衣撫生

（河北經貿大學 發(fā)票博物館，河北 石家莊 050061）

一、問題的提出

出土算術文獻，是目前學界研究的熱點之一。數字殘缺問題，是出土算術類文獻整理中的常見問題，對出土算術文獻的研究造成了較大的困擾，亟需解決。目前來說，其解決方法主要有：通過紅外線掃描，獲得更為清晰的圖像；結合殘余筆畫，進行字形分析；采用簡單的整數或分數運算，進行推測。本文介紹兩種在特定情況下簡單有效的新方法，即窮舉法、特性分析法。窮舉法，即將取值范圍內所有的可選項逐一驗證，直到驗證完畢。這種方法的要求是：可選項必須是有限的。它在分母完整、分子缺失的情況下，簡單有效，通常可以極大地縮小范圍，甚至是直接得出正確答案。特性分析法，是根據算題的特性，靈活地采取相應的解法。為了簡便起見，本文介紹的是一類特殊的特性分析法——乘數因子包含大素數的特性分析法。

本文以《算數書》“大廣”算題為例，來介紹這兩種方法。當然，筆者關注的不是“大廣”算題本身，而只是將其作為介紹窮舉法和特性分析法的一個例子。“大廣”算題的內容如下：

大廣廣七步卌九分步之□□□□□□□□□□□□□□□□□為□六十四步有（又）三百卌三分步之二百七十三。大廣術曰：直（置）廣從（縱）而各以其分母乘其上全步，令分子從之，令相乘也為實，有（又）各令分母相乘為法，如法得一步，不盈步以法命之。[1]（156）

該算題殘缺數字較多，其復原工作也就成了非常有趣的智力游戲。郭書春[2]（217-218）、郭世榮[3]（284）、王元鈞[4]等先生都對該算題有過研究，不過他們的研究均修改了已知條件。要知道，已知條件是我們進行推論的基礎，這個基礎如果不存在，可以進行隨意修改，那么本算題就根本無法進行校正。因此，我們堅持不改動已知條件，對這些研究也就置而不論。紀志剛先生的觀點值得引起重視——他是第一個嘗試用窮舉法來解決該問題的學者。紀先生通過計算機程序，得到11種可能性，經過排除，留下兩種組合，分別是：

廣七步四十九分步之七，從九步十四分步之一。問為田幾何。得曰：為田六十四步又三百四十三分步之二百七十三。

廣七步四十九分步之卌二，從八步╪七分步之十九。問為田幾何。得曰：為田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。[5]（233）

紀先生通過計算機尋找各種可能性，嘗試了很多種情況，其結論具有較強的說服力，但是不完全準確，論證過程也存在缺憾：

第一，紀先生的排除方法有錯誤。紀先生計算出來的“從”全部都是最簡分數，沒有注意到“從”可以不是最簡分數。以紀先生的計算結果來說，兩種組合的“廣”都不是最簡分數，他卻要求“從”必須是最簡分數，并據此進行排除。這是難以說服人的。比如，被排除了，理由是分母3不是7的倍數。其實，我們完全可以把該分數變成非最簡分數8—，這樣就可以滿足條件了。

第二，紀先生假定B2的值為“1-343之間”。這個假定是不合理的，B2為什么就不能大于343？B2完全可以大于343，經過約分后，讓結果的分母變成343。當然，紀先生這么做是有苦衷的：倘若不限制B2的大小，那么這道算題就需要嘗試無數種可能性，也就無從計算了。因此，紀先生只能人為設定一個最大值，從而將無數種可能性變?yōu)橛邢薹N可能性。這恰恰說明紀先生的算法有問題，存在較大的局限性，無法做根本上的解決。

第三，紀先生的計算過程太繁瑣。嘗試的排列組合達到（1+2+3+……+342）×48×2＝5,630,688種之多?。ㄓ嬎惴椒椋航M合需要嘗試的次數×A需要嘗試的次數×B需要嘗試的次數）。而且，這種方法雖然給出了答案，但是沒有嚴密的計算方法，也看不到計算過程，這不能不說是一個遺憾。

總之，紀先生的計算方法不是很完美，存在這樣或那樣的問題，卻是很有價值的，原因在于，這種計算方法實際上已經具備了窮舉法的雛形，值得重視。

在正式介紹窮舉法和特性分析法之前，我們首先討論這道題目的兩個限制條件。限制條件1：我們可以根據缺失的字數，大體推斷出A、B1、B2所占的字數。按照《算數書》和秦漢數學材料的表述規(guī)范，我們可以給“大廣”算題補充一些文字（用加黑字體標識）：“大廣廣七步卌九分步之□□從八（或“九”）步□□分步之□問為田幾何。曰：為田六十四步有（又）三百卌三分步之二百七十三?！逼渲?，“問”字可以省略，《算數書》公布答案的句式有“曰”和“得曰”兩種，也就是說，A、B1、B2的字數加起來是4（“得曰”）到6（省略“問”字）個字之間。限制條件2：我們注意到，計算結果343可以化為49×7，而被乘數的分母是49，這表明7這個因子應該來自B2。如果上述8組數據的B2不能整除7，需要將B1、B2都乘以7。

二、窮舉法

下面，我們來介紹前文所提到的窮舉法。窮舉法是最簡單、最直觀的方法，我們不需要像紀先生那樣同時考慮A、B、B1、B2的值，把簡單問題復雜化。實際上，我們只需要根據1≦A≦48這一限制條件，嘗試A的48種可能性（從1到48），就可以根據，算出相應的B、B1、B2的值——我們將所得結果化為帶整數的分數，整數部分即為B，分數部分的最簡形式，其分母即為B2，分子即為B1（當然，我們可以根據需要進行調整，使之成為非最簡形式）。例如，我們可以嘗試A為3的情況，，因此，B＝9，B2＝346，B1＝61。以此類推，只需要嘗試48次，就可以得到所有的結果。由于這個結果較為繁瑣，而且容易獲得，這里就不詳細論述了。

（1）廣七步卌九分步之七，從九步十四分步之一。問為田幾何。得曰：為田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。

（2）廣七步卌九分步之卅二，從八步百五分步之卌九。為田幾何。曰：為田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。

（3）廣七步卌九分步之卅八，從八步廿一分步之七。問為田幾何。曰：為田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。

（4）廣七步卌九分步之卌二，從八步╪七分步之十九。為田幾何。曰：為田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。

通過這道算題，我們可以看出：窮舉法有可能會成為解決這一類問題的通用方法——如果一個分數的分母是完整的，分子有殘缺，就可能將分子的取值限定在一個較小的范圍內，配合以其他限制條件，或許會很容易得到幾組最優(yōu)解。退一步講，就算分母也殘缺，只要沒有完全殘缺，還是可以用枚舉法。比如，如果本算題被乘數的分母“49”殘缺了一個數字，我們就完全可以假定該數字為從0～9的數字，進行帶入計算。其計算步驟依然是有限的，并且涵蓋了所有的可能性。因此，在分母齊全或者部分殘缺并知道殘缺的位數的情況下，窮舉法是具有較大價值的推導方法。

三、特性分析法

特性分析法是指先尋找該算題的特性，再根據這些特性，盡量縮減可能性和計算范圍。如前所述，本算題采取的實際上是乘數因子包含大素數的特性分析法（主要體現在下文的“性質3”中）。我們將等式化為假分數的形式，可以得到方程。采用特性分析法的計算過程如下：

性質2：限制條件2可表述為B2=7m（m是正整數）。在計算的過程中，m被當成公因子消去了，所以沒有顯示在結果的分母值343中。

性質3：我們發(fā)現結果的分子里有一個大素數127，這可以為我們的計算提供很大的方便。通過分析方程1可知，343+A和B×B2+B1這兩者之中，至少有一個能整除127，因此本題可以化解為兩個部分：343+A能整除127；B×B2+B1能整除127。所有的可能解均在這其中。

（一）343＋A能整除127

由于1≦A≦48，343+A的取值范圍是[343，391]，其中能被127整除的只有381，此時A=38。由可知，？的最簡分數形式是，參考性質2可知，該分數應變成。

（二）B×B2＋B1能整除127

即：B×7m+B1=127d，其中m、d均為正整數，0＜B1＜7m，B=8或9。我們可以分成如下兩種情況進行討論：

1.B=9，即9×7m+B1=127d，變形得：B1=127d-9×7m。由于0＜B1＜7m，可得：0＜127d-9×7m＜7m，變形可得：，即1.81d＜m＜2.02d，m=2d。將其代入方程，可得：B1=127d-9×7m=127d-9×7×2d=d。因此，乘數是，被乘數是。

2.B=8，即：8×7m+B1=127d（方程2）變形得：B1=127d-8×7m。由于0＜B1＜7m，可得，即2.02d＜m＜2.27d，只有當的整數部分不一樣時，整數m才可能存在。由此可知，d≧4。當d≧7時，B2將是三位數，字數超出限制，不符合要求。因此，d的值只能取4、5、6、7之一。其中存在兩個可能解，即：。

至此，我們就會得到該算題的全部四種可能解，即：如果343+A能整除127，那么對應的解為：，如果B×B2+B1能整除127，且B=9，那么對應的解為：，如果B×B2+B1能整除127，且B=8，那么對應的解是：。相關的文字已經在上文表述過了，這里不再贅述。

四、結語

可以看到，上述兩種計算方法適用的情況不一樣：在分母完整（或者是部分殘缺，且明確知道殘缺了多少位）、分子殘缺的情況下，窮舉法較為簡單有效，只需要將分子按照從1到分母減1的順序，逐個帶入即可；而在數字存在某些特性，尤其是存在大素數乘數因子的情況下，特性分析法較為簡單有效。在明確等式兩邊都有該大素數因子的前提下，通過查找該大素數因子所在的位置，可以將計算簡化為幾種情況，也就是說，這兩種方法都是針對特定情況的有效方法。數學是出土算術類文獻的核心要素，應提高數學運算在出土算術類文獻整理和研究中的比例。