佛山市順德區(qū)青云中學(528313) 范友寶

由特殊到一般的思想的運用水平,能反映出考生的數(shù)學素養(yǎng)和一般能力,所以考查特殊與一般的思想在高考中占有重要位置. 在新課標高考中,有意設計一些能集中體現(xiàn)特殊與一般思想的解析幾何試題,突出體現(xiàn)了特殊化方法的意義與作用. 如通過構造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列,尋找特殊位置,利用特殊值、特殊方程等方法解決一般問題、抽象問題、運動變化問題、不確定問題等等. 下面筆者以一道試題為例,具體分析如何挖掘試題的本質,發(fā)現(xiàn)其中一般性的結論并給予證明,充分體現(xiàn)了試題一般到特殊再由特殊到一般的數(shù)學思想.

1 試題展示

題目(2019年高考新課標Ⅱ卷第21 題) 已知點A(-2,0),B(2,0), 動點M(x,y) 滿足直線AM與BM的斜率之積為記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程,并說明C是什么曲線;

(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結QE并延長交C于點G.

(I)證明: ΔPQG是直角三角形;

(Ⅱ)求ΔPQG面積的最大值.

2 試題解析

第(1)問考查回歸教材,考查了圓錐曲線有關的軌跡問題,用方程的思想研究曲線,用曲線的性質研究方程,考察了求軌跡方程的一般方法. 以上題目來源于教材但不拘泥于教材.

第(2)問中的(I)題考查對解析化途經(jīng)的選擇,證明三角形為直角三角形的方法有: 勾股定理,向量法,平面幾何知識等等,如何解析更為簡便,是要學生學會解析并做出選擇. 在這里,自然選擇坐標法更為合適,作答如下:

設直線PQ的斜率為k,則其方程為y=kx(k ＞0). 由則P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0). 于是直線QG的斜率為方程為由得

設G(xG,yG), 則-u和xG是方程①的解, 故xG=由此得yG=從而直線PG的斜率為所以PQ⊥PG, 即ΔPQG是直角三角形.

以下考慮求解第(II)問的三種思路:

思路一由(I) 得|PQ|=所以ΔPQG的面積

設t=則由k ＞0 得t≥2,當且僅當k= 1 時取等號. 因為S=在[2,+∞)單調遞減,所以當t=2,即k=1 時,S取得最大值,最大值為因此,ΔPQG面積的最大值為

思路一的難點在于如何將面積S表述成t的函數(shù),從而轉化為我們熟悉的函數(shù)模型,并運用函數(shù)單調性求最值. 其過程考察了函數(shù)與方程的思想. 既然可以采用函數(shù)思想求最值,那么導數(shù)法應該也可以用,于是筆者給出如下的思路二.

思路二由(I) 得|PQ|=所以ΔPQG的面積S=由于

令S′=0,解得k=1,當0＜k ＜1 時,S′ ＞0;當k ＞1 時,S′ ＜0;所以當k=1 時,Smax=

思路三在思路二的基礎上,繼續(xù)研究面積的表示方法,我們還可以發(fā)現(xiàn)運動中解析幾何的特殊性,進而挖掘其幾何特征,往往幾何特征挖掘的越充分, 運算量就越簡單, 事實上,本題還可以角度與距離來表示此三角形的面積. 作答如下:(1+2k2)x2= 4,所以|OP|2=如圖1, 設∠PQG=θ, 直線PQ的傾斜角為α, 直線QG的傾斜角為β, 由圖1 可知:tanθ=tan(α-β)=余下解答同思路二.

圖1

從解析幾何的不同的解析途徑來看,在研究運動變化下的特殊問題,利用將幾何問題轉化為代數(shù)問題. 主要用到的就是特殊與一般的思想,而思路三正是抓住了運動中的特殊性,挖掘幾何關系,并轉化為代數(shù)問題.

3 背景溯源

來源1(人教A 版P41.2.2.1 例題3)設A,B的坐標分別為(-5,0),(5,0),直線AM與BM相交于點M,且它們的斜率之積為求點M的軌跡方程.

來源2(人教A 版P55.例題2)設A,B的坐標分別為(-5,0),(5,0),直線AM與BM相交于點M,且它們的斜率之積為求點M的軌跡方程并判斷軌跡的形狀.

來源3(人教A 版P80.復習參考題A 組第10 題)已知ΔABC中,A,B的坐標分別為(-5,0),(5,0),直線AC,BC的斜率之積為m(m/=0),試探求頂點C的軌跡.

真題溯源(2011年高考江蘇卷理科第18 題) 如圖2,在平面直角坐標系xOy中,M,N分別是橢圓1 的頂點, 過坐標原點的直線交橢圓于P,A兩點,其中點P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C,連接AC,并延長交橢圓于點B. 設直線PA的斜率為k.

圖2

(1)當直線PA平分線段MN,求k的值;

(2)當k=2 時,求點P到直線AB的距離d;

(3)對任意k ＞0,求證:PA ⊥PB.

4 拓展推廣

探究1設A,B的坐標分別為(-a,0),(a,0),直線AM與BM相交于點M,且它們的斜率之積為λ(λ/=0),則動點M的軌跡方程為=1(x/=±a).

①若λ ＜0 且λ/=-1,則動點M的軌跡是橢圓(除去A,B兩點);

②若λ=-1,則動點M的軌跡是圓(除去A,B兩點);

③若λ ＞0,則動點M的軌跡是雙曲線(除去A,B兩點);

探究2過坐標原點的直線交橢圓C:=1(a ＞b ＞0)于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸, 垂足為E,連結QE并延長交C于點G. 試問ΔPQG是否一定是直角三角形,請說明理由.

圖3

解析設直線PQ的斜率為k, 則其方程為y=kx(k ＞0). 由記則P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0). 于是直線QG的斜率為直線方程為(x-u). 由直線QG與橢圓C的方程聯(lián)立,得到

設G(xG,yG),則-u和xG是方程①的解,故

從而直線PG的斜率為:

所以當a2=2b2時,PQ⊥PG,即ΔPQG是直角三角形.

事實上,此題也可證明直線PQ與直線PG斜率之積為定值它也體現(xiàn)了用解析幾何方法解決數(shù)學中提出有數(shù)學特點的問題(如存在性、唯一性、不變性). 研究運動中的不變性也是解析幾何的熱點問題. 本題在高考試題的基礎上進行探索其一般性結論,充分體現(xiàn)了由特殊到一般性的思想.

探究3過坐標原點的直線交橢圓C:=1(a ＞b ＞0) 于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結QE并延長交C于點G. 作PF⊥y軸,延長QF交橢圓C于點M,則有:

(1)直線QM,QP,QG的斜率成等比數(shù)列;

(2)直線PQ與直線PM斜率之積為定值

(3)ΔPQG的面積的最大值為

證明(1)設P(x1,y1),則Q(-x1,-y1),E(x1,0),F(0,y1),所以kQM=kQM ·kQG,所以直線QM,QP,QG的斜率成等比數(shù)列.

(2)設直線PQ的斜率為k,則其方程為y=kx(k ＞0).由記u=|x|, 則P(u,uk),Q(-u,-uk),F(0,uk). 于是直線QM的斜率為2k,直線方程為y= 2kx+uk. 由將直線QM與橢圓C的方程聯(lián)立,得到:

設M(xM,yM), 則-u和xM是方程②的解, 由xQ ·xM=從而xM=故yM=從而直線PM的斜率為:

所以kP Q ·kP M=所以直線PQ與直線PM斜率之積為定值

如圖4, 設∠PQG=θ, 直線PQ的傾斜角為α, 直線QG的傾斜角為β,由圖4 可知:

圖4

由第一問可知a2=2b2代入可得:

設t=則由k ＞0 得t≥2,當且僅當k=1 時取等號. 因為S=2a2b2·在[2,+∞)單調遞減,所以當t=2,即k=1 時,S取得最大值,最大值為因此,ΔPQG面積的最大值為

事實上,前面提及的2019年高考新課標II 卷的第21 題正是基于以上一般性結論的基礎上,將a2= 4,b2= 2 代入即可得到該試題的答案正是體現(xiàn)了解析幾何試題中特殊與一般的轉換思想.

特殊與一般的數(shù)學思想方法在試題中被廣泛的應用,尤其是在處理一般性問題、抽象問題、運動變化問題和不確定性等問題時,都可考慮運用特殊與一般的思想方法去探求解題途徑. 我們應該多加積累,充分挖掘試題的本質與背景,以期對“一般與特殊”的辯證關系的理解和掌握要達到較高的層次.