范志國(guó)

(遼寧省盤(pán)錦市盤(pán)山縣教師進(jìn)修學(xué)校 遼寧 盤(pán)錦 124107)

數(shù)學(xué)史上最早使用“量變引起質(zhì)變”方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的當(dāng)屬我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽，他在注《九章算術(shù)》中采用正多邊形面積逐漸逼近圓面積的方法計(jì)算圓周率，用劉徽自己的原話就是“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”。他的思想后來(lái)又得到祖沖之的推進(jìn)和發(fā)展，計(jì)算圓周率的近似值在世界上很長(zhǎng)時(shí)間里處于領(lǐng)先地位。

劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開(kāi)始，讓邊數(shù)逐次加倍，逐個(gè)算出這些圓內(nèi)接正多邊形的面積，從而得到一系列逐漸遞增的數(shù)值，來(lái)一步一步地逼近圓面積，最后求出圓周率的近似值。用規(guī)則圖形面積替代非規(guī)則圖形面積，使不可能變?yōu)榭赡?，?dāng)量變的積累充分時(shí)就能實(shí)現(xiàn)，這就是“量變引起質(zhì)變”，它是數(shù)學(xué)史上思想和方法的一次偉大飛躍。以后微積分的誕生，即把曲邊形的面積微分成矩形面積之和也是運(yùn)用了“量變引起質(zhì)變”思想和方法。還有極限、導(dǎo)函數(shù)、雙曲線的漸近線等都是“量變引起質(zhì)變”思想方法的體現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中教師一定要注重培養(yǎng)學(xué)生以“量變引起質(zhì)變”的觀點(diǎn)來(lái)看問(wèn)題和解決問(wèn)題，來(lái)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)。例如小學(xué)數(shù)學(xué)圓面積的推導(dǎo)是把圓分割成兩個(gè)半圓，再把這兩個(gè)半圓分割成數(shù)目相同的扇形，扇形數(shù)目越多越好也就是分割得越細(xì)越好，分割得越細(xì)，扇形的圓弧越接近直線，再把兩組扇形對(duì)插在一起，這樣就把圓割補(bǔ)成了一個(gè)近似的矩形，分割得越細(xì)就越接近矩形，分割得越細(xì)圓的半徑就越接近矩形的高，就可以用直線來(lái)代替曲線，這時(shí)矩形的長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)的一半而圓的半徑就是矩形的寬，從而得到了圓的面積公式。這就是量變引起質(zhì)變，用量變引起質(zhì)變的方法就能把曲線圍成圖形的面積變?yōu)橐?guī)則圖形面積，面積就可求了。教學(xué)過(guò)程中教師務(wù)必把圓割補(bǔ)成矩形展示給學(xué)生，或者師生共同操作完成。因?yàn)樗鄬?duì)圓面積公式來(lái)說(shuō)更重要，圓面積公式只是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而它是一種方法一種思想，有了思想方法就能解決新的更復(fù)雜的問(wèn)題。再例如直線與圓的位置關(guān)系中切線與割線的關(guān)系就清晰明了了，即割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)間距離無(wú)限縮小為0時(shí)，割線變?yōu)榍芯€了這就是質(zhì)變，所以經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的直線如果與圓有交點(diǎn)，切點(diǎn)可以看成兩個(gè)重合的交點(diǎn)，那么這點(diǎn)到兩個(gè)交點(diǎn)的線段長(zhǎng)乘積就是一個(gè)定值，定值為切線長(zhǎng)的平方，而切線長(zhǎng)的平方又等于這點(diǎn)到圓心距離的平方減去半徑長(zhǎng)的平方。當(dāng)這點(diǎn)移動(dòng)到圓內(nèi)時(shí)，這點(diǎn)到兩個(gè)交點(diǎn)的線段長(zhǎng)乘積依然是定值，而這定值隨著這點(diǎn)位置的質(zhì)變也質(zhì)變?yōu)榘霃介L(zhǎng)的平方減去這點(diǎn)到圓心距離的平方；兩個(gè)圓的位置關(guān)系是由這兩個(gè)圓的圓心距離決定的，兩個(gè)圓的圓心距離發(fā)生了質(zhì)變，兩個(gè)圓的位置就發(fā)生了質(zhì)變，當(dāng)兩個(gè)圓的圓心距離在大于兩個(gè)半徑之差到小于兩個(gè)半徑之和的范圍內(nèi)時(shí)，兩個(gè)圓相交，當(dāng)兩個(gè)圓的圓心距離大到兩個(gè)半徑之和時(shí)，兩個(gè)圓外切，再大就外離，當(dāng)兩個(gè)圓的圓心距離小到兩個(gè)半徑之差時(shí)，兩個(gè)圓就內(nèi)切，再小就內(nèi)含；瞬時(shí)速度、加速度這些抽象的概念也就好理解了。如此等等。

量變積累引起的變化能預(yù)示結(jié)果的趨勢(shì)和走向。比如有些數(shù)列，通過(guò)對(duì)前幾項(xiàng)數(shù)值與項(xiàng)數(shù)關(guān)系的觀察就能得到它的通項(xiàng)公式。如果是良性的質(zhì)變，我們就應(yīng)促進(jìn)其質(zhì)變，比如數(shù)學(xué)教學(xué)中公式、法則的運(yùn)用就是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格按照規(guī)章制度做事，走入社會(huì)就要遵紀(jì)守法。我時(shí)常對(duì)那些隨心所欲做題的學(xué)生說(shuō)：“你現(xiàn)在不按公式、法則做題，我給你畫(huà)X，你將來(lái)走入社會(huì)不按法律做事，等到公安局的給你畫(huà)X，你的命就休矣了”：如果是惡性的質(zhì)變，我們就要防止、阻止其質(zhì)變，就是防微杜漸，“勿以善小而不為，勿以惡小而為之。”就是防止量變引起質(zhì)變，以免“積重難返”。偉大的中國(guó)共產(chǎn)黨的締造者和領(lǐng)導(dǎo)者——偉大領(lǐng)袖毛主席就十分重視共產(chǎn)黨的廉潔成長(zhǎng)，時(shí)刻防止腐敗的滋生，防止越演越烈，以免腐敗量變的積累導(dǎo)致亡黨亡國(guó)，避免歷史的周期律重演。在偉大領(lǐng)袖毛主席的領(lǐng)導(dǎo)下中國(guó)共產(chǎn)黨歷史上堅(jiān)決鏟除了各種腐敗的滋生，將腐敗消滅在萌芽之中，先后處決了謝步升、黃克功、劉青山、張子善等各類(lèi)腐敗分子，保持了中國(guó)共產(chǎn)黨長(zhǎng)期的廉潔性，使中國(guó)共產(chǎn)黨成為最廉潔，最有號(hào)召力，最有戰(zhàn)斗力的偉大的光榮的正確的黨。

偉大領(lǐng)袖毛主席所著的光輝名篇《論持久戰(zhàn)》中深刻地分析了中、日兩國(guó)的各種因素得出了偉大的真理就是日本必?cái)。袊?guó)必勝。取得勝利的戰(zhàn)略方針就是全民族全面建立統(tǒng)一戰(zhàn)線對(duì)日抗戰(zhàn)，積各種小勝于大勝，逐漸改變中、日力量的強(qiáng)弱關(guān)系，促進(jìn)中、日力量強(qiáng)弱關(guān)系的質(zhì)變。既批駁了那些看不到量變能引起質(zhì)變的悲觀失望的亡國(guó)論者，又批駁了那些不注重量變積累的速勝論者。以后幾年的抗戰(zhàn)實(shí)踐充分證明了《論持久戰(zhàn)》是偉大的，完全正確的。這就是“量變引起質(zhì)變”應(yīng)用在軍事上的光輝典范。在數(shù)學(xué)知識(shí)體系的探究、發(fā)展、形成過(guò)程中誕生了許多數(shù)學(xué)思想和方法,這些思想方法概括總結(jié)為哲學(xué)觀點(diǎn)用來(lái)指導(dǎo)各學(xué)科及生產(chǎn)實(shí)踐，“量變引起質(zhì)變”就是其中一個(gè)重要的哲學(xué)觀點(diǎn)。