李敏，曹樂，沈頡

（201620 上海市 上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院）

0 引言

船舶在航行過程中會受波浪等因素影響引發(fā)大幅橫搖運動[1]，導(dǎo)致船上人員無法正常作業(yè)甚至造成傾覆事故，帶來嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失[2]，準(zhǔn)確分析和預(yù)測船舶橫搖運動狀態(tài)具有重要的理論和現(xiàn)實意義，也吸引了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注。Oh[3]等人采用縱搖與橫搖運動耦合的方法研究參數(shù)橫搖現(xiàn)象。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)波浪頻率為船舶橫搖固有頻率的2 倍時，最易發(fā)生參數(shù)橫搖共振現(xiàn)象。同時，當(dāng)波浪頻率接近船舶橫搖固有頻率時將會引起較大的橫搖幅度，使船舶陷入不穩(wěn)定狀態(tài)[4-5]；Obreja[6]等人建立了一類垂蕩、橫搖和縱搖的耦合方程，系統(tǒng)分析了參數(shù)橫搖現(xiàn)象。其中，平均非線性方法的發(fā)展和應(yīng)用增大了預(yù)測船舶參數(shù)橫搖的可能性，為船舶的運動分析和結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了實用價值?，F(xiàn)有數(shù)值仿真工具[7-8]可根據(jù)工況下對應(yīng)的參數(shù)直接預(yù)測并模擬船舶的運動狀態(tài)，判斷其是否處于參數(shù)橫搖狀態(tài)。

船舶穩(wěn)定性是指其在靜水和波浪中保持垂直漂浮位置的能力，也是船舶結(jié)構(gòu)最基本的性能之一，保證了船舶航行過程中的安全性能[9]。Moideen[10]等人分析了Mathieu 不穩(wěn)定圖譜與船舶參量之間的關(guān)系，給出不同航速下船舶穩(wěn)定的判斷條件，并對常規(guī)波下的初穩(wěn)心高度進(jìn)行了估算；Himeno[11]分析了阻尼對參數(shù)橫搖運動的影響，指出阻尼越大越不容易發(fā)生橫搖運動；戎海武[12]等人應(yīng)用改進(jìn)的變形參數(shù)法對Mathieu 方程邊界值進(jìn)行求解，但精度仍需進(jìn)一步提高；徐亞杰[13]針對船舶的轉(zhuǎn)動慣量進(jìn)行測量，從而對船舶的橫搖運動進(jìn)行仿真分析，但仿真過程較為復(fù)雜。

本文基于船舶結(jié)構(gòu)建立橫搖運動動力學(xué)方程，采用多尺度法給出近似解析解的表達(dá)形式，同時利用Hill 行列式結(jié)合運動方程特點繪制船舶不穩(wěn)定參數(shù)圖譜，并定性分析了不同阻尼下的船舶狀態(tài)?；诖皺M搖角的解析解，分析不同小參數(shù)下橫搖運動的時歷變化及相圖的收斂性，從而判斷船舶穩(wěn)定性，進(jìn)一步研究其對船舶橫搖運動的影響。另外，對船舶參數(shù)不穩(wěn)定圖譜中給定點的橫搖運動進(jìn)行預(yù)測，并通過增加阻尼項分析其對船舶恢復(fù)至穩(wěn)定狀態(tài)的影響程度。

1 船舶運動學(xué)分析

1.1 模型建立

復(fù)雜海況下，船舶極易發(fā)生垂蕩-橫搖耦合運動，即出現(xiàn)參數(shù)共振現(xiàn)象。不同海況下的波浪表征出不同的運動學(xué)特性，本文著重分析單頻波浪影響下船舶的橫搖運動響應(yīng)，變化情況如圖1表示。其中，M0為船舶初穩(wěn)心；GM0對應(yīng)船舶在靜水中的初穩(wěn)心高度；B0為靜水中的浮心位置；GZ 表示恢復(fù)力矩。受海浪因素影響，船舶浮心由B0偏移到B1，產(chǎn)生橫搖角φ，φ可表示為以M0為圓心，M0B0為半徑的圓弧B0B1所對應(yīng)的夾角。船舶初穩(wěn)心高度表示為

圖1 船舶橫搖運動簡圖Fig.1 Schematic chart of ship roll motion

式中：α——單位垂蕩運動引起的GM 變化；η——垂蕩運動隨橫搖運動恢復(fù)力剛度的變化程度；ω——船舶垂蕩運動頻率。

船舶橫搖運動微分方程[14]可表示為

式中：Ix——橫搖慣性矩；Mx——橫搖附加質(zhì)量；C1——線性阻尼系數(shù)；Δ——排水量。

令τ=ωt，將式（1）代入式（2），并進(jìn)行無量綱化處理可得

1.2 橫搖運動方程的求解

本文采用多尺度法求解船舶橫搖運動方程，其主要思想是將關(guān)于時間τ的高階微分方程轉(zhuǎn)換為多重尺度變量Tn的低階偏微分方程進(jìn)行求解，能夠克服攝動方法一次近似求解方法精度低、二次近似求解方法復(fù)雜度高的缺點。

首先，對式（3）引入小參數(shù)r，取值范圍為0

式中：σ——頻率調(diào)諧參數(shù)，表示垂蕩頻率與2倍橫搖固有頻率的相關(guān)程度。

將式（4）代入式（3）中，可得

設(shè)式（3）通解的形式

式中：T0=τ；T1=rτ；T2=r2τ。

定義微分算子：

將式（6）—式（8）代入式（5），根據(jù)所得偏微分方程按r 的階次進(jìn)行整理，可得

設(shè)式（9）解的形式為

將式（12）代入到式（10）

式中：cc——前面幾項的共軛。

為了得到一致有效的展開式，消除方程(13)中的長期項，需滿足以下條件：

消除長期項后，式（10）表示為

設(shè)式（15）中解的形式可表示為

將式（12）和式（16）代入式（11），可得

消除式（17）中的長期項，可得

根據(jù)式（14）和式（18）可分別解得

將A 表示成極坐標(biāo)形式：

同時，將式（19）、式（20）和式（21）分別代入式（22）中并分離其實部與虛部，可得

因此，式（3）近似解析解的表達(dá)形式為

1.3 不穩(wěn)定區(qū)間的確定

本小節(jié)利用Hill 行列式[15-16]確定船舶不穩(wěn)定參數(shù)圖譜。在確定參數(shù)圖譜的過程中，過渡曲線的解φ（t）可用如下傅里葉級數(shù)表示：

將式（26）代入式（3），可得

基于式（27），式（3）的系數(shù)矩陣行列式表示為

當(dāng)行列式（28）的值為正時，式（3）對應(yīng)的解收斂到0，船舶運動處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)行列式（28）的值為負(fù)時，式（3）對應(yīng)的解呈發(fā)散狀態(tài)，船舶發(fā)生參數(shù)共振現(xiàn)象?？赏ㄟ^無限行列式的零解確定上述兩種狀態(tài)的過渡曲線，如圖2 所示，其中c 表示阻尼系數(shù)。

圖2 參數(shù)橫搖穩(wěn)定圖譜Fig.2 Stability chart of parametric rolling

利用過渡曲線來標(biāo)定船舶不穩(wěn)定參數(shù)圖譜中的穩(wěn)定區(qū)S 和不穩(wěn)定區(qū)U。顯然，隨著阻尼系數(shù)的增大，參數(shù)圖譜中的不穩(wěn)定區(qū)間減小。同時，觀察圖2 可知，對于不同的穩(wěn)定區(qū)間，增大阻尼系數(shù)c 對過渡曲線極小值的影響尤為顯著。

2 船舶橫搖運動響應(yīng)分析

船舶在海上航行時，遭遇的海況復(fù)雜多變。當(dāng)海浪波高小、周期短時，船舶響應(yīng)較??；當(dāng)波高大、周期長時，船舶響應(yīng)增強，從而引發(fā)參數(shù)橫搖現(xiàn)象。本文將基于表1 中某船舶的尺寸參數(shù)進(jìn)行運動學(xué)特性分析。

表1 某船舶尺寸參數(shù)Tab.1 Parameters of the studied ship

根據(jù)1.2 節(jié)中的解析解，通過改變r 的取值，研究船舶橫搖運動響應(yīng)。當(dāng)r=0 時，式（3）為常系數(shù)線性齊次微分方程，對應(yīng)解為正弦信號?；诮o定算例，圖3 為r=0 時船舶的橫搖運動狀態(tài)圖。圖3（a）給出分別由通解與所求解析解兩種方法得到的船舶橫搖運動時歷圖；圖3（b）表示對應(yīng)相圖，呈橢圓狀。觀察波形，此時船舶橫搖角表現(xiàn)為正弦波，沒有引起較大橫搖運動，可判斷船舶處于穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)r=0.1 時，船舶橫搖運動時歷記錄如圖4（a）所示，在給定時間段0～500 s 內(nèi)，船舶橫搖角幅度逐漸增大；圖4（b）中相平面軌跡以螺旋線的形式呈現(xiàn)發(fā)散狀態(tài)。

圖3 r=0 船舶橫搖運動狀態(tài)圖Fig.3 Ship roll motion chart of r=0 state

圖4 r=1 橫搖運動狀態(tài)圖Fig.4 Ship roll motion chart of r=1 state

根據(jù)以上分析，增大小參數(shù)r 的值，會改變船舶橫搖角的運動趨勢。

為驗證本文所給解析解的有效性，在船舶不穩(wěn)定圖譜中選取特殊點驗證其穩(wěn)定性，二點分別 為A（0.45，0.4），B（0.25，0.2）。據(jù) 圖5可知，A 點位于穩(wěn)定區(qū)，B 點則位于不穩(wěn)定區(qū)。

圖5 A、B 兩點的位置分布Fig.5 Distribution of A point and B point

首先對A 點對應(yīng)參數(shù)下船舶的橫搖運動狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測，取r=0.1。圖6 為船舶橫搖運動狀態(tài)圖，圖6（a）表示橫搖角在0～500 s 內(nèi)的時歷記錄，角幅度控制在0.1 rad 內(nèi)；圖6（b）呈現(xiàn)出一種概周期運動形式?？膳袛嘣摖顟B(tài)下的船舶處于穩(wěn)定狀態(tài)，分析結(jié)果與船舶不穩(wěn)定參數(shù)圖譜中的狀態(tài)一致。

保持r=0.1 不變，B 點對應(yīng)參數(shù)下船舶的橫搖運動狀態(tài)圖如圖7 所示。顯然，橫搖角隨時間迅速增大，同時相平面以螺旋線的形式呈現(xiàn)發(fā)散狀態(tài)，此時船舶已發(fā)生參數(shù)共振現(xiàn)象。

由以上分析可知，解析解所給出的橫搖運動狀態(tài)與船舶不穩(wěn)定參數(shù)圖譜的預(yù)測結(jié)果一致。

根據(jù)圖2 可知，增大阻尼可抑制船舶不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生，因此基于圖6 與圖7 中參數(shù)，增大阻尼項c 的值，利用解析解分析阻尼對船舶橫搖運動的影響。

圖6 r=0.1,c=0 船舶橫搖運動狀態(tài)圖Fig.6 Ship roll motion chart of r=0.1,c=0 state

圖7 r=0.1,c=0 船舶橫搖運動狀態(tài)圖Fig.7 Ship roll motion chart of r=0.1,c=0 state

圖8 對應(yīng)圖6 中的船舶運動狀態(tài)參數(shù)，設(shè)定阻尼系數(shù)c=0.01 。對比圖6 船舶橫搖時歷記錄可知，橫搖角隨時間的增加逐漸減小，相圖中的螺旋線在一定范圍內(nèi)呈現(xiàn)收斂狀態(tài)；圖9 對應(yīng)圖7中的船舶參數(shù)，設(shè)定阻尼系數(shù)c=0.01。顯然，阻尼系數(shù)的增大減小了船舶的不穩(wěn)定程度，但此刻仍處于不穩(wěn)定中；繼續(xù)增大阻尼系數(shù)，當(dāng)c=0.5 時，觀察圖10 發(fā)現(xiàn)，船舶橫搖角由0.856 9 rad 逐漸減小，此時可認(rèn)為船舶恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)?；谝陨蠈Ρ葘嶒?，進(jìn)一步說明阻尼對參數(shù)共振的發(fā)生與否以及參數(shù)橫搖共振現(xiàn)象發(fā)生后恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)的程度均有重要影響。

圖8 r=0.1,c=0.01 船舶橫搖運動狀態(tài)圖Fig.8 Ship roll motion chart of r=0.1,c=0.01 state

圖10 r=0.1,c=0.5 船舶橫搖狀態(tài)圖Fig.10 Ship roll motion chart of r=0.1,c=0.5 state

綜上所述，本文所求解析解可以合理地解釋船舶運動行為，能夠應(yīng)用于船舶運動狀態(tài)的實況分析中。

3 結(jié)論

本文通過分析船舶結(jié)構(gòu)建立橫搖運動微分方程，采用多尺度方法求解其解析解。利用Hill 行列式繪制船舶不穩(wěn)定參數(shù)圖譜，分析不同阻尼下對船舶橫搖運動狀態(tài)的影響?；趯嶋H船舶結(jié)構(gòu)參數(shù)，改變解析解中小參數(shù)r 的取值進(jìn)而判斷船舶的運動狀態(tài)，并預(yù)測船舶不穩(wěn)定參數(shù)圖譜中給定點的運動狀態(tài)，進(jìn)而判斷解析解的有效性。同時，為了減小船舶發(fā)生參數(shù)橫搖的可能性，本文基于解析解考慮了不同阻尼對船舶不穩(wěn)定狀態(tài)的影響程度。主要結(jié)論如下：

（1）基于文中所得解析解，船舶參數(shù)橫搖的發(fā)生隨小參數(shù)r 的增大而增大，同時相平面會由橢圓狀變?yōu)槁菪€，并逐漸呈發(fā)散狀態(tài)；

（2）阻尼越大，船舶不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生的可能越小。阻尼對參數(shù)橫搖的發(fā)生與否以及參數(shù)橫搖現(xiàn)象發(fā)生后恢復(fù)至穩(wěn)定狀態(tài)的程度均有重要影響。

本文得到的解析解可作為分析船舶運動狀態(tài)的有效手段，并能對橫搖運動進(jìn)行預(yù)測。