徐小建

摘 要：李庾南老師的《勾股定理》教學(xué)充分體現(xiàn)了“弘揚數(shù)學(xué)文化，實現(xiàn)學(xué)科育人”的思想和立意。在教學(xué)中，李老師特別注意圍繞數(shù)學(xué)文化的要素，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。具體來說，李老師引導(dǎo)學(xué)生：關(guān)注中國數(shù)學(xué)史，增強民族自豪感;對比中外數(shù)學(xué)史，產(chǎn)生歷史責任感;比較定理證明方法，提煉數(shù)學(xué)思想方法;挑戰(zhàn)新的證明方法，提升學(xué)習的信心;拓展定理認識角度，體會數(shù)學(xué)研究精神;自編定理應(yīng)用問題，享受學(xué)習的快樂。

關(guān)鍵詞：勾股定理;數(shù)學(xué)文化;學(xué)科育人

“勾股定理”是初中數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容。從文獻來看，勾股定理的教學(xué)通常都圍繞讓學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”勾股定理來做文章，認為這樣做符合建構(gòu)主義思想，合乎探究教學(xué)的改革潮流。對此，張奠宙先生就曾指出：“‘發(fā)現(xiàn)勾股定理重要嗎？每個定理都需要發(fā)現(xiàn)嗎？譬如看一幅名畫，聽一首名曲，讀一首名詩，欣賞一篇名文，非要發(fā)現(xiàn)它們是怎樣畫出來的，怎樣譜曲的，怎樣構(gòu)思的，豈不太累？作為數(shù)學(xué)文化的瑰寶，應(yīng)該以‘弘揚數(shù)學(xué)文化為基點來設(shè)計勾股定理的教學(xué)?！?/p>

名師之所以是名師，往往就在于其教學(xué)有一些與眾不同的地方，其背后體現(xiàn)出更深的教學(xué)思想和更高的教學(xué)立意。最近，筆者學(xué)習了著名特級教師李庾南老師的《勾股定理》教學(xué)案例，感到其充分體現(xiàn)了“弘揚數(shù)學(xué)文化，實現(xiàn)學(xué)科育人”的思想和立意。

一、數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵和價值

1949年以來，在國家頒布的各版本的基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程標準（教學(xué)大綱）中，《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》第一次給數(shù)學(xué)文化下了定義：“數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動。”

長期以來，雖然數(shù)學(xué)文化的定義眾說紛紜，但大家還是對數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵和價值形成了一定的共識：數(shù)學(xué)文化一方面包括數(shù)學(xué)史和相關(guān)的人文活動，可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的來龍去脈（如產(chǎn)生背景和現(xiàn)實應(yīng)用等），促進對學(xué)生數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解和對數(shù)學(xué)價值的認識，潤澤學(xué)生的數(shù)學(xué)情感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習動力，讓數(shù)學(xué)教學(xué)不再“掐頭去尾燒中段”;另一方面包括數(shù)學(xué)知識獲得和問題解決過程中蘊含的思想方法和探索精神，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀、世界觀、人生觀、價值觀，讓數(shù)學(xué)教學(xué)超越具體的知識層面，擁有更高的境界。

二、《勾股定理》教學(xué)賞析

李老師采用她倡導(dǎo)的“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法教學(xué)《勾股定理》。課前，教師布置自學(xué)任務(wù)：（1）搜集古今中外與勾股定理的發(fā)現(xiàn)、證明、應(yīng)用以及拓展研究相關(guān)的史料;（2）理解兩三種勾股定理的證明方法;（3）自編一道運用勾股定理解決的實際問題。課上，學(xué)生小組討論自學(xué)的內(nèi)容，教師根據(jù)實際情況加入討論;然后，全班交流小組討論的內(nèi)容，教師相機引導(dǎo)。

在教學(xué)中，李老師特別注意圍繞數(shù)學(xué)文化的要求，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。

（一）關(guān)注中國數(shù)學(xué)史，增強民族自豪感

在交流與討論有關(guān)的史料時，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：我國西周數(shù)學(xué)家商高提出“勾三、股四、弦五”這一勾股定理特例比西方早數(shù)百年，三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽所用的弦圖方法是證明勾股定理最簡潔的方法之一。然后，順勢出示弦圖，指出：“為了紀念趙爽在勾股定理證明上的突出成就，2002年在中國召開的國際數(shù)學(xué)大會就選擇了這幅圖作為會標?！蓖瑫r，學(xué)生還交流了對我國古代一些重要數(shù)學(xué)著作以及經(jīng)典數(shù)學(xué)問題的了解。這些史實讓學(xué)生產(chǎn)生了強烈的民族自豪感：“原來我國古代的人民如此智慧?！?/p>

（二）對比中外數(shù)學(xué)史，產(chǎn)生歷史責任感

在確認我國古代的商高最先發(fā)現(xiàn)了勾股定理特例的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生對誰最先證明了勾股定理的一般形式展開交流與討論——

生?? 既然商高提出了勾股定理的特例，他就應(yīng)該能證明勾股定理。

生?? 你說的只是猜測?，F(xiàn)有的史料表明，我國最早給出勾股定理證明的是趙爽，他的證明比畢達哥拉斯的證明要晚數(shù)百年。

生?? 也許商高的證明失傳了呢？

生?? 這些爭論有什么用呢？如果我們現(xiàn)在能發(fā)現(xiàn)一個什么定理并給出證明，那么誰都不能和中國爭了。

師?? 對呀！陳景潤先生不就是我們的榜樣嗎？他在解決哥德巴赫猜想問題的進程中，不就走在了世界的前列嗎？你們只要努力，一定能通過自己的行動為國爭光！

生?? 我以后要研究數(shù)學(xué)史，找到事實來證明是中國人最早證明了勾股定理。

生?? 我要想出更簡潔的證明方法來。

師?? 同學(xué)們的心愿都是好的。我們要從現(xiàn)在開始，爭分奪秒努力學(xué)習，將來才能為國爭光。

中外數(shù)學(xué)史的對比以及陳景潤先生的事例，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生了強烈的歷史責任感，想要學(xué)有所成，為國爭光。

（三）比較定理證明方法，提煉數(shù)學(xué)思想方法

在交流與討論勾股定理的證明方法時，學(xué)生理解了趙爽的弦圖、劉徽的“青朱出入圖”、畢達哥拉斯的證明、歐幾里得的證明，還有學(xué)生介紹了“總統(tǒng)的證法”。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生尋找共性，提煉更具有一般性的數(shù)學(xué)思想方法，感悟面積法思想——

師?? 同學(xué)們，剛才的證明過程大家都講得很好，說明我們已經(jīng)理解了證明的具體內(nèi)容?，F(xiàn)在來想一想：這些證明的思路有沒有什么共性？

生?? 好像都是通過面積來證明的。

生?? 好像都是將兩個正方形進行割、補、拼、接后用面積相等來證明的。

生?? 歐幾里得的證明方法沒有補、拼、接，只有割，他將大正方形割成兩個矩形，利用三角形的面積等于對應(yīng)矩形面積的一半，證明兩個小正方形的面積分別等于兩個矩形的面積。

生?? 還有關(guān)鍵的一步是要說明兩個三角形全等。

生?? 這其實也是一種拼呀！不就是將兩個小正方形拼到大正方形上嗎？

師?? 大家都講得非常好！通過討論我們可以發(fā)現(xiàn)，剛才介紹的證明方法都以面積法為基本思路。從代數(shù)的角度看，面積法是幾何直觀的一種體現(xiàn)：正方形的面積正是勾股定理表達式中字母平方的幾何意義。從幾何的角度看，面積法的基本思路是對同一塊面積“算兩次”，它是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法——有人甚至認為，面積是平面幾何中的“帝王不變量”，面積法是平面幾何中的根本大法。

（四）挑戰(zhàn)新的證明方法，提升學(xué)習的信心

在勾股定理眾多證明方法的基礎(chǔ)上，教師利用“總統(tǒng)的證法”激勵學(xué)生挑戰(zhàn)新的證法，體會文化的傳承與創(chuàng)新，提升學(xué)習的信心——

師?? 通過搜集與整理資料，我們發(fā)現(xiàn)勾股定理的證法多達數(shù)百種，而且就連美國總統(tǒng)也證明過勾股定理。同學(xué)們敢不敢來挑戰(zhàn)一下勾股定理的證明？我覺得你們不比美國總統(tǒng)差！

（經(jīng)過小組共同努力，一些自學(xué)過相似三角形和圓的知識的學(xué)生給出了以下兩種證法。）

證法1：?? 如圖1，在△ABC中，∠C=90°，作CD⊥AB于D。由三角形相似，得 x b = b c ，即b2=cx;

y a = a c ，即a2=cy。兩式相加得a2+b2=c（x+y）=c2。

證法2：? 如圖2，在△ABC中，∠C=90°，以B為圓心、BC為半徑作圓，交AB及其延長線于D、E。由切割線定理，得AC2=AD·AE=（AB-BC）·（AB+BC）=AB2-BC2，所以AC2+BC2=AB2。

由此，教師引導(dǎo)學(xué)生比較歷史上的面積證法和自己給出的證法，分別體會其中的幾何直觀思想和邏輯推理思想。

（五）拓展定理認識角度，體會數(shù)學(xué)研究精神

師?? 勾股定理被稱為“千古第一定理”，它聯(lián)系了數(shù)學(xué)最基本也是最重要的兩個對象——數(shù)與形。雖然勾股定理從根本上說是一個關(guān)于直角三角形的定理，即幾何定理，但是我們也可以聚焦它的表達式，從代數(shù)的角度展開研究。同學(xué)們搜集史料時有什么發(fā)現(xiàn)？

生?? 如果a=b=1，那么c2 =2，c是無理數(shù)。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機，還有人為此喪命。

生?? a2+b2=c2是三元的不定方程，從形式上看非常具有美感，很多人嘗試研究它的正整數(shù)解，即勾股數(shù)。

生??? 比如3、4、5，5、12、13這樣的數(shù)就是勾股數(shù)。很多數(shù)學(xué)家嘗試尋找它的一般形式。畢達哥拉斯給出了

a=2n+1，

b=2n2+2n，

c=2n2+2n+1 （n為正整數(shù)）和

a=n，

b= 1 2 （n2-1），

c= 1 2 （n2+1）

（n為正奇數(shù)） 這樣兩種形式，

但它們都不能表示出所有的勾股數(shù)，因為其中的b、c總是相鄰的兩個正整數(shù)。柏拉圖給出了

a=2n，

b=n2-1，

c=n2+1? （n為正整數(shù)）的形式 ，

但它也不能表示出所有的勾股數(shù)，因為這里的b、c總是相差2。

師?? 很好！你對勾股數(shù)做了比較深入的了解。其實，數(shù)學(xué)是一門不斷演進的學(xué)科。后來，歐幾里得給出了這樣的形式：

a= pq ，

b= 1 2 （p-q），

c= 1 2 （p+q）? （p、q奇偶性相同，p>q，pq是完全平方數(shù)） 。

但它還是不能表示出所有的勾股數(shù)。不過，數(shù)學(xué)家最終給出了真正完美的勾股數(shù)表達式。感興趣的同學(xué)課后可以查閱相關(guān)資料。 （稍停） 對a2+b2=c2這個三元不定方程，數(shù)學(xué)家們還展開了什么研究？

生?? 費馬嘗試增加這個方程的次數(shù)，提出猜想：關(guān)于a、b、c的方程

an+bn=cn

在冪指數(shù)n>2 （n為正整數(shù)） 時沒有正整數(shù)解。

師?? 很好！這就是困惑了數(shù)學(xué)家長達358年之久的著名的費馬大定理。雖然費馬聲稱他證明了這個猜想，但是他所謂的證明失傳了。英國數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯從1986年開始冒著“一事無成”的風險，排除各種干擾，秘密鉆研，終于在1993年6月23日完成了費馬大定理的證明。感興趣的同學(xué)課后可以查閱相關(guān)資料，了解費馬大定理的證明歷程，感受數(shù)學(xué)家不斷追求真理的研究精神。

這里，教師引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度認識勾股定理，挖掘相關(guān)文化內(nèi)涵，從而在感悟數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，充分體會數(shù)學(xué)學(xué)科的演進特征以及數(shù)學(xué)家的研究精神。

（六）自編定理應(yīng)用問題，享受學(xué)習的快樂

交流、討論收集和自編的勾股定理應(yīng)用問題時，一位學(xué)生給出了如下自編題：

如圖3，學(xué)校的操場上新立了一根旗桿，升旗的繩子從旗桿頂端自然垂掛至地面，比旗桿還長1m。請你利用這個數(shù)據(jù)設(shè)計合適的方法，測算出學(xué)校旗桿的高度。

對此，其他學(xué)生百思不得其解。教師不急于幫助其他學(xué)生分析解題思路，而是請出題的學(xué)生闡述命題思路——?生??? （出示如下題目） 請大家看這樣一個我國古代的問題。

如圖4，今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問：水深、葭長各幾何？

（學(xué)生交流，嘗試解決。）

師?? 從大家的表現(xiàn)中，李老師發(fā)現(xiàn)，很多同學(xué)對這道古代題不以為然，認為沒什么難的。但是，李老師要說的是，出題的同學(xué)很有智慧，從這道古代題中獲得了啟發(fā)，編制出這道現(xiàn)代題，把大家都難住了?，F(xiàn)在，大家既然能解出這道古代題，李老師相信大家也一定能從中獲得啟發(fā)，想出如何測算旗桿的高度。

生??? （忽然叫起來） 我想到了！把這個圖倒過來就行了。

師??? （故意裝糊涂） 什么“倒過來”？我怎么聽不懂你說什么？

生??? （另一個學(xué)生搶著說） 這根繩子比旗桿長一米，倒過來相當于“葭”“出水一尺”，我們只要“引葭赴岸，適于岸齊”。 （出示圖5） 也就是說，將這根繩子拉直到與地面平齊時，再測量BC的長，就可以類似地求出旗桿的高度。

（教師點頭贊許。）

生??? （之前的學(xué)生心有不甘，出示圖6） 我們還可以用這樣的方法測算……

由此，學(xué)生在根據(jù)古代題自編現(xiàn)代題的文化傳承與創(chuàng)新過程中，進一步體會到學(xué)習的快樂。

參考文獻：

[1] 李庾南，陳育彬.中學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計30例——學(xué)力是這樣發(fā)展的[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2] 張奠宙，馬岷興，陳雙雙，等.數(shù)學(xué)學(xué)科德育——新視角·新案例[M].北京：高等教育出版社，2007.