葉立軍 趙亞婷

(杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教育學(xué)院 311121)

1 問題提出

“概率與統(tǒng)計(jì)”是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的重要組成部分，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程中占有中心地位．同時(shí)，數(shù)據(jù)分析是概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)的核心，概率與統(tǒng)計(jì)是學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)發(fā)展的知識(shí)載體．[1]以下以2020年和2021年新高考全國(guó)Ⅰ卷、Ⅱ卷為例，從宏觀與微觀兩個(gè)維度研究新高考全國(guó)卷概率與統(tǒng)計(jì)試題的命題特征，對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率的課堂教學(xué)提出建議，提高學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．

2 概率與統(tǒng)計(jì)試題內(nèi)涵及特征

當(dāng)前對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)試題的概念沒有統(tǒng)一界定，本文中我們根據(jù)考查知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容將概率與統(tǒng)計(jì)試題內(nèi)涵界定為“考查內(nèi)容為概率與統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的試題”．

概率與統(tǒng)計(jì)試題具有如下特征：

(1)應(yīng)用性

概率與統(tǒng)計(jì)試題作為數(shù)學(xué)學(xué)科與生產(chǎn)生活實(shí)際聯(lián)系的主要渠道[2]，在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用極為廣泛，呈現(xiàn)生產(chǎn)、生活、科研等不同領(lǐng)域的應(yīng)用需求，其分析結(jié)果用于解決現(xiàn)實(shí)問題，體現(xiàn)較強(qiáng)的應(yīng)用性．

(2)情境性

情境是高考實(shí)現(xiàn)價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向綜合考查的載體．[3]概率與統(tǒng)計(jì)試題均設(shè)計(jì)了具有鮮明時(shí)代特色、新穎且真實(shí)的情境，考查學(xué)生在熟悉或陌生情境下利用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，體現(xiàn)較強(qiáng)的情境性．

(3)綜合性

概率與統(tǒng)計(jì)試題通過構(gòu)建真實(shí)的情境將數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)加以貫通考查，如在試題中除了考查概率統(tǒng)計(jì)之外，還考查函數(shù)、數(shù)列等內(nèi)容．同時(shí)，概率與統(tǒng)計(jì)試題也關(guān)注綜合核心素養(yǎng)的考查，在關(guān)注數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的同時(shí)也關(guān)注邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)．

3 概率與統(tǒng)計(jì)試題分析

3.1 分析框架

依據(jù)概率與統(tǒng)計(jì)試題的內(nèi)涵與特征，從宏觀與微觀兩個(gè)方面分析新高考全國(guó)卷中的相關(guān)試題，如表1．

表1 分析框架

宏觀方面為概率與統(tǒng)計(jì)試題的分布情況以及根據(jù)PISA2021的分類對(duì)試題的背景情境進(jìn)行分析．其中，把PISA2021中的科學(xué)情境分離出純數(shù)學(xué)情境．

微觀方面借鑒高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)核心素養(yǎng)劃分的四個(gè)維度、三個(gè)水平進(jìn)行分析．

3.2 宏觀分析

(1)試題分布分析

統(tǒng)計(jì)2020年與2021年新高考全國(guó)卷概率與統(tǒng)計(jì)試題的題型、分值和總分情況，如表2．

表2 概率與統(tǒng)計(jì)試題的分布情況

由表2，新高考全國(guó)卷分為Ⅰ、Ⅱ卷，從試題類型上看，新高考全國(guó)卷概率與統(tǒng)計(jì)試題分布在選擇與解答這兩個(gè)部分，基本上是以一道單選題(5分)、一道多選題(5分)、一道解答題(12分)，總分22分的固定模式進(jìn)行考查．

(2)背景情境分析

依據(jù)改變后的PISA2021對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)試題進(jìn)行分析，如表3．

表3 概率與統(tǒng)計(jì)試題情境分析表

由表3，2020年新高考全國(guó)卷概率與統(tǒng)計(jì)試題傾向于借助社會(huì)背景來(lái)考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，其他背景情境比較欠缺．而2021年新高考全國(guó)卷概率與統(tǒng)計(jì)試題的背景情境類型較豐富，不僅僅局限于社會(huì)情境．2021年新高考全國(guó)卷概率與統(tǒng)計(jì)試題在關(guān)注社會(huì)現(xiàn)象的同時(shí)也在關(guān)注試題與生活的聯(lián)系、跨學(xué)科的應(yīng)用．

3.3 微觀分析

按數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)四個(gè)維度進(jìn)行分析，如表4．

表4 概率與統(tǒng)計(jì)試題四個(gè)維度考查情況

由表4，在情境與問題方面，新高考全國(guó)卷均從熟悉的情境來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題．同時(shí)，2021Ⅰ卷以“一帶一路”為背景進(jìn)行考查，結(jié)合時(shí)政、關(guān)注社會(huì)發(fā)展．在知識(shí)與技能方面，試題主要考查統(tǒng)計(jì)圖識(shí)別、幾何概型、古典概型與排列組合，或附加考查函數(shù)的內(nèi)容，關(guān)注知識(shí)的整合．在思維與表達(dá)方面，主要要求學(xué)生在一定程度上可以利用離散型隨機(jī)變量思想去描述和分析隨機(jī)現(xiàn)象，也關(guān)注學(xué)生可以用統(tǒng)計(jì)或概率模型表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象，體會(huì)統(tǒng)計(jì)和概率的模型思想．在交流與反思方面，按照“反思”的含義，學(xué)生在做題時(shí)也有“反思”的過程[4]，比如檢查計(jì)算的結(jié)果等．

對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)選擇題部分按數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)三個(gè)水平進(jìn)行分析，如表5．

表5 概率與統(tǒng)計(jì)試題三個(gè)水平考查情況

由表5，新高考全國(guó)卷中概率與統(tǒng)計(jì)試題選擇題部分集中考查水平一和水平二，對(duì)水平三的考查較少．其中，在2020Ⅰ卷中出現(xiàn)利用概率部分知識(shí)考查新定義試題，在核心素養(yǎng)的四個(gè)維度中考查水平較高．而解答題部分在核心素養(yǎng)的四個(gè)維度除了交流與反思外，其余水平均達(dá)到水平二，并且2021Ⅱ卷的解答題在知識(shí)與技能、思維與表達(dá)方面均達(dá)到水平三．新高考全國(guó)卷均在關(guān)聯(lián)的情境中，對(duì)學(xué)生能否針對(duì)具體問題，運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)或概率模型解決問題，用統(tǒng)計(jì)或概率模型表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律進(jìn)行考查．

為了解新高考全國(guó)卷在核心素養(yǎng)的四個(gè)維度考查哪個(gè)水平為主，繪制數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的三個(gè)水平百分比堆積圖，得圖1．

圖1

由圖1，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)集中考查水平一和水平二，對(duì)高水平素養(yǎng)考查較少．可見數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查比較重視基礎(chǔ)，以知識(shí)的理解和遷移為主，較少考查知識(shí)創(chuàng)新．

4 試題命題特征

4.1 試題立意高、起點(diǎn)低，注重對(duì)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查

新課標(biāo)要求在概率與統(tǒng)計(jì)方面注重基本概念的理解，著眼于知識(shí)在理解基礎(chǔ)上的應(yīng)用．[5]新高考全國(guó)卷概率與統(tǒng)計(jì)試題體現(xiàn)課標(biāo)要求，注重學(xué)生在解決問題的同時(shí)培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，但試題起點(diǎn)較低，考查均為常規(guī)的、熟悉的知識(shí)內(nèi)容，考查水平集中在水平一和水平二．

例1(2020Ⅰ卷第3題)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去一個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有( )．

A．120種 B．90種 C．60種 D．30種

例2(2020Ⅰ卷第6題)安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有( )．

A．2種 B．3種 C．6種 D．8種

例3(2021Ⅰ卷第8題)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1, 2, 3, 4, 5, 6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則( ).

A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立

C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立

例1和例2考查的知識(shí)點(diǎn)是基礎(chǔ)的分步乘法計(jì)數(shù)原理，體會(huì)統(tǒng)計(jì)的模型思想．例3的知識(shí)點(diǎn)是事件的相互獨(dú)立性，體會(huì)概率的模型思想．這三題均是對(duì)數(shù)據(jù)分析水平一的考查，要求學(xué)生能夠面對(duì)熟悉的情境選擇合適的統(tǒng)計(jì)概率模型來(lái)解決問題，關(guān)注學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．此類題以單選題為主，考查難度不高．

4.2 試題體現(xiàn)綜合性，注重考查綜合應(yīng)用能力

新高考全國(guó)卷試題具有較強(qiáng)的綜合性，注重知識(shí)點(diǎn)的整合和運(yùn)用．具體表現(xiàn)為注重在知識(shí)的交匯處設(shè)計(jì)試題，從不同的角度分析數(shù)據(jù)，綜合考查不同的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[6]．如將統(tǒng)計(jì)與概率加以整合，或?qū)⒏怕式y(tǒng)計(jì)與函數(shù)、數(shù)列等加以結(jié)合設(shè)計(jì)問題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．

例4(2021Ⅱ卷第21題)一種生物群可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)P(X=i) =pi(i= 0, 1, 2, 3)．

(1)已知p0= 0.4，p1= 0.3，p2= 0.2，p3= 0.1，求E(X)；

(2)設(shè)P表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)≤1時(shí)，p=l，當(dāng)E(X) > 1時(shí)，P< 1；

(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義．

例4把概率的相關(guān)知識(shí)和函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合出題，是對(duì)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查也是對(duì)邏輯推理素養(yǎng)的考查．該試題具有較強(qiáng)的綜合性，要求學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)熟練掌握．

4.3 情境蘊(yùn)含時(shí)代氣息，體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)的教育價(jià)值

時(shí)政和社會(huì)熱點(diǎn)話題作為數(shù)學(xué)問題的背景出現(xiàn)，在考查學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力的同時(shí)，也在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注國(guó)家發(fā)展．[7]新高考概率與統(tǒng)計(jì)試題以我國(guó)時(shí)政為背景情境，強(qiáng)調(diào)我國(guó)近幾年的發(fā)展，樹立學(xué)生“四個(gè)自信”，潛移默化影響學(xué)生的價(jià)值觀．

例5(2020Ⅱ卷第9題)我國(guó)新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖(圖2)，下列說(shuō)法正確的是( )．

圖2

A．這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加

B．這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

C．第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%

D．第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

例5是以2020年的后新冠肺炎疫情時(shí)期各地復(fù)產(chǎn)復(fù)工為背景，考查的是統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別，借助統(tǒng)計(jì)圖的分析來(lái)反映數(shù)據(jù)分析能力．隨著日期推移，復(fù)產(chǎn)復(fù)工指數(shù)在波動(dòng)上升，反映了我國(guó)疫情處理卓有成效，經(jīng)濟(jì)健康發(fā)展．

例6(2021Ⅰ卷第18題)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A, B兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題冋答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束． A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分．

己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6．且能正確回答問題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列：

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說(shuō)明理由．

例6以當(dāng)時(shí)國(guó)家推動(dòng)發(fā)展的“一帶一路”為背景，組織有關(guān)“一帶一路”的知識(shí)競(jìng)賽．結(jié)合時(shí)政，使學(xué)生在解決問題的同時(shí)了解我國(guó)發(fā)展戰(zhàn)略，促進(jìn)共同發(fā)展，實(shí)現(xiàn)共同繁榮．

4.4 強(qiáng)調(diào)模型思想，凸顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值

建模思想的形成是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑[8]，并且模型的建立與知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用直接相關(guān)．新高考全國(guó)卷較關(guān)注數(shù)學(xué)模型，考查學(xué)生面對(duì)隨機(jī)的數(shù)據(jù)選擇合適的概率、統(tǒng)計(jì)模型來(lái)解決問題，體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)的模型思想，感受統(tǒng)計(jì)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值．

例7(2020Ⅱ卷第19題)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：

PM2.5, SO2[0, 50](50, 150](150, 475][0, 35]32184(35, 75]6812(75, 115]3710

(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2 × 2列聯(lián)表：

PM2.5, SO2[0, 150](150, 475][0, 75](75, 115]

(3) 根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)？

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

例7以空氣質(zhì)量檢測(cè)為背景，展示不同PM2.5和SO2濃度的天數(shù)，體會(huì)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性．該題的設(shè)置考查學(xué)生利用相關(guān)概率與統(tǒng)計(jì)模型來(lái)分析隨機(jī)現(xiàn)象，感受概率與統(tǒng)計(jì)模型在生活中的應(yīng)用，提高學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思維．

5 教學(xué)啟示

5.1 注重情境創(chuàng)設(shè)，凸顯學(xué)科育人目標(biāo)

數(shù)學(xué)學(xué)科育人主要包括發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決問題的能力．[9]學(xué)生獲取數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與提高“四能”依賴于經(jīng)驗(yàn)的積累，而經(jīng)驗(yàn)均植根于情境之中，新高考概率與統(tǒng)計(jì)試題的呈現(xiàn)均配有相應(yīng)的問題背景情境，引導(dǎo)學(xué)生利用概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)來(lái)進(jìn)行問題的解決．教師在教學(xué)過程中，應(yīng)特別注重情境對(duì)學(xué)生解決概率統(tǒng)計(jì)問題的影響，根據(jù)考查內(nèi)容創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科育人目標(biāo)．

5.2 注重模型思想，體會(huì)統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用價(jià)值

數(shù)學(xué)模型的建立是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要途徑，并且統(tǒng)計(jì)建模與數(shù)據(jù)分析的應(yīng)用直接相關(guān)．新高考全國(guó)卷著重考查概率與統(tǒng)計(jì)的模型思想，要在題干中識(shí)別并利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問題．教師應(yīng)注重概率與統(tǒng)計(jì)模型的教學(xué)，利用現(xiàn)實(shí)生活中跨學(xué)科的、未經(jīng)處理的一手案例來(lái)促進(jìn)學(xué)生對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力和對(duì)概念與模型的辨識(shí)能力，體會(huì)統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用價(jià)值．

5.3 注重?cái)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)利用學(xué)生的親生經(jīng)歷，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)隨機(jī)思想、統(tǒng)計(jì)思想的認(rèn)識(shí)．[10]新高考全國(guó)卷的簡(jiǎn)答題比較關(guān)注概率的隨機(jī)思想，利用相關(guān)知識(shí)分析隨機(jī)現(xiàn)象．教師要充分利用各種資源，增設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，增加學(xué)生對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的親身體驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生積極參與具體隨機(jī)事件的產(chǎn)生和發(fā)展過程，在大量的重復(fù)試驗(yàn)中分析數(shù)據(jù)的規(guī)律，感知隨機(jī)現(xiàn)象的不確定性，加深對(duì)概率和隨機(jī)性的理解．對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象的試驗(yàn)，教師可以嘗試進(jìn)行計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬試驗(yàn)的教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂教學(xué)效率．

5.4 開展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念

基于案例、問題的項(xiàng)目化學(xué)習(xí)有利于學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的發(fā)展．[11]同時(shí)，統(tǒng)計(jì)教學(xué)要求學(xué)生在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷完整的數(shù)據(jù)分析過程．新高考全國(guó)卷借助現(xiàn)實(shí)情境，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)與知識(shí)的應(yīng)用．教師應(yīng)圍繞數(shù)據(jù)分析過程這一主線，開展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，以課內(nèi)課外相結(jié)合的方式，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷調(diào)查收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)、交流和解釋數(shù)據(jù)、質(zhì)疑和反思結(jié)論、形成數(shù)據(jù)分析活動(dòng)報(bào)告的數(shù)據(jù)分析全過程，讓學(xué)生在經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的過程中逐步培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念．