蘇 志 勇張 飛 羽

（1.蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 蘭州 730000；2.河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 張掖 734000）

在微積分學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)定理的理解程度，對(duì)知識(shí)的運(yùn)用能力，體現(xiàn)在具體的解題過(guò)程中.培養(yǎng)學(xué)生具有正確得當(dāng)?shù)慕忸}思路，是教學(xué)過(guò)程中的重要一環(huán)，是對(duì)目標(biāo)教學(xué)與結(jié)構(gòu)教學(xué)是否有機(jī)結(jié)合的一種檢驗(yàn).這里所要談的“化”，是數(shù)學(xué)中的一種分析和解決問(wèn)題的重要方法.在此，如果我們把已知的事實(shí)、假設(shè)、定理、公式稱之為“標(biāo)準(zhǔn)型”，把待論證或計(jì)算的問(wèn)題稱之為“非標(biāo)準(zhǔn)型”，那么貫穿整個(gè)微積分學(xué)的思想之一，就是化非標(biāo)準(zhǔn)型為標(biāo)準(zhǔn)型來(lái)解決問(wèn)題（這也是其它數(shù)學(xué)學(xué)科常用的方法）.課程教學(xué)中常用的方法有兩類，一是恒等變形，在這里也僅僅是分項(xiàng)組合、加減或乘除同一數(shù)（式）；另一個(gè)就是變量替換.這里的變量替換手段包括RMI原則，即關(guān)系映射反演原則，其含義是：假設(shè)我們遇到的問(wèn)題為原像關(guān)系結(jié)構(gòu)R，R中原像目標(biāo)為Z，并且R在中難以解決，為此我們尋找一種可定映射?，將問(wèn)題R轉(zhuǎn)化成R?，R?中映像目標(biāo)為Z?，并且能夠通過(guò)確定的數(shù)學(xué)方法解出Z?，然后再通過(guò)反演?-1，將原像求解出來(lái).基于此，文中精選了較為充分的例題，除了體現(xiàn)函數(shù)的分析性質(zhì)之間轉(zhuǎn)化具體形式（恒等變形和變量替換）外，還考慮了建構(gòu)模式轉(zhuǎn)化問(wèn)題（譬如：微積分學(xué)中理論構(gòu)造性的證明，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，等等）.同時(shí)，所選的典型例題都能體現(xiàn)化歸思想在分析中的應(yīng)用.

1 極限理論中的化

這方面的問(wèn)題有兩類，一是直接論證或計(jì)算極限A，另一類是給定極限A，求極限B.前者所用依據(jù)有：極限的定義、兩個(gè)重要極限、等價(jià)無(wú)窮小、夾擠定理、單調(diào)有界原理、柯西收斂準(zhǔn)則、洛必達(dá)法則等等.當(dāng)然，微積分幾乎所有的概念和定義都是由極限定義的，它們反過(guò)來(lái)也可用于極限討論；對(duì)后者，一般方法是：將B或B的部分形式化成A（或A的拓展形式）來(lái)求解.與此相反的作法就是利用f(x)=A?f(x)=A+α,將其代入極限B中討論.當(dāng)然，對(duì)上述兩類問(wèn)題，變量替換法也常?；蝻@或隱地在使用.

1.1 直接論證

提示 通過(guò)有理化方法，把其中的極限為零的因子n4+1-n4化去，使之變?yōu)槌Ｒ?jiàn)的形式.

1.2 已知極限A,求極限B

方法2

2 利用函數(shù)構(gòu)造進(jìn)行轉(zhuǎn)化

在函數(shù)的連續(xù)性理論和可微理論中，函數(shù)構(gòu)造法比較普遍.例如，用零點(diǎn)定理證明介值定理，以及用洛爾定理證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理等.

例4f(x)∈C[a,b],f(a)b??ξ∈(a,b) ,f(ξ)=ξ.

提示 令g(x)=f(x)-x?g(a)?g(b)<0.

3 利用互逆關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化

常用的互逆關(guān)系有：函數(shù)與反函數(shù)、微分與不定積分、方程（組）與其決定的隱函數(shù)（組）、函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)與求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)等.例如，等式兩邊取對(duì)數(shù)法；利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與不定積分計(jì)算其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與不定積分，如

隱函數(shù)存在定理在求曲線的切線方程、曲面的切平面方程、化條件極值為無(wú)條件極值等方面扮演著重要角色，如拉格朗日數(shù)乘法公式的建立.

例8 求曲面x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)在點(diǎn)M處的法向量.

4 利用一些“橋梁”性定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化

（1）利用海因定理，將數(shù)列極限的理論用于一般函數(shù)，反之亦然，如洛必達(dá)法則用于數(shù)列極限的計(jì)算；

（2）利用微分中值定理及泰勒公式，將函數(shù)的性質(zhì)及特征轉(zhuǎn)化成其導(dǎo)數(shù)或高階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，反過(guò)來(lái)研究函數(shù)，如函數(shù)的單調(diào)性、凸性、極值、切線斜率、曲率、近似計(jì)算、零點(diǎn)個(gè)數(shù)估計(jì)等；

（3）利用積分理論中的格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，進(jìn)行不同類型積分之間的轉(zhuǎn)化；

（4）利用對(duì)無(wú)窮區(qū)間的分化，進(jìn)行級(jí)數(shù)與廣義積分之間的轉(zhuǎn)化，如

5 利用函數(shù)的局部屬性與整體屬性進(jìn)行轉(zhuǎn)化

有限覆蓋定理和區(qū)間套定理就是局部性質(zhì)與整體性質(zhì)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化的橋梁，如用有限覆蓋定理證明連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有界，以及用區(qū)間套定理證明零點(diǎn)定理.有時(shí)在鄰域內(nèi)選取小閉區(qū)間也可達(dá)到此目的，如冪級(jí)數(shù)分析性質(zhì)的論證.另外，最值點(diǎn)即有整體屬性又有局部屬性，所以它在一些問(wèn)題的論述中扮演著重要角色，如洛爾定理的證明，一些不等式的證明等.

6 利用常量與變量的辯證關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化

將常量關(guān)系轉(zhuǎn)化成變量關(guān)系，這一方法在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和、一些橢圓積分的計(jì)算、柯西-施瓦茲不等式的證明等問(wèn)題中比較常見(jiàn)（如例5）.反之，在局部視變量為常量，以及利用累次法、折線法、固定變量法進(jìn)行一元函數(shù)與多元函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，就是將變量關(guān)系轉(zhuǎn)化成常量關(guān)系很好的例子.

提示 這是關(guān)于定點(diǎn)(x0,y0)與其附近點(diǎn)(x0+h,y0+k)的局部問(wèn)題，在兩點(diǎn)連線上構(gòu)造一元函數(shù)?(t)=f(x0+ht,y0+kt)，給出其馬克勞林展式后代入

例12 設(shè)f(x),g(x)∈R[ ]

a,b，證明施瓦茲不等式

7 利用極限將無(wú)限（界）形式轉(zhuǎn)化成有限（界）形式

一般在“有限”情況下，許多性質(zhì)、運(yùn)算都成立，如四則運(yùn)算、兩種運(yùn)算次序的交換等.而微積分的主要內(nèi)容都體現(xiàn)“無(wú)限”，為此，我們常常化“無(wú)限”為“有限”加極限，如無(wú)窮級(jí)數(shù)與廣義積分分析性質(zhì)的論證.另外，值得一提的是，有限覆蓋定理的應(yīng)用，它利用命題中每一點(diǎn)的局部性質(zhì)構(gòu)造出開鄰域簇，再將“無(wú)限”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“有限”問(wèn)題來(lái)處理，如利用有限覆蓋定理證明連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有界.

提示 兩種積分次序的交換可在區(qū)間有限的情況下進(jìn)行.?A>a，考慮

再利用一致收斂性即可.