摘要：高中立體幾何問(wèn)題中對(duì)于一些常見(jiàn)幾何體的外接球球心位置的確定以及求解半徑、表面積以及體積來(lái)說(shuō)存在比較大的困難。本文將棱錐進(jìn)行分類(lèi)，分為直棱錐，正棱錐，一般棱錐，以及對(duì)于對(duì)棱相等以及三棱錐中三條棱兩兩互相垂直的情況進(jìn)行分類(lèi)討論，探討這幾種特征明顯的棱錐在確定圓心的通用方法，為高中生本部分的學(xué)習(xí)提供幫助。

關(guān)鍵詞：棱錐、外接球

類(lèi)型一：正棱錐球心位置的確定

正棱錐在高中幾何體部分屬于重要類(lèi)型，由于正棱錐本身的特點(diǎn)：頂點(diǎn)在底面的投影在底面正多邊形的幾何中心，棱錐的高正好也是頂點(diǎn)與底面投影的連線，同時(shí)正棱錐的外接球的球心正好在這條高上。因此，利用勾股定理列出等量關(guān)系，外接球的半徑就得到解決。

例1：三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，P到平面ABC的的距離為3，在ΔABC中，a= ，A=30°，則該三棱錐外接球的半徑R=_________

解析：本題考查正三棱錐的外接球的半徑，應(yīng)首先確定外接球球心的位置，也就是找一點(diǎn)到棱錐所有點(diǎn)的距離都相等。

將立體圖形抽離成平面圖形為（圖1）：

數(shù)量關(guān)系為：PP'=3，PO=R，OP'=R-3，OA= ，PA=2

求解OA的過(guò)程中利用正弦定理，所列的等式為（OP'）2+（P'A）2=（AO）2，根據(jù)等量關(guān)系求出外接球半徑。

本類(lèi)型題目分為以下幾個(gè)步驟：（1）找底面多邊形的外接圓的圓心（2）過(guò)底面多邊形外接圓圓心作高（3）利用勾股定理建立等式。

類(lèi)型二：直棱錐球心位置的確定

直棱錐是指頂點(diǎn)在底面的投影正好在底面多邊形的某個(gè)定點(diǎn)。直棱錐與正棱錐的區(qū)別在于球心所在位置不經(jīng)過(guò)直棱錐的高，而是在經(jīng)過(guò)底面外心的垂線上，所以在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)需要經(jīng)過(guò)底面外心作垂線，根據(jù)勾股定理列出數(shù)量關(guān)系。

例2：三棱錐P-ABC，中，PA垂直于平面ABC，PA=2 ，在ΔABC中，a= ，A= ，則該三棱錐外接球的半徑R=________

解析：在棱錐中確定的是，經(jīng)過(guò)底面多邊形的外心的垂線上的點(diǎn)到底面多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，因此，在直棱錐中需要解決的問(wèn)題就是在經(jīng)過(guò)底面多邊形的垂線上找一點(diǎn)到頂點(diǎn)和到底面多邊形任一端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)。

本題中抽離出的平面圖形為（圖2）：

所列等式為： 2+r2=R2。PA=d，O'O=r。

現(xiàn)在需要使得OP=OA，所以球心O所在的位置在QO'的中點(diǎn)處。

直棱錐在確定外接球球心所在位置以及確定外接球半徑的步驟：（1）確定底面多邊形外接圓圓心所在位置;（2）求解底面外心與底面多邊形垂直棱的垂心之間的距離;（3）利用勾股定理列等量關(guān)系。

類(lèi)型三：一般棱錐球心位置的確定

一般棱錐因?yàn)槠湟话阈?，?duì)于經(jīng)過(guò)底面多邊形外心的垂線以及棱錐的高都需要作出來(lái)，因此在本類(lèi)型題目中需要的輔助線就有兩條。關(guān)鍵點(diǎn)還要解決底面多邊形的外心與棱錐的高與底面的交點(diǎn)之間的距離。由于未知量的增加，需利用勾股定理列出兩個(gè)不等式進(jìn)行求解。

例3：已知三角形PAD所在平面與矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=90°，若點(diǎn)P、A、B、C、D都在同一球面上，則此球的表面積等于（ ?）

解析：本題特殊點(diǎn)在于底面是矩形，幾何中心在對(duì)角線的交點(diǎn)，并且頂點(diǎn)在底面的投影正好落在了AD的中點(diǎn)。抽離出的平面圖形是（圖3，圖4，圖5）：

在等腰三角形PAD中，PA=PD=2，AD=2 ，P點(diǎn)的垂足在AD的中點(diǎn)P'，確定P'點(diǎn)的位置以后，便于確定P'與底面外心O'之間的距離，O為外接球球心，O'為底面矩形外接圓圓心，設(shè)OO'=h，O'A=r，OA為外接球半徑R。根據(jù)勾股定理列等式為h2+（O'A）2=R2。本圖中P'P= ，OP=OH=1，在直角三角形OPH中，根據(jù)勾股定理列出等式（ -h）2+1=R2。

綜述：本題中所列等式為：h2+（O'A）2=R2，（ -h）2+1=R2

O'O=h，OP=1，OA=R，O'A=r，r=

求解一般棱錐外接球半徑的方法：

（1）過(guò)頂點(diǎn)作底面的垂線;（2）過(guò)底面外心作垂線;（3）利用勾股定理列等量關(guān)系求解。

類(lèi)型四：可還原為長(zhǎng)方體或正方體的棱錐確定外接球球心的位置

在棱錐確定外接球球心所在未知的題目中，可分為以下幾種情況：

1、棱錐的對(duì)棱相等，將其還原為長(zhǎng)方體，相等的棱看做是長(zhǎng)方體一組對(duì)面的對(duì)角線，通過(guò)求解長(zhǎng)方體的體對(duì)角線來(lái)確定外接球的直徑。[1]

2、從棱錐的某一頂點(diǎn)出發(fā)，有三條兩兩互相垂直的棱，可以將這一頂點(diǎn)看作是長(zhǎng)方體或正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，三條兩兩互相垂直的棱分別為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高，通過(guò)對(duì)長(zhǎng)方體體對(duì)角線的求解來(lái)確定外接球的直徑。[2]

例4：已知在三棱錐A-BCD中，AB=CD=2，AD=AC=BC=BD=3，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)___________

解析：本類(lèi)型題目的特點(diǎn)在于所給條件中有兩條相對(duì)的棱是相等的，在接下來(lái)還原立方體的過(guò)程中，可以將AB與CD看做長(zhǎng)方體相對(duì)面的對(duì)角線。

例5：三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=2，求三棱錐外接球的表面積。

總結(jié)：以上列舉的幾種方法都是在高中幾何體求解外接球半徑中常見(jiàn)的方法，掌握了這幾類(lèi)方法，對(duì)中學(xué)生在求解棱錐外接球部分的學(xué)習(xí)具有促進(jìn)作用。

參考文獻(xiàn)

[1]陳宏科.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用方法研究[J].考試周刊，2021（39）：53-54.

[2]鐘國(guó)城.三棱錐外接球球心確定的方法[J].高中生，2020（24）：62-64.

作者簡(jiǎn)介

姬笑笑（1995-），女，漢族鞍山師范學(xué)院在讀研究生，研究方向：數(shù)學(xué)教育。