艾智勇，趙勇智，劉文杰

（1.同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué)巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092）

樁基礎(chǔ)因其優(yōu)良的承載特性，在軟土地區(qū)得到了廣泛的應(yīng)用。目前，對(duì)于飽和地基與豎向受荷單樁的相互作用，已經(jīng)取得了豐碩的成果，如文獻(xiàn)［1-3］等。而對(duì)于軟黏土，其固有的流變性質(zhì)比較突出，地基的蠕變階段較長(zhǎng)，因此有必要考慮土體的流變特性來進(jìn)行樁-土共同作用分析。王建華等［4］基于Merchant黏彈性模型，使用積分方程法得到了垂直受荷單樁與層狀黏彈性地基的共同作用解答。吳文兵等［5］以廣義Voigt模型來模擬土體的流變特性，研究了層狀黏彈性地基中單樁變形的時(shí)間效應(yīng)。Feng等［6］通過修正的Burgers模型，對(duì)多層黏彈性介質(zhì)中的豎向受荷單樁進(jìn)行了研究。Ai等［7］對(duì)橫觀各向同性黏彈性飽和土中軸向受荷樁的時(shí)變行為進(jìn)行了研究。這些研究多采用Kelvin模型、Merchant模型等傳統(tǒng)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型來表征地基的流變特性。然而，在某些情況下，特別是在蠕變或松弛的初始階段，模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不能很好地吻合［8］。有關(guān)研究［9-10］表明，基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的本構(gòu)模型可以更好地與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合，并且可以更好地模擬材料的黏彈性。為此，Ai等［11］根據(jù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Merchant模型，采用精細(xì)積分法求得了多層橫觀各向同性黏彈性地基的固結(jié)解答，并證明了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型在模擬軟黏土流變行為上的優(yōu)勢(shì)。

本文旨在引入分?jǐn)?shù)階Merchant模型，采用邊界元與有限元耦合的方法，探討分?jǐn)?shù)階黏彈性模型在飽和軟土地基與單樁相互作用分析中的應(yīng)用。

1 分?jǐn)?shù)階黏彈性地基的邊界元解

1.1 分?jǐn)?shù)階黏彈性模型

根據(jù)Ai等［12］的研究，相比于Maxwell模型和Kelvin模型，Merchant模型更能體現(xiàn)軟土的流變性質(zhì)，因此選取分?jǐn)?shù)階的Merchant模型來描述地基的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。傳統(tǒng)整數(shù)階和改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階Merchant模型分別如圖1a、1b所示，其中η和η1表示黏滯系數(shù)。二者均含有彈性模量分別為E0和E1的胡克彈性體H0和H1；不同的是，分?jǐn)?shù)階模型用Abel粘壺［13］代替了傳統(tǒng)的牛頓粘壺。

圖1 黏彈性本構(gòu)模型示意圖Fig.1 Sketch of viscoelastic constitutive model

對(duì)于傳統(tǒng)Merchant模型，其的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

式中：σ′s為有效應(yīng)力；ε為應(yīng)變；t為時(shí)間。

傳統(tǒng)的牛頓粘壺滿足牛頓摩擦定律，即σ′s(t)～d1ε(t)/dt1，它表示應(yīng)力與應(yīng)變對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)成正比。當(dāng)用Abel粘壺替代傳統(tǒng)的牛頓粘壺后，分?jǐn)?shù)階Merchant模型的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可表示為

式中：dαdtα為對(duì)時(shí)間t階次為α(0＜α≤1)的導(dǎo)數(shù)。

對(duì)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，這里采取Riemann-Liouville的定義［14］。在區(qū)間(0，T)上，函數(shù)g(t)的α次微分為

式中：Γ(x)為Gamma函數(shù)，它的定義為

為簡(jiǎn)化推導(dǎo)，引入Laplace-Hankel變換和逆變換［15］

對(duì)式（2）進(jìn)行Laplace-Hankel變換，并結(jié)合分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，即式（3）-（5），可以推導(dǎo)得到

1.2 地基中任意點(diǎn)廣義應(yīng)力和位移的邊界元解

根據(jù)彈性-黏彈性對(duì)應(yīng)原理［16］，用式（8）獲得的柔度系數(shù)代替相關(guān)的彈性參數(shù)，可獲得橫觀各向同性分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和軟土地基的解［11］，即地基中任意α點(diǎn)受n向單位荷載時(shí)引起的s時(shí)刻β點(diǎn)m方向上地 基 位 移(α，β，s)及 超 孔 壓(α，β，s)(m=r，z；n=z)，它們也是積分變換域內(nèi)的地基柔度系數(shù)。

如圖2所示將地基劃分為N個(gè)層元，將樁劃分為i+1個(gè)樁單元。其中，樁嵌入的土層部分劃分與樁單元一致。按照邊界元法的理論，把獲得的地基柔度系數(shù)(α，β，s)及(α，β，s)作為邊界元法的核函數(shù)，則對(duì)任意厚度為L(zhǎng)的地基區(qū)域，在樁土邊界面上沿深度方向積分，可得該區(qū)域內(nèi)荷載作用下地基任意一點(diǎn)的位移和孔壓。

圖2 地基與單樁模型示意圖Fig.2 Sketch of the model of the foundation and the single pile

式（9）、式（10）即為邊界元法中的邊界積分方程，也是地基內(nèi)部沿深度方向受荷的邊界元解答。

2 軸向受荷單樁的有限元解

采用2節(jié)點(diǎn)軸力桿單元模擬軸向受荷單樁，2節(jié)點(diǎn)軸力桿單元的剛度矩陣為

式中：Ep和Ap分別為樁的彈性模量和橫截面積；l為桿單元長(zhǎng)度。

根據(jù)有限元原理，可得以下有限元求解方程：

3 邊界元與有限元的耦合求解

圖2為多層橫觀各向同性黏彈性飽和地基與其中嵌入的由2節(jié)點(diǎn)單元所組成的單樁。地基劃分為N個(gè)層元，單樁劃分為i+1個(gè)單元，且樁嵌入的土層部分劃分與樁單元一致。E0、E1、η和α為分?jǐn)?shù)階Merchant模型參數(shù)；νh為水平向應(yīng)力引起的正交水平向應(yīng)變的泊松比；νvh為豎直向應(yīng)力引起的水平向應(yīng)變的泊松比。

總的等效節(jié)點(diǎn)力矩陣p由外部載荷引起的等效節(jié)點(diǎn)力和樁與地基之間的相互作用力引起的等效節(jié)點(diǎn)力兩部分組成，因此式（12）可以寫成如下形式：

式中：U(t)即節(jié)點(diǎn)位移矩陣a，它表示其是隨時(shí)間變化的；F(t)和Q(t)分別是由外部荷載和樁-土相互作用力（側(cè)摩阻力和端阻力）引起的等效節(jié)點(diǎn)力。

如圖2，在樁-土界面處，土內(nèi)表面單元與樁單元對(duì)應(yīng)，則邊界單元節(jié)點(diǎn)與樁單元節(jié)點(diǎn)重合。設(shè)任意時(shí)刻邊界某一單元內(nèi)的任意一點(diǎn)的荷載與該單元2個(gè)節(jié)點(diǎn)上的邊界力具有插值關(guān)系，即

式中：N=[N1，N2]；P ne(t)為由地基內(nèi)表面單元e的2個(gè)節(jié)點(diǎn)上的n向邊界力所構(gòu)成的向量。

將積分區(qū)段L e取為邊界單元長(zhǎng)度，對(duì)式（14）進(jìn)行Laplace-Hankel變換后代入式（9）和式（10）可得

式中：?(L e，β，s)和?(L e，β，s)分別表示L e段的所有荷載引起的β點(diǎn)的m向位移和超孔壓。

對(duì)所有單元進(jìn)行累加，可以得到由整個(gè)樁身范圍的作用力引起的β點(diǎn)的位移及超孔壓，為

式中：L為整個(gè)樁身樁長(zhǎng)；i+1為總的單元數(shù)。

將β點(diǎn)依次取作單元節(jié)點(diǎn)，可以得到一系列關(guān)系式。在此基礎(chǔ)上，它們統(tǒng)一用矩陣方程表示為

式中：?(s)、?(s)和?(s)分別是由所有節(jié)點(diǎn)位移、超孔壓和邊界力所構(gòu)成的總向量；?和?是由式（17）和式（18）構(gòu)建的總?cè)岫染仃嚒?/p>

對(duì)于樁單元而言，根據(jù)有限元理論，地基反力引起的等效節(jié)點(diǎn)力向量為

將式（14）代入式（21），可以得到

對(duì)式（22）進(jìn)行Laplace-Hankel變換，然后將2個(gè)方向的力向量合并到一起，并組裝所有的樁單元，可以得到總的關(guān)系式，為

結(jié)合式（19）與式（23），可以得到

因樁-土單元?jiǎng)澐质且恢碌模蓸?土界面處的位移連續(xù)條件可知

對(duì)式（13）進(jìn)行Laplace-Hankel變換，并將式（24）、式（25）代入，可以得到外力與單元節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，即

式中：?(s)為單樁所受外力荷載向量。

將求得的?(s)代入式（19）可得對(duì)應(yīng)的邊界力，再代入式（20）便得到對(duì)應(yīng)時(shí)刻樁周土中的超孔壓，而這些量的真實(shí)值可通過Laplace-Hankel逆變換得到。

4 數(shù)值計(jì)算與分析

因目前未見有分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和地基與單樁共同作用的文獻(xiàn)，為驗(yàn)證本文理論的正確性，將本文理論退化為基于整數(shù)階Merchant模型的黏彈性飽和地基與單樁共同作用問題（分?jǐn)?shù)階次取1），并與王建華等［4］的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。對(duì)比算例為嵌入3層飽和黏彈性地基中的豎向受荷單樁，長(zhǎng)徑比L p/D=25，樁頂荷載為V。第3層土為半無限空間，黏彈性土體參數(shù)選取如表1。其中，hi為第i層土的厚度，ki為滲透系數(shù)，E0i表示第i層土的Merchant模型參數(shù)E0，E1i表示第i層土的參數(shù)E1。為便于分析，定義量綱一化時(shí)間因子，量 綱 一 化 位 移w*=，量綱一化軸力

表1 飽和黏彈性地基參數(shù)Tab.1 Parameters of saturated viscoelastic soils

單樁沿深度變化的軸力和豎向位移經(jīng)量綱一化處理分別繪于圖3和圖4。由圖可見，樁身軸力和豎向位移隨時(shí)間逐漸增大，但各土層對(duì)應(yīng)的樁段上的軸力和豎向位移隨深度的減少程度不同，這體現(xiàn)了土層分布的成層性對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。另外，本文解答與文獻(xiàn)［4］吻合較好，這就驗(yàn)證了本文理論和數(shù)值計(jì)算方法的適用性。

圖3 黏彈性地基中樁身軸力Fig.3 Axial force along the pile in viscoelastic soils

圖4 黏彈性地基中樁身豎向位移Fig.4 Vertical displacement of the pile in viscoelas?tic soils

考慮到對(duì)樁身長(zhǎng)徑比、樁-土剛度比進(jìn)行分析的文獻(xiàn)已較為豐富，故本文僅針對(duì)性地探究Abel粘壺分?jǐn)?shù)階次α對(duì)地基-單樁相互作用的影響，并闡明其優(yōu)越性。算例設(shè)計(jì)如下：大小為V的軸向荷載作用在雙層黏彈性地基中的單樁頂部，樁的長(zhǎng)徑比，樁身模量為20GPa。雙層地基厚度分別為；地基滲透系數(shù)為k1=1×10?7m?s?1，k2=1×10?8m?s?1；泊 松 比v1=0.25，v2=0.35；其余黏彈性參數(shù)如表2所示，其中，下 標(biāo)i表 示 土 層 號(hào)，。為了便于分析，定義量綱一化參數(shù)如下：時(shí)間因子，位移

表2 黏彈性地基參數(shù)Tab.2 Parameters of viscoelastic soils

對(duì)于分?jǐn)?shù)階次如何取值，可照文獻(xiàn)［9-10］中的方法，即：針對(duì)實(shí)際工程不同區(qū)域及流變特性不同的軟土，獲取土樣進(jìn)行室內(nèi)試驗(yàn)，得到其應(yīng)力-應(yīng)變曲線；然后通過擬合方法選取合適的α值，以擬合其獨(dú)特的流變性，并使計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)情況進(jìn)一步吻合。對(duì)分?jǐn)?shù)階次的大概范圍而言，根據(jù)分級(jí)加載單面排水流變固結(jié)試驗(yàn)與滲透試驗(yàn)，2組蕭山軟土土樣分?jǐn)?shù)階次α分別為0.13和0.35［10，17］；為此，劉忠玉和楊強(qiáng)［10］在研究分?jǐn)?shù)階次對(duì)土體固結(jié)流變的影響時(shí)，分?jǐn)?shù)階次α分別取0.10、0.35、0.50和1.00。類似地，為研究分?jǐn)?shù)階次的影響，本文分別計(jì)算了α=0.1，0.6，1.0這3種情況下的樁身位移，并將不同τ時(shí)刻的位移曲線表示在圖5中。其中，τ=0.001表示初始時(shí)刻，τ=108和τ=1015分別表示了中間時(shí)刻和固結(jié)流變完成時(shí)刻。

圖5 不同分?jǐn)?shù)階次下樁身豎向位移Fig.5 Vertical displacement of the pile at different fractional orders

從圖5可知，在不同的分?jǐn)?shù)階次下，無論是樁身初始位移（實(shí)線），還是最終位移（點(diǎn)劃線）均相同，這說明分?jǐn)?shù)階次對(duì)樁身位移的初始值和最終值不產(chǎn)生影響；然而在中間時(shí)刻（虛線），隨著流變的進(jìn)行，不同分?jǐn)?shù)階次的樁身位移明顯不同；其中，分?jǐn)?shù)階次α=1.0對(duì)應(yīng)的樁身位移最大，而α=0.1對(duì)應(yīng)的樁身位移最小。這是因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階次越大，地基固結(jié)流變的速率越快，故樁身位移達(dá)到終態(tài)的時(shí)間也越短。

5 結(jié)語(yǔ)

為更好地描述軟土地基與單樁相互作用的時(shí)變行為，引入分?jǐn)?shù)階Merchant模型，以探討分?jǐn)?shù)階黏彈性模型在飽和橫觀各向同性地基與單樁相互作用分析中的應(yīng)用，然后通過數(shù)值算例驗(yàn)證其適用性，并對(duì)分?jǐn)?shù)階次的影響進(jìn)行了分析，得出了以下結(jié)論：

（1）分?jǐn)?shù)階次對(duì)樁身位移的初始值和最終值不產(chǎn)生影響。在相同的工況下，不同的分?jǐn)?shù)階次對(duì)應(yīng)的初始沉降和最終沉降都相同。

（2）分?jǐn)?shù)階次顯著影響著流變過程。分?jǐn)?shù)階次越大，地基固結(jié)流變的速率越快，故樁身位移達(dá)到終態(tài)的時(shí)間也越短。

本文所用分?jǐn)?shù)階黏彈性本構(gòu)模型雖能更好地?cái)M合土體的流變性質(zhì)，但樁周土仍處于彈性階段，并未考慮土體的塑性變形；另外，本文僅對(duì)單樁與土體的相互作用進(jìn)行了分析，將來可進(jìn)一步考慮樁-樁之間的相互作用，進(jìn)而對(duì)群樁基礎(chǔ)進(jìn)行研究。

作者貢獻(xiàn)聲明：

艾智勇：提出理論分析方法，建立樁土相互作用模型，指導(dǎo)理論求解及修改，指導(dǎo)后續(xù)分析工作，指導(dǎo)文章撰寫及修改工作。

趙勇智：參與理論求解及修改工作，參與算例設(shè)計(jì)及分析工作，參與完成文章初稿，進(jìn)行稿件修改。

劉文杰：引入分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型，參與理論求解工作，參與完成文章初稿。