楊小麗

(北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 100044)

數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有重要位置.“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的, 不是玩技巧.技巧不足道也!”[1]然而在目前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，依然大量存在著過度注重解題訓(xùn)練、淡化概念教學(xué)的現(xiàn)象.“線段中點(diǎn)”是一個(gè)非常簡單的概念，但這樣一個(gè)看似簡單的概念，卻是初中階段用于形式化推理訓(xùn)練的第一個(gè)幾何概念.本文將以“線段中點(diǎn)”為例，剖析幾何概念教學(xué)存在的問題，并在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上給出教學(xué)策略.

1 “線段中點(diǎn)”教學(xué)問題剖析

對(duì)于“線段中點(diǎn)”，一種常見的教學(xué)過程是：首先花20分鐘左右的時(shí)間講比較線段的長短及線段的和與差，然后花3分鐘左右的時(shí)間講線段中點(diǎn)定義的文字語言和符號(hào)語言，接著花20分鐘解題，最后花2分鐘小結(jié).

上述“線段中點(diǎn)”教學(xué)，存在以下幾方面的問題：(1)沒有揭示為什么要學(xué)習(xí)“線段中點(diǎn)”；(2)忽視對(duì)“線段中點(diǎn)”定義內(nèi)涵的剖析；(3)關(guān)注解題，且例習(xí)題對(duì)演繹推理的要求過高，超出了大部分學(xué)生現(xiàn)階段的幾何思維水平；(4)忽視概念的組織和方法的學(xué)習(xí)，沒有構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò).

2 教學(xué)設(shè)計(jì)的改進(jìn)與實(shí)施

為了解決上述問題，鑒于概念教學(xué)的重要性，對(duì)教材建議的課時(shí)安排進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，將線段中點(diǎn)作為獨(dú)立的一課時(shí)進(jìn)行設(shè)計(jì)與實(shí)施.

階段一：概念引入

問題1：前面我們學(xué)習(xí)了線段的定義、表示和性質(zhì).如果我們進(jìn)一步研究線段，你認(rèn)為還可以研究什么？怎樣研究？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考、回答，教師對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整理.如果有學(xué)生回答研究線段上的點(diǎn)，教師則追問：你是怎樣想到研究線段上的點(diǎn)的？如果學(xué)生回答不出來，教師則追問：線段是由什么元素組成的？

設(shè)計(jì)意圖：通過啟發(fā)式提問，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，對(duì)于一個(gè)幾何圖形，除了研究其形狀、大小(長度)，還可以進(jìn)一步對(duì)其組成元素進(jìn)行研究.對(duì)于線段這樣一個(gè)基本平面圖形，還可以進(jìn)一步研究其組成元素——點(diǎn)，從而明確研究對(duì)象.

問題2：請(qǐng)你在線段AB上畫一個(gè)點(diǎn)C.點(diǎn)C的位置有哪幾種情況？

師生活動(dòng)：學(xué)生畫圖，教師巡視，將學(xué)生不同的畫法呈現(xiàn)在黑板相應(yīng)位置.點(diǎn)C的三種位置情況如圖1，2，3所示.

圖1

追問1：對(duì)于圖1-3，我們可以研究什么？分別能得到哪些結(jié)論？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考回答，教師歸納概括：可以研究線段AB,AC,BC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.三個(gè)圖中均有AB=AC+BC,此外，圖1中ACBC.

圖2

圖3

追問2:上述三種情況哪一種值得進(jìn)一步研究？

設(shè)計(jì)意圖：通過問題2讓學(xué)生經(jīng)歷逐步聚焦研究對(duì)象的過程.線段上任意一點(diǎn)C將線段分為兩部分，構(gòu)成了三條線段.這時(shí)候可以研究這三條線段之間的大小關(guān)系.無論點(diǎn)C的位置在哪，都恒有AB=AC+BC成立，但隨著點(diǎn)C的移動(dòng)，線段AC與BC的大小關(guān)系在發(fā)生改變，其中有一個(gè)位置最特殊，那就是線段中點(diǎn)，因此值得進(jìn)一步研究.

階段二：明確定義

問題3：圖2中點(diǎn)C的位置最特殊，值得我們進(jìn)一步研究.我們把這個(gè)點(diǎn)叫做線段AB的中點(diǎn).你能給線段中點(diǎn)下個(gè)定義嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過問題3培養(yǎng)學(xué)生的語言概括能力.

階段三：定義剖析

問題4：你是如何理解線段中點(diǎn)定義的？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考回答，教師整理概括：線段中點(diǎn)的定義有兩方面的內(nèi)涵.一方面，如果知道了“點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)”，就能得到“AC=BC”，另一方面，如果知道了“AC=BC(如圖2，點(diǎn)C在線段AB上)”，就可以判斷“點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)”.

設(shè)計(jì)意圖：通過問題4對(duì)線段中點(diǎn)定義進(jìn)行解析，讓學(xué)生知道可以從正、反兩個(gè)角度來理解線段中點(diǎn)的定義，為學(xué)生認(rèn)識(shí)“定義是推理的前提”奠定基礎(chǔ).在理解線段中點(diǎn)定義內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，給出線段中點(diǎn)的符號(hào)語言.

問題5：由線段中點(diǎn)定義我們知道了線段AC，BC之間的數(shù)量關(guān)系，那線段AC與線段AB，線段BC與線段AB之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

追問1：你是怎么得到的？

追問2：為什么？

階段四：概念強(qiáng)化

問題7：判斷下列語句是否正確？為什么？

(1)如果AC=BC，那么點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn).

(2)如果AB=2AC，那么點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn).

(3)如果AC+BC=AB，那么點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn).

師生活動(dòng)：學(xué)生回答判斷結(jié)果，教師追問理由，學(xué)生舉反例.

設(shè)計(jì)意圖：由于線段中點(diǎn)定義比較簡單，正例的變式很少，所以本節(jié)課中只采用了反例，目的是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到：在沒有提供圖的情況下，要判斷一個(gè)點(diǎn)是否是線段中點(diǎn)，除了要滿足一定的數(shù)量關(guān)系，“點(diǎn)C在線段AB上”這一位置關(guān)系的條件必不可少，以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念的理解.此外，還可以讓學(xué)生初步體會(huì)判斷一個(gè)數(shù)學(xué)命題真假的思維范式：判斷一個(gè)命題“為真”需要證明，而判斷一個(gè)數(shù)學(xué)命題“為假”，只需要舉一個(gè)反例就可以了.

階段五：概念應(yīng)用

問題8：如圖4所示，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn).

圖4

(1)若線段AC=5，求線段BC的長.

(2)若線段AB=10，求線段AC的長.

(3)若線段BC=5，求線段AB的長.

師生活動(dòng)：學(xué)生先解決問題，師生交流，初步規(guī)范表達(dá)和書寫.

設(shè)計(jì)意圖：問題8從計(jì)算的角度看非常簡單，幾乎所有學(xué)生都能正確求出所求線段的長.然而學(xué)生的難點(diǎn)不在于計(jì)算，而在于如何有條理地表達(dá)推理過程.問題8的目的有兩個(gè)：一是如何根據(jù)所求恰當(dāng)?shù)剡x擇推理的依據(jù)，二是初步培養(yǎng)學(xué)生有條理的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，為今后更復(fù)雜的推理奠定扎實(shí)的基礎(chǔ).

問題9：請(qǐng)大家在紙上畫一條線段DE，找到它的中點(diǎn)F并畫出來.

追問：你是怎么找到點(diǎn)F的？怎樣說明你找的點(diǎn)F就是線段DE的中點(diǎn)？

師生活動(dòng)：學(xué)生畫圖，師生交流.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生很容易找到線段DE的中點(diǎn)F，但是很少有學(xué)生會(huì)去思考：為什么點(diǎn)F是線段DE的中點(diǎn).問題9最直接的目的是體會(huì)定義的判定作用；更重要的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)、體會(huì)數(shù)學(xué)有別于其他學(xué)科的特點(diǎn).

階段六：概念組織

問題10：今天我們進(jìn)一步對(duì)線段進(jìn)行了研究，重點(diǎn)研究了線段中點(diǎn).那為什么要研究線段中點(diǎn)呢？我們是如何研究線段中點(diǎn)的？通過研究線段中點(diǎn)，得到了哪些結(jié)論？

師生活動(dòng)：學(xué)生回顧反思，教師提煉概括.

設(shè)計(jì)意圖：問題10的目的是提煉線段的研究路徑，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以順利遷移至后續(xù)角平分線等內(nèi)容的學(xué)習(xí)和研究中.

3 初中幾何概念教學(xué)的有效策略

3.1 注重大觀念統(tǒng)領(lǐng)，明確研究內(nèi)容，體現(xiàn)幾何圖形研究的一般路徑

“幾何學(xué)的本質(zhì)是研究空間的圖形，研究圖形的性質(zhì)以及圖形之間的關(guān)系.[2]”在這樣一個(gè)大觀念的引領(lǐng)下，對(duì)于線段的研究，有兩個(gè)內(nèi)容：一是對(duì)線段自身進(jìn)行研究，即對(duì)線段的大小(長度)、形狀以及線段的組成元素進(jìn)行研究；二是對(duì)圖形之間的關(guān)系進(jìn)行研究,即研究線段與線段之間的關(guān)系，如數(shù)量、位置關(guān)系等.而對(duì)線段中點(diǎn)的研究是對(duì)線段自身的進(jìn)一步研究.基于此，可以將線段的知識(shí)結(jié)構(gòu)重構(gòu)如圖5所示.

圖5 線段知識(shí)結(jié)構(gòu)

因此，線段的研究路徑為：(1)從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出線段→(2)給線段描述性定義→(3)用符號(hào)語言表示線段→(4)研究線段的性質(zhì)→(5)研究線段的組成元素：點(diǎn)，其特例為線段中點(diǎn)→(6)研究線段與線段之間的關(guān)系.

在前述改進(jìn)的教學(xué)設(shè)計(jì)中，概念引入部分通過問題1和問題2，初步感知了線段的研究路徑、明晰了為什么要研究線段中點(diǎn)，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)中研究對(duì)象和研究問題的提出起到了示范作用.

3.2 注重揭示定義的內(nèi)涵，體會(huì)定義是推理的邏輯起點(diǎn)

其次從課堂教學(xué)觀察到，學(xué)生只能從一個(gè)角度理解線段中點(diǎn)定義的內(nèi)涵.具體來說，學(xué)生只知道“如果點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)”，就能夠得到“AC=BC”.而進(jìn)一步追問：還能怎么理解線段中點(diǎn)的定義，學(xué)生不知如何回答，也就是說，他們還不能理解線段中點(diǎn)定義的判定作用.這需要授課教師予以揭示，以讓學(xué)生明確線段中點(diǎn)定義具有性質(zhì)和判定的雙重作用、是推理的邏輯起點(diǎn)，初步感受公理化思想.

3.3 注重概念應(yīng)用的循序漸進(jìn)，逐步發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

在實(shí)際教學(xué)中，在“線段中點(diǎn)”的應(yīng)用部分，教師不僅要求學(xué)生使用簡化的三段論的表達(dá)形式：“小前提，結(jié)論(大前提)”，而且還會(huì)涉及難度較大的推理.有研究[3]表明：7年級(jí)有25%的學(xué)生幾何思維達(dá)到了水平3，也就是說有能力進(jìn)行非形式化的證明；僅有1%的學(xué)生幾何思維水平達(dá)到了水平4，即可以從已知條件出發(fā)，采用邏輯推理的方式證明命題.上述研究結(jié)果說明，教師對(duì)推理的要求大大超出了學(xué)生現(xiàn)有的幾何思維水平.而“學(xué)生推理能力的發(fā)展是一個(gè)長期的過程，教學(xué)中必須充分考慮不同階段學(xué)生的身心特點(diǎn)和認(rèn)知水平”，“如果脫離學(xué)生的實(shí)際，任意拔高命題證明的難度，將使部分學(xué)生失去學(xué)習(xí)的興趣，喪失學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的信心”[4].因此，作為初中幾何推理的起始課，需注意對(duì)概念的應(yīng)用要循序漸進(jìn)、對(duì)推理的要求由易到難.

在前述改進(jìn)的教學(xué)設(shè)計(jì)中，通過問題5和問題6對(duì)“線段中點(diǎn)”的定義進(jìn)行應(yīng)用；通過問題8和問題9對(duì)“線段中點(diǎn)”的定義、性質(zhì)、判定進(jìn)行簡單的應(yīng)用，凸顯了概念應(yīng)用的基礎(chǔ)性，初步培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性和推理的邏輯性，為今后更復(fù)雜的推理奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)，從而逐步落實(shí)邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng).

3.4 注重概念的組織，體現(xiàn)知識(shí)的整體性

“概念教學(xué)中，關(guān)鍵是要使學(xué)生建立概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)”，“通過‘組織’獲得對(duì)相關(guān)概念之間聯(lián)系性的認(rèn)識(shí)，形成層次化的概念結(jié)構(gòu)”.[5]而最后5分鐘左右的課堂小結(jié)是進(jìn)行“概念組織”的黃金時(shí)間.

在線段中點(diǎn)的小結(jié)部分，教師可在圖5的基礎(chǔ)上，將學(xué)生的回答進(jìn)一步結(jié)構(gòu)化，繪制圖6.

圖6

圖6包含了以下內(nèi)容：首先總結(jié)了圖形與幾何的研究對(duì)象是幾何圖形，幾何圖形又包括平面圖形和立體圖形.其次，提煉了線段的研究路徑.最后，厘清了線段中點(diǎn)定義、性質(zhì)和判定之間的邏輯關(guān)系.這樣的結(jié)構(gòu)圖不僅包含了具體的知識(shí)點(diǎn)，還清晰地呈現(xiàn)了各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，不僅有利于學(xué)生更全面地理解線段中點(diǎn)的概念、厘清不同知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，而且還有利于學(xué)生將其遷移至后續(xù)角等內(nèi)容的學(xué)習(xí)中.如角平分線是對(duì)角自身的進(jìn)一步研究、研究過程可以完全類比線段中點(diǎn)的研究過程；余角補(bǔ)角研究的是角和角之間的數(shù)量關(guān)系，對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角研究的是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系.這樣就能將看似碎片化的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，有助于優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握更加系統(tǒng)和深入.