張?jiān)３?，高坤明，路艷玲，郭宗和，馬馳騁

(1.山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院，山東 淄博 255049；2.萊蕪職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械與汽車工程系，山東 萊蕪 271100)

PID算法憑借其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)、良好穩(wěn)定性、工作可靠等優(yōu)點(diǎn)在過程控制應(yīng)用領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用[1]，但基于PID控制策略設(shè)計(jì)的控制器，其控制品質(zhì)很大程度上受控制參數(shù)的影響，因而優(yōu)化控制參數(shù)對(duì)于提升PID控制器的控制品質(zhì)尤為重要。

常見的PID控制器參數(shù)整定方法包括：遺傳算法、經(jīng)驗(yàn)整定、Ziegler-Nichols公式、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定、內(nèi)模整定、增益與相位裕度整定、PSO最優(yōu)化整定等方法[2]。但實(shí)踐中有些參數(shù)整定的方法不能應(yīng)用于復(fù)雜模型，由于整定過程復(fù)雜、要求條件苛刻等因素的影響，使操作人員實(shí)際操作中只能憑借經(jīng)驗(yàn)與湊試的方法調(diào)試PID控制器參數(shù)，整定的過程和結(jié)果受人為主觀因素的影響較大，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性[3]。

本文搭建基于PID控制策略的1/4主動(dòng)懸架模型，運(yùn)用正交試驗(yàn)法整定PID控制器參數(shù)，結(jié)合響應(yīng)圖分析輪胎動(dòng)載荷的極差變化并尋取P參數(shù)的相對(duì)最優(yōu)值和相對(duì)最優(yōu)區(qū)間，對(duì)挖掘PID控制器的控制品質(zhì)以及改善汽車平順性能有一定意義。

1 懸架系統(tǒng)模型的建立

按照參數(shù)是否根據(jù)路面狀況而改變，懸架系統(tǒng)分為被動(dòng)懸架、半主動(dòng)懸架和主動(dòng)懸架[4]。其中，主動(dòng)懸架是在被動(dòng)懸架的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上增加一個(gè)可實(shí)時(shí)為懸架提供主動(dòng)控制力的作動(dòng)器，以求能夠最大程度減弱車身振動(dòng)。

1.1 1/4汽車主動(dòng)懸架模型的建立

為了方便研究，本文使用簡(jiǎn)化后的二自由度1/4主動(dòng)懸架進(jìn)行受力分析與建立數(shù)學(xué)模型。模型如圖1所示，參數(shù)取值見表1。

M1.簧下質(zhì)量；M2.簧上質(zhì)量；K0.輪胎等效剛度；K1.懸架等效剛度；CS.懸架等效阻尼；Z0.路面激勵(lì)；Z1.簧下質(zhì)量質(zhì)心垂直位移；Z2.簧上質(zhì)量質(zhì)心垂直位移；U.作動(dòng)器控制力。圖1 主動(dòng)懸架二自由度模型Fig.1 Active suspension model of two degree of freedom

表1 主動(dòng)懸架模型參數(shù)取值Tab.1 The value of active suspension model parameters

根據(jù)牛頓第二定律，建立1/4汽車主動(dòng)懸架系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型[5-6]：

K0(Z1-Z0)+U=0

(1)

U=0

(2)

將式(1)、式(2)整理后可得：

K0(Z1-Z0)-U]

(3)

(4)

依照式(3)、式(4)便可以在Matlab/Simulink中搭建1/4汽車主動(dòng)懸架的子模型，如圖2所示。

圖2 1/4主動(dòng)懸架子模型Fig.2 1/4 active suspension submodel

1.2 路面時(shí)域模型的建立

路面激勵(lì)也稱為路面不平度，指代路面的起伏變化程度或者相對(duì)于理想路面的偏離程度。同時(shí)，路面激勵(lì)也是汽車在行駛過程中受到的主要激勵(lì)，影響汽車的平順性、動(dòng)力性、舒適性等性能。

以濾波白噪聲法模擬車輛經(jīng)過特定等級(jí)路面時(shí)的情景更加真實(shí)、結(jié)果更加精確。所以，在利用Matlab/Simulink軟件對(duì)主動(dòng)懸架進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)中，普遍采用濾波白噪聲法建立路面時(shí)域模型，以對(duì)路面不平度進(jìn)行模擬[7]。

根據(jù)GB7031《車輛振動(dòng)輸入——路面平度表示》中所給出的標(biāo)準(zhǔn)，路面功率譜密度Gq(n)應(yīng)為

(5)

式中：Gq(n0)為路面不平度系數(shù)；n0為參考空間頻率；n為空間頻率；w為頻率指數(shù)。

常用的濾波白噪聲路面不平度時(shí)域模型的表達(dá)式為

(6)

式中：n1為路面不平度下截止空間頻率；u為行駛車速；Zg(t)為路面不平度位移；ω(t)為單位強(qiáng)度為1的高斯白噪聲，無量綱常數(shù)。

圖3 C級(jí)路面時(shí)域模型Fig.3 C-level pavement time domain model

表2 C級(jí)路面時(shí)域模型參數(shù)Tab.2 C-level pavement time domain model parameters

若設(shè)路面時(shí)域模型的仿真時(shí)間為40 s,即車輛的行程為1 000 m，則仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 C級(jí)路面激勵(lì)Fig.4 C-level road undulate

1.3 1/4汽車主動(dòng)懸架控制模型的建立

建立路面時(shí)域模型后，與主動(dòng)懸架仿真模型以及PID控制器相結(jié)合，便可以得到用于試驗(yàn)的主動(dòng)懸架控制模型[5]，如圖5所示。

2 PID控制器的參數(shù)整定

PID控制中一個(gè)至關(guān)重要的問題是控制器參數(shù)的整定。整定的好壞不但會(huì)影響控制器的質(zhì)量，而且還會(huì)影響控制器的魯棒性。因此，對(duì)于PID控制器參數(shù)的整定也是對(duì)PID控制器的控制結(jié)果及控制品質(zhì)的優(yōu)化。

2.1 PID算法簡(jiǎn)介

PID算法具體分為P(比例)、I(積分)和D(微分)三項(xiàng)環(huán)節(jié)，控制系統(tǒng)可以通過調(diào)節(jié)系數(shù)提升調(diào)節(jié)性能，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)功能[9]。

(7)

式中：u(t)為控制系統(tǒng)的輸出；Т為控制系統(tǒng)采樣周期；e(t)為控制系統(tǒng)的輸入；Td為控制系統(tǒng)的微分時(shí)間；Kp為控制系統(tǒng)的比例系數(shù)；Ti為控制系統(tǒng)的積分時(shí)間。

2.2 正交試驗(yàn)法簡(jiǎn)介

正交試驗(yàn)法是通過設(shè)計(jì)排列整齊的分析表對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行整體設(shè)計(jì)、綜合比較以及結(jié)果統(tǒng)計(jì)，通過較少的試驗(yàn)次數(shù)，達(dá)到分析出正確結(jié)論、得到較好結(jié)果的一種數(shù)據(jù)分析方法。正交試驗(yàn)包括兩個(gè)重要部分：一是設(shè)計(jì)試驗(yàn)；二是結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析，即繪制正交試驗(yàn)結(jié)果分析表。

2.3 正交試驗(yàn)法整定PID參數(shù)的應(yīng)用與實(shí)現(xiàn)

金波等[10]提出了一種基于正交試驗(yàn)整定PID參數(shù)的方法，通過建立水輪機(jī)模型且以縮小水輪機(jī)振動(dòng)頻率極差作為優(yōu)化目標(biāo)，取得了試驗(yàn)的成功。支龍[11]、Ammar 等[12]在論證主動(dòng)懸架對(duì)于乘員舒適性的影響時(shí)指出，減小輪胎動(dòng)載荷的波動(dòng)范圍能夠有效降低車身振動(dòng)頻率，從而提升乘員的乘坐舒適性與汽車的平順性。

輪胎動(dòng)載荷在上下閾值范圍內(nèi)波動(dòng)，所以，減小輪胎動(dòng)載荷的波動(dòng)范圍也是減小輪胎動(dòng)載荷上下閾值的差值，即減小輪胎動(dòng)載荷的極差。本文在總結(jié)金波、支龍等學(xué)者研究成果的基礎(chǔ)上，以金波提出的正交試驗(yàn)法思路為依據(jù)，以降低輪胎動(dòng)載荷的波動(dòng)范圍極差為目的，設(shè)計(jì)PID控制器參數(shù)整定的正交試驗(yàn)。

2.4 極差分析法與設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)

正交試驗(yàn)法整定PID控制器參數(shù)的前提需要對(duì)正交試驗(yàn)進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)與結(jié)果分析。極差分析法是正交試驗(yàn)結(jié)果的常見分析方式，能夠有效地呈現(xiàn)出參數(shù)的優(yōu)化方向，進(jìn)而幫助設(shè)計(jì)者得到相對(duì)最優(yōu)的參數(shù)。遵循先比例、之后積分、最后微分的原則對(duì)三個(gè)參數(shù)依次進(jìn)行整定[4]，整定工作完成后，可將比例(P)、積分(I)、微分(D)三個(gè)參數(shù)的最優(yōu)值作為組合運(yùn)用到PID控制器中。

表3為用于判定每組最優(yōu)參數(shù)的正交試驗(yàn)樣表，以輪胎動(dòng)載荷的極差值為標(biāo)準(zhǔn)，通過表4進(jìn)行極差比較，將極差值最小的水平參數(shù)作為本組列的最優(yōu)參數(shù)值代入下一組列繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn)。表3、表4中，j={1，2，3}，i={1，2，3，4，…，n}，Kij表示第i組列的第j項(xiàng)水平參數(shù)，Ri表示第i組列出現(xiàn)的最小極差，其所對(duì)應(yīng)的水平參數(shù)為本組列的最優(yōu)參數(shù)。

表3 正交試驗(yàn)樣表Tab.3 Orthogonal test sampleTable

表4 輪胎動(dòng)載荷極差分析樣表Tab.4 Extreme difference analysisTable of tire dynamic load

注：極差=上閾值-下閾值。

本文以調(diào)節(jié)P參數(shù)為例，說明正交試驗(yàn)法整定參數(shù)的過程。首先，選取常數(shù)A，并令K11=3A,K12=2A,K13=A作為第一組列的三個(gè)水平參數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)。若最優(yōu)參數(shù)為K1j，則第二組列的三個(gè)水平參數(shù)以K1j作為K22，K21=K22-A/2，K23=K22+A/2繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn)。

即以上一輪試驗(yàn)的最優(yōu)水平參數(shù)為中心,同時(shí)兩邊各偏移上一組列各水平參數(shù)之間差值的一半作為本輪組列的三個(gè)水平參數(shù)[10]。例：若第n組最優(yōu)參數(shù)為Knj，則第n+1組的三個(gè)水平參數(shù)為{Knj-A/(2n)，Knj，Knj+A/(2n)}。當(dāng)連續(xù)三個(gè)組列的最優(yōu)參數(shù)不再發(fā)生變化或者出現(xiàn)滿意結(jié)果時(shí)，試驗(yàn)結(jié)束并以此參數(shù)作為PID控制器的最優(yōu)控制參數(shù)。

關(guān)于常數(shù)A的取值，可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)自定。但本文認(rèn)為，常數(shù)A的取值不應(yīng)過小，這樣可以擴(kuò)大被整定參數(shù)的取值范圍，有利于獲取最優(yōu)參數(shù)。

3 試驗(yàn)與結(jié)果分析

作為最先進(jìn)行整定的P參數(shù)，在對(duì)P參數(shù)進(jìn)行整定時(shí)將I參數(shù)和D參數(shù)的值均設(shè)為0，同時(shí)設(shè)常數(shù)A的取值為4 096(211)，試驗(yàn)結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位有效數(shù)字。經(jīng)過11輪仿真試驗(yàn)以及對(duì)每組的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析后，整定出了[64,12 288]區(qū)間內(nèi)P參數(shù)的最優(yōu)取值及最優(yōu)區(qū)間。但文中所設(shè)計(jì)的正交試驗(yàn)無法驗(yàn)證實(shí)際最優(yōu)參數(shù)是否會(huì)存在于[64,12 288]區(qū)間之外，所以本次正交試驗(yàn)所尋取的參數(shù)為相對(duì)最優(yōu)參數(shù)而非絕對(duì)最優(yōu)參數(shù)，最優(yōu)區(qū)間為相對(duì)最優(yōu)區(qū)間而非絕對(duì)最優(yōu)區(qū)間。

3.1 相對(duì)最優(yōu)值的確定

依照本文第2.3節(jié)記述的步驟進(jìn)行正交試驗(yàn)，并將數(shù)據(jù)記錄后繪制成正交試驗(yàn)表(見表5)，即P參數(shù)的試驗(yàn)方案與結(jié)果表[13]。

分析表5可以得出，水平參數(shù)處于較大值時(shí)，隨著輪胎動(dòng)載荷極差的降低，每個(gè)組列的最優(yōu)參數(shù)相比于上一組列也呈現(xiàn)出不斷減小的趨勢(shì)。但隨著試驗(yàn)的進(jìn)行，最優(yōu)參數(shù)的取值并不完全隨著輪胎動(dòng)載荷極差的降低而減小。

通過對(duì)比第9組、第10組、第11組正交試驗(yàn)所得出的最優(yōu)參數(shù)可以看出，第9組、第10組、第11組正交試驗(yàn)的最優(yōu)參數(shù)均為176，所對(duì)應(yīng)輪胎動(dòng)載荷的極差為1 916.6 N。依照本文2.4節(jié)所述，當(dāng)出現(xiàn)連續(xù)三個(gè)組列的最優(yōu)參數(shù)不再發(fā)生變化時(shí)，則以此參數(shù)作為PID控制器的控制參數(shù)，即PID控制器的P參數(shù)相對(duì)最優(yōu)取值為176。

表5 正交試驗(yàn)表Tab.5 Orthogonal testTable

3.2 仿真結(jié)果比較

通過正交試驗(yàn)法，對(duì)主動(dòng)懸架PID控制器的P參數(shù)進(jìn)行了整定,圖6為初始參數(shù)P=4 096與整定后的P=176時(shí)的輪胎動(dòng)載荷響應(yīng)對(duì)比。

圖6 PID控制的輪胎動(dòng)載荷響應(yīng)圖Fig.6 The dynamic load test results of tires of PID control

由表5的數(shù)據(jù)記錄和圖6的曲線對(duì)比可以看出，在相同的外部條下，輪胎動(dòng)載荷極差大致上隨P參數(shù)的降低而降低，直至P=176時(shí)輪胎動(dòng)載荷的極差值為最低。P=4 096時(shí)輪胎動(dòng)載荷的上閾值為1 520.2 N，P=176時(shí)輪胎動(dòng)載荷的上閾值降低到了1 006.5 N，降低了33.79% ；P=4 096時(shí)輪胎動(dòng)載荷的下閾值為-1 702.1 N，P=176時(shí)輪胎動(dòng)載荷的下閾值增加到了-910.1 N，增加了46.53%；P=4 096時(shí)輪胎動(dòng)載荷的極差值為3 222.3 N，P=176時(shí)輪胎動(dòng)載荷的極差值降到了1 916.6 N，降低了40.52%，達(dá)到了通過整定PID控制器參數(shù)提高汽車平順性的目的。

3.3 相對(duì)最優(yōu)區(qū)間

可在各組列中選取與最優(yōu)參數(shù)下的輪胎動(dòng)載荷極差差值最小的兩個(gè)水平參數(shù)作為相對(duì)最優(yōu)區(qū)間的端點(diǎn)，同時(shí)相對(duì)最優(yōu)區(qū)間要包含相對(duì)最優(yōu)參數(shù)在內(nèi)。

通過對(duì)極差分析表的分析，可以進(jìn)一步得出參數(shù)的相對(duì)最優(yōu)區(qū)間，便于為在實(shí)際應(yīng)用中提供更多的選擇和參考。表6、表7、表8分別列舉出了第9組、第10組、第11組正交試驗(yàn)中各組列水平參數(shù)對(duì)應(yīng)的極差值。

表6 第9組正交試驗(yàn)極差分析表Tab.6 Range analysisTable of the 9th group orthogonal test

表7 第10組正交試驗(yàn)極差分析表Tab.7 Range analysisTable of the 10th group orthogonal test

表8 第11組正交試驗(yàn)極差分析表Tab.8 Range analysisTable of the 11th group orthogonal test

從上述3個(gè)表格可以得出，與最優(yōu)參數(shù)176的極差相差最小的兩個(gè)水平參數(shù)分別為第11組正交試驗(yàn)的水平參數(shù)180(與相對(duì)最優(yōu)參數(shù)176的極差相差1.4 N)和水平參數(shù)172(與相對(duì)最優(yōu)參數(shù)的極差相差0.8 N)，且172<176<180，由此可以認(rèn)定，PID控制器的P參數(shù)取值的相對(duì)最優(yōu)區(qū)間為p∈(172,180)。圖7為第11組正交試驗(yàn)各水平參數(shù)仿真結(jié)果。

(a)水平參數(shù)P=180

(b)水平參數(shù)P=176

(c)水平參數(shù)P=172圖7 第11組正交試驗(yàn)各水平參數(shù)下的輪胎動(dòng)載荷結(jié)果圖Fig.7 The dynamic load test results of tires under the horizontal parameters of the 11th group orthogonal test

由圖7可見，進(jìn)行到第11組正交試驗(yàn)時(shí)，P=176時(shí)輪胎動(dòng)載荷的上閾值、下閾值、極差均小于P=172以及P=180時(shí)的輪胎動(dòng)載荷的上閾值、下閾值、極差，且各水平參數(shù)之間的輪胎動(dòng)載荷上閾值、下閾值、極差相差極小，由仿真試驗(yàn)再次驗(yàn)證，P=176為主動(dòng)懸架PID控制器的最優(yōu)參數(shù)，P∈(172，180)為PID控制器P參數(shù)取值的最優(yōu)區(qū)間。

4 結(jié)束語

1)關(guān)于PID控制器I(積分)、D(微分)的參數(shù)整定亦可使用正交試驗(yàn)法進(jìn)行，本文不再贅述。特別注意的是，在進(jìn)行某一參數(shù)整定的過程中，對(duì)于其他尚未整定的參數(shù)應(yīng)將其數(shù)值設(shè)為0，而對(duì)于已經(jīng)整定過的參數(shù)值則無需變動(dòng)。

2)正交試驗(yàn)法的實(shí)現(xiàn)形式多種多樣，汽車平順性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)也不為單一。在選擇優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，要考慮不同目標(biāo)間存在的相輔或相沖突的關(guān)系，以便于更加科學(xué)地設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)。

3)本文旨在研究與驗(yàn)證正交試驗(yàn)法用于主動(dòng)懸架PID控制器參數(shù)整定的有效性，依靠Matlab/Simulink建立主動(dòng)懸架模型，通過設(shè)計(jì)并進(jìn)行試驗(yàn)，給出了該方法可行性的論證。