bx+c=0（b>0，c>0），當(dāng)b2≥c時，如圖1所示，設(shè)AB長為b，C為AB的中點，過點C作AB的垂線，取CP=c，以P為圓心、b2為半徑作圓弧，交AB于點D，則線段AD、BD長度的相反數(shù)即為方程的兩個實根;類似地，當(dāng)b2

挪威土地測量員魏塞爾（C.Wessel，1745—1818）最早給出了復(fù)數(shù)的幾何圖形解釋。他建立了一個直角坐標(biāo)系：橫軸以1為單位，+1的方向角為0°，-1的方向角為180°;縱軸以ε為單位，+ε的方向角為90°，-ε的方向角為-90°或270°。從而得到了（+ε）（+ε）=-1，即ε=-1。這表明他已經(jīng)給出了-1的幾何解釋。

瑞士簿記員阿甘德（J.R.Argand，1768—1822）首次用“絕對值”來表示距離，以區(qū)別線段的方向。如圖3所示，記KA為正單位向量（+1），KI為負單位向量（-1），將-1視為+1與-1的比例中項，它的幾何表示就是過點K且垂直于KA的向量KE，同理，--1的幾何意義為向量KN。因此，可以將-1看成是+1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的結(jié)果。由此，阿甘徳揭示了復(fù)數(shù)與向量之間的聯(lián)系。

復(fù)數(shù)的幾何表示最終由高斯（C.F.Gauss，1777—1855）完善。他提出了一個與復(fù)數(shù)相聯(lián)系的平面，不僅將復(fù)數(shù)表示為該平面上的點，而且闡述了復(fù)數(shù)加法與乘法的幾何表示。高斯指出：如果一開始不稱1、-1和i為正、負和虛單位，而稱為直、反和側(cè)單位，那么人們對這些數(shù)或許就不會產(chǎn)生種種陰暗神秘的印象。

18世紀(jì)，復(fù)數(shù)在其他領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用促進了其自身的發(fā)展。1752年，法國數(shù)學(xué)家達朗貝爾（dAlembert，1717—1783）將復(fù)變函數(shù)理論應(yīng)用于流體動力學(xué)。1772年，瑞士數(shù)學(xué)家蘭伯特（J.H.Lambert，1728—1777）將復(fù)變函數(shù)理論應(yīng)用于地圖的制作。

復(fù)數(shù)理論的完善是由英國數(shù)學(xué)家哈密頓（R.Hamilton，1805—1865）完成的。他指出：與2+3不同，a+bi并非真正意義上的和，加號的使用只是歷史的偶然，b并不能加到a上去;復(fù)數(shù)只不過是一個有序?qū)崝?shù)對而已。這揭示了復(fù)數(shù)的二元數(shù)本質(zhì)。進一步可以得到：復(fù)數(shù)能夠按照一定的規(guī)則排序（如先比較實部，再比較虛部），但是無法比較大小。

綜上所述，復(fù)數(shù)出現(xiàn)于“負數(shù)開平方”的代數(shù)情境，在幾何解釋與實際應(yīng)用出現(xiàn)后被世人接受。這里特別值得一提的是，以虛數(shù)的存在為基礎(chǔ)，吉拉爾提出、高斯證明了代數(shù)基本定理（n次復(fù)系數(shù)多項式方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且只有n個根），進一步推動了人們接受虛數(shù)。

二、教學(xué)設(shè)計

（一）第一次設(shè)計：以史為鑒，理清脈絡(luò)

以史為鑒，結(jié)合學(xué)生的認知基礎(chǔ)，可以將卡丹的“分十”問題還原為“負數(shù)開平方”的一元二次方程問題，結(jié)合邦貝利應(yīng)用求根公式求解一元三次方程的事跡，引發(fā)學(xué)生的認知沖突，引入虛數(shù)概念，揭示“知識之源”;基于魏塞爾、阿甘德對復(fù)數(shù)幾何意義的研究，讓學(xué)生從旋轉(zhuǎn)的角度經(jīng)歷復(fù)數(shù)幾何意義的產(chǎn)生過程，從幾何的角度突破認知壁壘，認識“虛數(shù)不虛”;基于代數(shù)基本定理，讓學(xué)生進一步從代數(shù)的角度感受虛數(shù)引入的合理性，進而學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與幾何表示之間的對應(yīng)關(guān)系，完成從實數(shù)域到復(fù)數(shù)域的數(shù)系擴充過程;基于哈密頓對復(fù)數(shù)的公理化定義，揭示復(fù)數(shù)作為二元數(shù)的本質(zhì);基于萊布尼茨、歐拉等數(shù)學(xué)家對復(fù)數(shù)的看法，讓學(xué)生了解復(fù)數(shù)概念從產(chǎn)生到被接受的曲折歷程，形成動態(tài)的數(shù)學(xué)觀，增強理性精神，實現(xiàn)“德育之效”。

具體教學(xué)設(shè)計如下：

1.問題引入。

【問題1】 構(gòu)造四個不同的方程，使它們的解分別為自然數(shù)、負整數(shù)、分?jǐn)?shù)、無理數(shù);再構(gòu)造一個無解的方程。

【問題2】 在實數(shù)范圍內(nèi)解方程x2=-1。

附加式地呈現(xiàn)丟番圖、摩訶毗羅等數(shù)學(xué)家對“負數(shù)開平方”問題的看法。

2.新知探索。

【問題3】 解方程x3=15x+4。

學(xué)生用計算器求解，教師代入一元三次方程求根公式求解，然后對比。

順應(yīng)式地介紹邦貝利應(yīng)用一元三次方程求根公式發(fā)現(xiàn)“負數(shù)開平方”形式的解。

【問題4】 從幾何的角度盡可能多地說出對1×（-1）=-1的理解，概括得到-1的平方根的幾何意義。

附加式地從代數(shù)基本定理的角度說明復(fù)數(shù)存在的必要性。

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的定義、代數(shù)表示、分類及復(fù)數(shù)相等的充要條件。

3.新知應(yīng)用。

【練習(xí)1】 下列復(fù)數(shù)是實數(shù)還是虛數(shù)？對于虛數(shù)，它們的實部和虛部分別是什么？（1）-0.5i;（2）-12-2i;（3）π;（4）0;（5）3;（6）2i-5。

【練習(xí)2】 當(dāng)x、y為何實數(shù)時，z=（x2-3x+2）+（y2-2y-3）i=2？

4.拓展提高。

附加式地介紹哈密頓對復(fù)數(shù)的公理化定義。

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的大小比較、復(fù)數(shù)與向量的聯(lián)系與區(qū)別，以深刻理解復(fù)數(shù)的二元數(shù)本質(zhì)。

附加式地介紹萊布尼茨、歐拉等數(shù)學(xué)家對復(fù)數(shù)的看法。

5.布置作業(yè)。

【作業(yè)】 若將實軸繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，那么實軸上的數(shù)變?yōu)槭裁矗?/p>

（二）第二次設(shè)計：基于學(xué)情，增刪改進

在教學(xué)實施及課后研討的基礎(chǔ)上，基于學(xué)生學(xué)情總結(jié)出上述教學(xué)設(shè)計的一些問題：（1）教學(xué)內(nèi)容過多，難以在一節(jié)課中完整呈現(xiàn);（2）附加式地介紹了大量的數(shù)學(xué)史，有些“為了歷史而歷史”，導(dǎo)致學(xué)生注意的分散，不利于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí);（3）無解方程的構(gòu)造是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點;（4）學(xué)生的代數(shù)基礎(chǔ)較為薄弱，對一元三次方程的求解較為陌生，導(dǎo)致未能成功激發(fā)認知沖突;（5）學(xué)生基于1×（-1）=-1的幾何意義探討-1的平方根的幾何意義時，較難突破思維慣性，跳出一維數(shù)軸，需要教師加以引導(dǎo);（6）復(fù)數(shù)的大小比較問題涉及復(fù)數(shù)的運算，且完全解釋這一問題需要運用有序域的概念，因此不宜在復(fù)數(shù)概念課中展開討論。

由此，對上述教學(xué)設(shè)計作出如下改進：（1）將要求構(gòu)造方程的問題1以及要求解一元二次方程的問題2修改為要求解一元二次方程的問題以及思考方程為什么沒有實根的問題，從而利于學(xué)生理解沒有實根和無解的區(qū)別，引出“負數(shù)不能開平方”想法;（2）刪去有關(guān)一元三次方程的問題3，直接在回顧數(shù)系擴充過程的基礎(chǔ)上，從數(shù)學(xué)史的角度介紹負數(shù)開平方的必要性，解釋虛數(shù)的定義;（3）將研究虛數(shù)幾何意義的問題4分解為若干子問題，為學(xué)生搭建“腳手架”;并且利用短視頻呈現(xiàn)19世紀(jì)英國小說《平面國》的片段，啟發(fā)學(xué)生突破思維慣性，跳出一維數(shù)軸，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)推廣的一般方法;（4）新增通過觀察一元二次方程虛根的形式，抽象出復(fù)數(shù)的代數(shù)表示的活動;（5）在“拓展提高”環(huán)節(jié)，刪去復(fù)數(shù)的大小比較、復(fù)數(shù)與向量的聯(lián)系與區(qū)別等內(nèi)容，強化對復(fù)數(shù)幾何意義價值的思考;（6）總的來看，降低課堂容量，將一些附加式介紹的數(shù)學(xué)史改為重構(gòu)式融入。

具體教學(xué)設(shè)計如下：

1.問題引入。

【問題1】 （1）在整數(shù)范圍內(nèi)解方程2x2-3x+1=0、2x2-3=0;（2）在有理數(shù)范圍內(nèi)解方程2x2-3x+1=0、2x2-3=0;（3）在實數(shù)范圍內(nèi)解方程2x2-3=0、x2=-1。

引導(dǎo)學(xué)生回顧從小學(xué)至今的數(shù)系擴充過程。

【問題2】 為什么Δ<0時，一元二次方程沒有實根？

2.新知探索。

從數(shù)學(xué)史的角度，簡要介紹負數(shù)開平方的必要性（包括邦貝利研究一元三次方程求根公式發(fā)現(xiàn)“負數(shù)開平方”形式的解），解釋i的定義（包括歐拉取“imaginary”的首字母來表示虛數(shù)，意為想象的數(shù)）。

【問題3】 研究x2=-1的幾何意義。

（1）在數(shù)軸上，數(shù)的加減運算可以視為平移變換，那么乘法運算對應(yīng)什么變換？

（2）觀看19世紀(jì)英國小說《平面國》片段的短視頻（主要內(nèi)容如圖4所示），你受到了什么啟發(fā)？

來自平面國的正方形，在一次探索旅行中，遇到了一位自稱來自三維世界的訪客。奇怪的是，他看上去是一個尺寸不斷變化的圓形。這個圓形稱自己為“球體”，實際上，正方形看到平面上忽大忽小的圓形是球體在上下移動。但是，就好比一維的人無法想象脫離直線的運動，正方形也不能理解“向上，而非向北”這個概念。球體說不清，只好付諸行動，將正方形揭起來，脫離了平面國，進入了空間。

（3）1×2=2、1×（-1）=-1、（-1）×（-1）=1的幾何意義是什么？

（4）基于1×（-1）=-1的幾何意義，如何理解x2=-1中x的幾何意義？

【問題4】 觀察一元二次方程虛根的形式，你能定義復(fù)數(shù)嗎？

3.新知應(yīng)用。

同第一次教學(xué)設(shè)計，略。

4.拓展提高。

從代數(shù)基本定理的角度說明復(fù)數(shù)存在的必要性。

介紹哈密頓對復(fù)數(shù)的公理化定義。

介紹萊布尼茨、歐拉等數(shù)學(xué)家對復(fù)數(shù)的看法。

【問題5】 數(shù)學(xué)家們力圖找到復(fù)數(shù)的幾何意義，為什么一定要讓i有意義？

5.布置作業(yè)。

【作業(yè)】 復(fù)數(shù)能否比較大小？

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