□ 劉善娜

促進(jìn)思維發(fā)展是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心使命，也是落實學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵所在。作業(yè)是學(xué)生獨立完成的課內(nèi)外練習(xí)的總稱，是實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生思維能力這一數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的重要載體。在“雙減”的大背景下，學(xué)生的作業(yè)更需擺脫過多的重復(fù)操練，要注重發(fā)揮作業(yè)診斷、鞏固、學(xué)情分析等功能，教學(xué)中應(yīng)布置分層、彈性和個性化作業(yè)。雖然作業(yè)促進(jìn)思維發(fā)展在敘說層面已基本形成共識，但在實踐中，只關(guān)注知識和技能的反復(fù)操練和機械識記，忽視思維發(fā)展的現(xiàn)象依舊普遍存在?；趩卧w視角進(jìn)行作業(yè)設(shè)計是實現(xiàn)作業(yè)高質(zhì)量的途徑之一。站在單元之上，教師更能看清全局，摸清教材的脈絡(luò)，據(jù)此幫助學(xué)生刪減原有的重復(fù)性作業(yè)，增補探究性作業(yè)，形成質(zhì)高量少的作業(yè)體系。

一、指向思維發(fā)展的探究性作業(yè)類型

（一）“畫數(shù)學(xué)”：通過圖示“看見”思維

“畫數(shù)學(xué)”是指讓學(xué)生用簡單的圖示把問題的意思表示出來，或者把自己的思維過程用圖示呈現(xiàn)出來。“畫”可以把學(xué)生內(nèi)在的思維過程變?yōu)橥庠诘谋憩F(xiàn)形式，外顯對問題的思考過程?！爱嫈?shù)學(xué)”可以畫流程、畫模型、畫導(dǎo)圖等。

1.畫流程，讓解題思路看得見

畫流程是指讓學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，把隱藏在大腦中的一個個“算法”或者問題解決的步驟畫出來。畫的過程能幫助學(xué)生厘清條件與問題之間的邏輯關(guān)系，直觀地審視自己的解題思路與程序，防止錯誤的發(fā)生。

例如“組合圖形面積”的作業(yè)，學(xué)生出錯的主要原因是解題步驟多，信息量大。通過一步步畫解題路徑流程圖，訓(xùn)練學(xué)生用“綜合法”與“分析法”解決問題，能大大提升解答組合圖形面積問題的正確率。

2.畫模型，讓解題要素看得見

畫模型的過程就是從抽象的文字到直觀的圖形的再創(chuàng)造、再演示的過程，如畫線段圖、幾何草圖等。以“立體圖形的認(rèn)識”為例，很多學(xué)生套用公式解決問題，抽象不出圖形表象，無法進(jìn)行三維與二維的轉(zhuǎn)化，這時，教師可以設(shè)計畫圖作業(yè)幫助學(xué)生解讀提煉問題要素：“請你畫一個長方體草圖。如果在這個長方體的上面，又放了一個長方體，你能在剛剛畫的這個長方體上添加嗎？觀察這個草圖，你能發(fā)現(xiàn)增加的面是哪些嗎？為什么增加的是這一圈前后左右4個面？增加的面的大小與哪些棱有關(guān)？你能求出它的面積嗎？”（如圖1）通過這類不求具體數(shù)據(jù)結(jié)果的畫圖作業(yè)，讓學(xué)生分析理解解題的要素，關(guān)注問題形成過程中條件發(fā)生的變化，并結(jié)合標(biāo)注的字母進(jìn)行表達(dá)，學(xué)生在想象與描述中提升了空間觀念。

圖1 “畫數(shù)學(xué)”中的“畫模型”示例

3.畫導(dǎo)圖，讓知識生發(fā)看得見

思維導(dǎo)圖以關(guān)鍵詞和圖像為支架，幫助學(xué)生擴散思維，從一個知識點（或概念）進(jìn)行生發(fā)，使他們的歸納整理能力和想象能力得到提高。例如，“三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算”的課后作業(yè)，教師并不只是讓學(xué)生練習(xí)筆算，而是讓學(xué)生通過先寫一個式子，再由此進(jìn)行知識點的生發(fā)訓(xùn)練（如圖2）。

圖2 “畫數(shù)學(xué)”中的“畫導(dǎo)圖”示例

（二）“說數(shù)學(xué)”：通過語言“表現(xiàn)”思維

語言是思維的外衣，“說數(shù)學(xué)”旨在從語言這一途徑讓思維更加清晰、明了，激發(fā)學(xué)生表達(dá)的興趣并促進(jìn)其思維的發(fā)展。讓學(xué)生多表達(dá)的目標(biāo)不僅指向讓學(xué)生表達(dá)結(jié)果，還要注意在學(xué)生表達(dá)過程中加強邏輯思維的訓(xùn)練，促進(jìn)學(xué)生思考能力的提升。

1.“小醫(yī)生”：診斷中讓思維清晰

進(jìn)行“小醫(yī)生”角色扮演，可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯題、分析陷阱，進(jìn)行診斷分析，進(jìn)而找出對策，讓整個思維過程清晰可見。

例如，在學(xué)習(xí)“乘法筆算”單元后，“小醫(yī)生”可先給自己做一個“全身體檢”，把自己在這一單元中做錯的題都找出來，并歸類分析作業(yè)題中的陷阱和自己的錯因，再針對自己的做題過程進(jìn)行總結(jié)，尋找出自認(rèn)為合理的筆算策略，形成一份錯題“病例”。

2.“小老師”：講解中讓思維明了

讓學(xué)生做“小老師”，重在通過講解具體問題，逐步得出結(jié)論，進(jìn)而提升判斷說理能力。如面對“一個平面圖形，它的周長越長，面積就越大，這句話對嗎”這個問題，“小老師”可以通過舉例的方式，條分縷析，逐步得出結(jié)論，這一過程讓學(xué)生的思維明了可視。學(xué)生說的過程就是梳理的過程，也是學(xué)生反反復(fù)復(fù)進(jìn)行自我解讀、自我審視與自我調(diào)整的過程。這樣的作業(yè)指向的是思維的訓(xùn)練，面向的是思維的提升。

（三）“做數(shù)學(xué)”：讓思維在做的過程中發(fā)展

小學(xué)生的思維以感性為主，能集中精力的時間有限，可以做一些體驗式、實踐性的作業(yè)?！白鰯?shù)學(xué)”能讓學(xué)生在操作中體驗數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。學(xué)生通過合作探究，共同致力于生活中實際問題的解決，進(jìn)而促進(jìn)思維的發(fā)展。

1.激發(fā)學(xué)生動手的興趣

聚焦數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)，圍繞學(xué)生在生活中感興趣的問題設(shè)計作業(yè)，能讓學(xué)生感受到“做數(shù)學(xué)”的樂趣?；诖?，教師可從“基于教材內(nèi)容”“基于校園資源”和“基于校外資源”三個角度挖掘教學(xué)資源，遵循整體性原則開發(fā)設(shè)計“做數(shù)學(xué)”作業(yè)（如圖3）。

圖3 圍繞學(xué)生生活中感興趣的問題設(shè)計作業(yè)示意圖

例如，“運動會中的數(shù)學(xué)”就是基于校園資源、讓學(xué)生自主設(shè)計的作業(yè)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“預(yù)賽第一名為什么排在決賽的第四跑道”“跳高調(diào)整高度時的等差數(shù)列”“跑道起點如何設(shè)置”等問題，在后續(xù)交流中充分感受到生活中處處有數(shù)學(xué)。

2.基于合作展開實踐探究

為了培養(yǎng)學(xué)生合作解決問題的能力，教師可以本著組內(nèi)異質(zhì)、組間同質(zhì)的原則對學(xué)生進(jìn)行分組，一般為5人一組，以學(xué)生自由搭配為宜，營造組內(nèi)融洽的關(guān)系，確保小組成員朝著共同的目標(biāo)前進(jìn)。

團隊組建之后，學(xué)生在真實場景中完成有挑戰(zhàn)、有意義、有趣味的數(shù)學(xué)作業(yè)。小組成員在這一過程中會產(chǎn)生很多新的觀點和問題解決方法。教師要鼓勵學(xué)生在有了新觀點和想法后就大聲地說出來，彼此在他人提出的觀點之上建立新觀點，群策群力借助合作產(chǎn)生的多樣化方法，發(fā)散思維。例如，在進(jìn)行測量旗桿高度的頭腦風(fēng)暴環(huán)節(jié)，學(xué)生有的說可以把旗桿放倒進(jìn)行測量，有的說可以與旁邊的辦公樓進(jìn)行對比，也有的說可以利用影長與比例的知識，還有的說可以找一名組員和旗桿一起拍照，通過計算相關(guān)數(shù)據(jù)得出結(jié)果，等等。

3.致力于問題的解決

數(shù)學(xué)來源于生活。引導(dǎo)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)問題后，通過力所能及的實踐、調(diào)查、分析得出結(jié)論，利用所學(xué)知識提出建議和策略，經(jīng)歷解決生活問題的過程。在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的動手實踐能力、團隊協(xié)作能力、數(shù)學(xué)思維能力。如探索“球形灌木總共有多少片葉子”這個問題，就是通過真實的估算活動幫助學(xué)生建立數(shù)感。學(xué)生經(jīng)過一系列探究，提出了各種方案，最終討論確定，可以用漁網(wǎng)罩住灌木的方法解決問題，因為網(wǎng)眼的大小是大致相等的，所以把網(wǎng)罩在灌木上，只要先數(shù)出每個網(wǎng)眼內(nèi)樹葉的大致數(shù)量，再乘網(wǎng)眼的數(shù)量，就可以估算出樹葉總數(shù)。

另外，如家庭節(jié)水妙招、小區(qū)門口車流量、調(diào)查電瓶車頭盔佩戴情況、四色垃圾桶設(shè)置等生活中的問題，教師都可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注此類問題并嘗試加以解決。

（四）“聯(lián)數(shù)學(xué)”：讓思維在融會貫通中進(jìn)階

現(xiàn)實中的問題往往是復(fù)雜的，需要融合具體學(xué)科中的多個主題以及不同學(xué)科的知識，整體性地加以解決。讓學(xué)生在融會貫通中發(fā)展思維是“聯(lián)數(shù)學(xué)”這類作業(yè)設(shè)計的理論依據(jù)。通過摸索發(fā)現(xiàn)，可以從學(xué)科內(nèi)融合和學(xué)科間融合兩個方面設(shè)計促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的作業(yè)，讓學(xué)生學(xué)會用聯(lián)系的觀點看數(shù)學(xué)。

1.學(xué)科內(nèi)融合

數(shù)學(xué)中不同專題的知識有內(nèi)在的聯(lián)系，需要對其進(jìn)行融合。比如，乘法分配律這個知識點在運算領(lǐng)域主要用于簡便計算。然而事實上，這個知識與筆算、點子圖、面積、周長、應(yīng)用題等知識都有內(nèi)在的聯(lián)系，若是學(xué)生能夠用聯(lián)系的觀點去看這些知識的聯(lián)結(jié)，能夠極大地促進(jìn)其對數(shù)學(xué)概念的深度理解，并通過觸類旁通發(fā)展思維。從學(xué)生的作業(yè)（如圖4）中，可以看到這種融合的效果。

圖4 乘法分配律與數(shù)學(xué)其他知識點的融合作業(yè)呈現(xiàn)

2.學(xué)科間融合

培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力，需要在立足本學(xué)科的同時，打破固有的學(xué)科邊界，努力嘗試與其他學(xué)科在內(nèi)容和形式上的融合，使各學(xué)科之間相互補充、相互促進(jìn)，真正發(fā)展學(xué)生的思維。通過多年的摸索，研究團隊找到了從生活主題和活動主題兩個角度將數(shù)學(xué)與多個學(xué)科進(jìn)行融合的路徑。以數(shù)學(xué)與美術(shù)學(xué)科融合為例，可以基于生活主題，梳理出生活中既包括數(shù)學(xué)知識又包括美術(shù)知識的問題，并據(jù)此設(shè)計相應(yīng)的作業(yè)。如讓學(xué)生為自己班的女老師設(shè)計高跟鞋，就是融合了數(shù)學(xué)中的黃金比與美術(shù)的設(shè)計與創(chuàng)造。

二、符合指向思維發(fā)展的探究性作業(yè)的三個特征

突出問題導(dǎo)向、強調(diào)問題解決過程、重視問題解決結(jié)果的呈現(xiàn)是探究性作業(yè)的特征。具有這三個特征的探究性作業(yè)能有效促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。

（一）突出問題導(dǎo)向

1.問題要具有一定的彈性空間

不指向封閉答案、具備一定開放度的問題，能促進(jìn)學(xué)生個性化的理解，體現(xiàn)不一樣的思考路徑。如在認(rèn)識大數(shù)后，可設(shè)計這樣的問題：“你能舉出幾個大數(shù)來介紹與‘大數(shù)的認(rèn)識’相關(guān)的知識嗎？你會介紹哪些方面呢？”由于每個學(xué)生選取的大數(shù)各有區(qū)別，難度各異且每個大數(shù)可以介紹的方面有很多，如計數(shù)單位、讀法、寫法等。這就給了學(xué)生一定的表達(dá)和思考的彈性空間（如圖5）。

圖5 彈性問題下的“大數(shù)的認(rèn)識”差異化探究作業(yè)呈現(xiàn)

2.問題要立足學(xué)生已有的學(xué)習(xí)、生活經(jīng)驗

學(xué)生有經(jīng)歷，有感悟，才能有話可說，有理去推，有圖去分析，有自己的體會去對應(yīng)理解。如四年級學(xué)生在學(xué)習(xí)“交換律”這一內(nèi)容時，教師請學(xué)生想辦法教一年級學(xué)生學(xué)交換律，同時提出自己的困惑，學(xué)生在作業(yè)中通過寫、畫等方式把一年級學(xué)生教“明白”，也提出了自己當(dāng)下的“不明白”。

3.問題的來源要有豐富性

要讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題，實現(xiàn)問題來源從教師到學(xué)生的轉(zhuǎn)變，就不應(yīng)局限于教師設(shè)計問題。在研究早期，考慮到學(xué)生對這一類型作業(yè)感到陌生，主要由教師設(shè)計探究性問題。到了后期，轉(zhuǎn)變問題來源，讓“問題來自學(xué)生”，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、設(shè)計問題，可進(jìn)一步激活學(xué)生的思維。例如，探究性作業(yè)“大石頭有多重”，就是先由學(xué)生自己提出“校園里這塊大石頭有多重”的問題，然后確定研究的方法，估算石頭的體積，計算石頭的質(zhì)量，最后總結(jié)反思學(xué)生在團隊合作中經(jīng)歷的探究過程。

（二）強調(diào)問題解決過程

探究性作業(yè)重在探究的過程，這是探究性作業(yè)“探究”的要義所在，也是探究性作業(yè)可以促進(jìn)學(xué)生思維進(jìn)階的重要基礎(chǔ)。常態(tài)作業(yè)里，學(xué)生從拿到問題到解決問題，整個思考過程都是內(nèi)隱的。探究性作業(yè)，則強調(diào)將這一內(nèi)隱的思考過程顯性化表達(dá)。教師可根據(jù)小學(xué)生的年齡特點，引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖、講故事等方式表達(dá)自己的理解，找出表達(dá)的依據(jù)，鼓勵學(xué)生形成作品意識，享受作業(yè)完成過程中的趣味性。

1.引導(dǎo)多使用“工具”去表達(dá)

表達(dá)內(nèi)隱的思維過程，需要工具、方法的引導(dǎo)。使用“工具”就是利用草圖分析、借生活故事比喻、關(guān)聯(lián)已有生活經(jīng)驗去舉例等。例如，三年級學(xué)生在學(xué)習(xí)了“口算兩位數(shù)加、減兩位數(shù)（和在100以內(nèi)）；筆算幾百幾十加、減幾百幾十；用估算解決問題”這一單元之后，教師為了讓學(xué)生對“估算”有更深入的認(rèn)識，基于學(xué)生的生活實際，設(shè)計了這樣一道探究性問題：“我校一年級有359人，二年級有252人，三年級有285人，四年級有303人。少先隊大隊部為本周去秋游的學(xué)生準(zhǔn)備了600頂小黃帽。猜一猜，可能是哪兩個年級在本周去秋游？你是怎么猜的？請你畫一畫思路，寫一寫方法。”在解決這一探究性作業(yè)的過程中，教師特別要求“畫一畫、寫一寫”，為學(xué)生提供了呈現(xiàn)問題解決過程的“想法→畫圖→現(xiàn)在知道→答案→提出新的問題”這一支架。

2.凸顯作品意識

培養(yǎng)學(xué)生形成一定的自我表達(dá)邏輯，讓個性化作業(yè)成為個性化作品。

3.鼓勵趣味性

小學(xué)生受到年齡特征的影響，喜歡幽默有趣的、好看的插圖，教師應(yīng)在一定程度上給予引導(dǎo)和鼓勵，讓學(xué)生把探究性作業(yè)當(dāng)作情緒釋放、思考綻放的載體。

（三）重視問題解決結(jié)果的呈現(xiàn)

探究性作業(yè)與常態(tài)數(shù)學(xué)作業(yè)在結(jié)果呈現(xiàn)方式上有很大不同。首先，探究性作業(yè)的結(jié)果都是未知的，教師在批閱探究性作業(yè)之前，不知道學(xué)生會遞交怎樣的作業(yè)；其次，探究性作業(yè)呈現(xiàn)的都是學(xué)生頗具個性化的作品；另外，探究性作業(yè)還體現(xiàn)了自然分層的特征。正因為具有這些特點讓有不同經(jīng)驗、不同能力的學(xué)生可以完成不同思維層級的作品，這不但有利于教師因材施教，也讓學(xué)生對每一次作業(yè)充滿期待。

值得注意的是，小學(xué)生的探究重在基于觀察、發(fā)現(xiàn)問題，通過解讀、分析、驗證和反思，得出解決問題的辦法，并在拓展和應(yīng)用的過程中進(jìn)行創(chuàng)造性表達(dá)。但并不是所有知識都適合探究，因此教師必須在明晰單元教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，分析原有作業(yè)類型與思維指向，根據(jù)思維發(fā)展需求設(shè)計該單元的探究性作業(yè)。