摘要：在素質(zhì)教育背景下，有大量教育學(xué)者倡導(dǎo)使用“啟發(fā)式”教學(xué)模式。該模式使用的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)結(jié)構(gòu)具有較強(qiáng)的啟發(fā)意義，整個(gè)教學(xué)過程科學(xué)合理，形成一個(gè)有機(jī)整體。在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中科學(xué)運(yùn)用該模式，有利于促進(jìn)學(xué)生思維能力的全面提升。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);新課程;教學(xué)設(shè)計(jì)

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力非常重要，要求教師積極轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，摒棄傳統(tǒng)、落后的“灌輸式”教學(xué)模式，讓學(xué)生有更多的課堂參與感。許多學(xué)者也深入研究了新的課程標(biāo)準(zhǔn)，在此基礎(chǔ)上提出了大量的具有創(chuàng)新性的教學(xué)設(shè)計(jì)方案，但是很少有關(guān)于實(shí)際課堂教學(xué)的研究。基于這一研究現(xiàn)狀，文章重點(diǎn)探討了高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)過程，要求教師積極創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，鼓勵(lì)學(xué)生小組合作交流，并以高中數(shù)學(xué)必修5“正弦定理”為案例，給出了具體的教學(xué)設(shè)計(jì)方案。

一、 高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀

“正弦定理”較為復(fù)雜，知識(shí)點(diǎn)較為重要，因此該章節(jié)共計(jì)安排兩個(gè)教學(xué)課時(shí)。第一課時(shí)主要帶領(lǐng)高一學(xué)生重新回顧之前所學(xué)的三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，利用各類習(xí)題，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用。本堂課的主要教學(xué)目標(biāo)是引入“正弦定理”，并通過定理證明加強(qiáng)學(xué)生的記憶力?！罢叶ɡ怼奔壬婕芭f知識(shí)點(diǎn)，也對(duì)后面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有非常重要的作用。學(xué)生應(yīng)該利用“正弦定理”的學(xué)習(xí)培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，主動(dòng)在現(xiàn)實(shí)生活中靈活使用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，嘗試自主建立系統(tǒng)、全面的高中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)框架。

二、 教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出例題

應(yīng)用幻燈片展示課件，引出下列數(shù)學(xué)問題。

【例題】有一條寬為1km的河流，兩岸平行，近期，由于天氣惡劣，上游突發(fā)特大洪水，但碼頭A囤積了重要物資，還有若干名留守人員。為避免造成更大的經(jīng)濟(jì)損失和人員傷亡，要抓緊時(shí)間利用船把碼頭A的物資和人員轉(zhuǎn)運(yùn)到碼頭B或下游1km的碼頭C處。請按照要求制定合理的轉(zhuǎn)運(yùn)方案，具體如圖1所示。已知條件：在靜水中，船速為v1=5km/h，水流速度v2=3km/h。

設(shè)計(jì)意圖：主要是考慮到該問題的背景與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)，符合高中數(shù)學(xué)中“數(shù)學(xué)源于生活”的教學(xué)理念，能夠幫助差生建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心，拉近了數(shù)學(xué)和學(xué)生之間的距離。同時(shí)，該情景問題的解題思路與“正弦定理”密切相關(guān)，奠定了良好的定理學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。

師：請同學(xué)們利用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，聯(lián)系問題背景，思考如何制定最合理、成本最低的轉(zhuǎn)運(yùn)方案。（學(xué)生分組討論）

討論環(huán)節(jié)結(jié)束后，教師結(jié)合教學(xué)目標(biāo)，有針對(duì)性地篩選各小組討論的問題，最終總結(jié)為以下五個(gè)。

第一，船的終點(diǎn)應(yīng)該是B處，還是C處？

第二，船開往B和C的行駛時(shí)間分別是多少？

第三，船開往B和C的行駛速度分別是多少？

第四，船從A到B和從A到C的行駛距離分別是多少？

第五，為了確保船能夠沿直線到達(dá)B，C，船應(yīng)該往哪個(gè)方向開？

設(shè)計(jì)意圖：小組討論學(xué)習(xí)很好地克服了傳統(tǒng)教學(xué)模式的教學(xué)弊端，提高了學(xué)生的課堂參與度，學(xué)生相互交流，分別提出自己對(duì)問題的看法。當(dāng)學(xué)生討論陷入困境時(shí)，教師作出適當(dāng)?shù)闹甘?，討論結(jié)束后，再篩選問題，瞄準(zhǔn)問題研究方向，提高教學(xué)效率。

師：請大家思考如何高效解決上述五個(gè)數(shù)學(xué)問題，并闡述這些問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)。（學(xué)生分組討論）

此時(shí)學(xué)生的討論熱情較為高昂，教師應(yīng)深入課堂，和班級(jí)學(xué)生一同分析問題，嘗試從學(xué)生的角度引出問題：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另外的對(duì)角和第三邊。

設(shè)計(jì)意圖：把實(shí)際問題靈活轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生自主分析并解決問題，逐步形成問題轉(zhuǎn)化思維，通過建立模型把復(fù)雜問題簡單化。

（二）探尋特例，提出猜想

回顧直角三角形中的邊角關(guān)系：

sinA=a/c，sinB=b/c，sinC=1=c/c

師生活動(dòng)：與班級(jí)學(xué)生交流，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)并總結(jié)規(guī)律，更加深入地理解直角三角形中的邊角關(guān)系，把握問題本質(zhì)。在直角三角形中，c邊相同，利用這一特點(diǎn)進(jìn)一步統(tǒng)一形式，最后發(fā)現(xiàn)，在直角三角形中a/sinA=b/sinB=c/sinC。

師：這個(gè)結(jié)論是否應(yīng)用于任意三角形呢？（學(xué)生思考交流）

有的學(xué)生開始皺眉，陷入深思，教師可以先拋出一個(gè)個(gè)例驗(yàn)證，把兩個(gè)全等的30°，60°的直角三角形拼在一起，驗(yàn)證該定理（如圖2）。

提出猜想：有學(xué)生舉手，認(rèn)為無論三角形是什么形狀，該結(jié)論都適用。

設(shè)計(jì)意圖：教師先利用直角三角形這一特殊三角形為教學(xué)切入點(diǎn)，再由特殊到一般，最后總結(jié)出具有普適性的“正弦定理”。類似的啟發(fā)式教學(xué)模式符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

（三）歸納推理，證明猜想

互聯(lián)網(wǎng)信息技術(shù)的應(yīng)用豐富了課堂，提高教學(xué)效率。在猜想驗(yàn)證環(huán)節(jié)，教師統(tǒng)一在多媒體上播放課件，由教師演示，學(xué)生仔細(xì)觀察并加以思考。教師在課件上任意改變?nèi)切蔚男螤?，?jì)算機(jī)自動(dòng)計(jì)算三角形各邊與角正弦值的比。

設(shè)計(jì)意圖：多媒體信息技術(shù)客觀驗(yàn)證“正弦定理”，鞏固學(xué)生對(duì)該定理的認(rèn)識(shí)。

師：以上考察都相當(dāng)直觀，學(xué)生能夠從情感上接受該定理，但高中數(shù)學(xué)講究邏輯思維嚴(yán)謹(jǐn)，必須使用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理證明“正弦定理”。那么，如果是銳角三角形，怎樣通過構(gòu)造直角三角形，依次表示a和sinA，b和sinB的關(guān)系呢？

探究1是否能通過構(gòu)造直角三角形，把問題由未知化為已知？

此時(shí)，學(xué)生議論紛紛，給出不一樣的作答：

生1：如圖3所示，過C點(diǎn)向BC作垂線CD，交BA延長線于D，得直角三角形DBC;

生2：如圖4所示，過A點(diǎn)向BC作垂線AD，把銳角三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形;

生3：如圖5所示，分別過B點(diǎn)和C點(diǎn)向AB和AC作垂線，交點(diǎn)為D，再連接AD，得兩直角三角形……

進(jìn)一步討論后發(fā)現(xiàn)，方法1并不合理，予以排除，方法2較為簡潔，借鑒價(jià)值較大，容易得出b和sinB，c和sinC的關(guān)系式。而方法3延伸了問題，四點(diǎn)共圓，繼續(xù)利用圓的知識(shí)點(diǎn)可得：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，這一解題思路同樣適用于鈍角三角形。

探究2是否可以引入向量，把“正弦定理”證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算？

設(shè)計(jì)意圖：尋求正弦定理證明方法，讓學(xué)生舉一反三，深入體會(huì)各類數(shù)學(xué)思想。高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)較為零散，內(nèi)容較多，學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)要特別注意知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，遇到不會(huì)的問題可以考慮使用向量方法。

（四）定理形成，概念深化

“正弦定理”：在三角形中，個(gè)邊的長和它所對(duì)角的正弦的比相等。即，asinA=bsinB=csinC。

師：從結(jié)構(gòu)來看，“正弦定理”的特征是什么樣的？有哪些變式？

1. 在結(jié)構(gòu)上，各邊與其對(duì)角的正弦嚴(yán)格對(duì)應(yīng)成正比例，非常和諧統(tǒng)一;

2. 從方程來看，每個(gè)方程都含有四個(gè)量，已知三個(gè)，求一個(gè)，這也正是“正弦定理”的用途;

3. 已知三角形的任意兩角及其一邊，可求其他邊;

4. 已知三角形的任意兩邊和其中一邊的對(duì)角，可以求其他角的正弦值，例如，sinA=absinB。

（五）范例教學(xué)，舉一反三

例1已知△ABC中，a=20，A=30°，C=45°，解三角形。

變式1若△ABC中，AC=3，A=45°，C=75°，則BC=______。

師生活動(dòng)：教師先規(guī)范展示例1的解題步驟，直接使用“正弦定理”得出答案，變式1則布置為學(xué)生作業(yè)，獨(dú)立自主完成，教師統(tǒng)一批閱。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在具體問題中應(yīng)用“正弦定理”，快速解決各類三角形問題。

（六）歸納小結(jié)，鞏固新知

師：本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)束了，你有哪些學(xué)習(xí)收獲？（師生共同總結(jié)，共同進(jìn)步）

1. 掌握了“正弦定理”，能在三角形邊角關(guān)系問題中靈活使用“正弦定理”，提高解題速度;

2. “正弦定理”的證明方法;

3. 了解現(xiàn)實(shí)生活中，三角度量的簡單方法。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生思維發(fā)散，完善現(xiàn)有的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，總結(jié)學(xué)習(xí)心得。

（七）課后作業(yè)

1. 書面作業(yè)：習(xí)題1.11，2

2. 探究作業(yè)：

（1）在鈍角三角形中，探究用不同方式方法證明定理;

（2）已知三角形的兩邊和一角，這個(gè)三角形具備唯一性嗎？

教師要深刻意識(shí)到啟發(fā)式教學(xué)模式的教學(xué)意義，讓學(xué)生主導(dǎo)課堂，逐步引導(dǎo)學(xué)生找到問題答案，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

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[3]吳建榮.高中數(shù)學(xué)中存在的問題及改進(jìn)策略[J].西部素質(zhì)教育，2017.

作者簡介：

張曉亮，甘肅省定西市，甘肅省通渭縣第一中學(xué)。