王圣榮 黃 涵

（1.三明市第九中學(xué)，福建 三明 365001；2.三明第一中學(xué)，福建 三明 365001）

概念是數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的一部分，在實際教學(xué)實踐中，概念的生成過程與練習(xí)的講解存在巨大的矛盾。如果教師沒有引導(dǎo)學(xué)生就概念產(chǎn)生的具體背景以及情境進(jìn)行深入的研究，學(xué)生對概念存在的必要性與合理性沒有任何理解，只能機械性的記憶，嚴(yán)重阻礙解決問題能力的提升。［1］在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 版）》中有這樣的描述：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)的概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗；養(yǎng)成在日常生活和實踐中一般性的思考問題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，以簡馭繁；運用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題。從以上文字可以看出，數(shù)學(xué)概念作為數(shù)學(xué)抽象的重要組成部分，應(yīng)該基于具體的情境去概括。教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生從具體的情境中抓住對象的共同特征，還要運用抽象所得結(jié)果，以簡馭繁的思考問題和解決問題?？梢?，高中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)需要從簡單的情境中引導(dǎo)學(xué)生抽象出概念，讓學(xué)生能夠更好地理解概念的生成過程，明白概念存在的必要性，同時對概念生成情境的理解，也有助于學(xué)生將概念應(yīng)用在具體問題的解決中。

以相互獨立事件的概念為例，它是高中階段概率模塊的核心概念之一。課本中對相互獨立事件的概念只有一句話：設(shè)A，B為兩個事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立。而這之前，還有一句話是這樣描述的：P(B|A)=P(B)。如果教師只是照本宣科地說明這一概念，學(xué)生的理解就只能停留在“兩個事件的發(fā)生相互間沒有影響”，沒有將感性的認(rèn)知抽象為數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系。

一、問題的對比觸發(fā)質(zhì)疑

數(shù)學(xué)抽象的第一階段是基于現(xiàn)實的。學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的深刻認(rèn)識是對現(xiàn)實問題的分析后獲得對數(shù)量與數(shù)量之間關(guān)系的抽象。如果只是簡單地對某一研究對象進(jìn)行描述性的說明，學(xué)生很難從中察覺到研究對象在抽象過程中的重要性，將兩個關(guān)聯(lián)度比較高的問題放在一起進(jìn)行分析，可以讓學(xué)生對研究對象的特征有更加深入地認(rèn)識。［2］就好像做實驗的過程中對其中的某個要素進(jìn)行改變，其余要素都保持不變，可以更好地獲得試驗的研究結(jié)果一樣。

問題1：現(xiàn)有3 張獎券A、B、C，其中獎券A是中獎獎券，其他兩張獎券沒有中獎?，F(xiàn)在有甲、乙、丙三名學(xué)生從這3 張獎券中無放回（有放回）各抽取一張。（1）求甲中獎的概率；（2）求乙中獎的概率；（3）求甲中獎的條件下，乙中獎的概率；（4）求甲不中獎的條件下，乙中獎的概率。

本題中涉及對象的個數(shù)只有3 個，是為了讓學(xué)生將涉及的所有基本事件通過列舉的形式表達(dá)出來，進(jìn)而更好地觀察其中的差異。對比“有放回”和“無放回”兩種情境，學(xué)生通過觀察“無放回”時的6 個基本事件和“有放回”時27 個基本事件，可以很容易地找到所得概率在不同情境中的差別，進(jìn)而質(zhì)疑，什么情況下附加條件會對最終的概率產(chǎn)生影響？進(jìn)而催生相互獨立事件概念的必要性思考。

二、語言的對比觸發(fā)抽象

剛接觸相互獨立事件時，學(xué)生很容易用自然語言對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行描述，這就使符號語言成為學(xué)生學(xué)習(xí)過程中多余的負(fù)擔(dān)。一個問題明明可以通過自然語言進(jìn)行描述，又何必多此一舉引入符號語言來復(fù)雜化問題呢？事實上，數(shù)學(xué)符號語言是一類研究對象共同特征的一般化。通過將研究對象轉(zhuǎn)化為數(shù)量或空間關(guān)系的形式，進(jìn)而一般化為符號的形式，能夠更清晰地呈現(xiàn)研究對象的特征，使得生成的概念既能集中體現(xiàn)相關(guān)研究對象一般性的特征，還能具有廣泛的適用性。

用符號的形式表達(dá)數(shù)學(xué)概念，首先要明確相關(guān)符號的意義，使數(shù)學(xué)概念能夠簡潔而精確。比如，相互獨立事件如果用自然語言表達(dá)就是：事件A的發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率，那么這兩個事件就是相互獨立事件。這樣的描述看上去很簡單，但是具體操作的過程中卻很難應(yīng)用在具體問題的解決中。而轉(zhuǎn)化為符號P(B|A)=P(B)，就能夠很好的呈現(xiàn)“影響”的作用，便于驗證兩個事件之間的關(guān)系。

如2021 年全國新課標(biāo)卷第8 題選擇題：有6 個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機抽取兩次，每次取1 個球。甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球數(shù)字之和是8”，丁事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（ ）

A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立

本題考查的對象是對相互獨立事件的概念的理解。題目難度不大，但是點明了自然語言和符號語言在具體問題解決過程中的差異。相互獨立事件的自然語言在解答本題的時候沒有操作的余地，每個選項都是模棱兩可。但是從符號語言入手進(jìn)行解答，就可以很容易得到相應(yīng)的結(jié)果。

以本題的正確答案B選項為例，設(shè)甲事件為A，丁事件為D，通過列舉法可以得出所有的基本事件有36 種，其中事件A含有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），6 種基本事件；事件D含有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，1），（6，1）6 種基本事件。容易觀察得，事件A?D和的基本事件分別為1 種和5 種，因此P(D|A)=；同理可以得出。兩個概率最終都等于P(D)=。由此可見事件A是否發(fā)生對事件D發(fā)生的概率沒有產(chǎn)生任何影響。

以上分析可以看出，符號語言雖然高度抽象，但是也正是這種高度的抽象使它集中體現(xiàn)對象的本質(zhì)特征，明確了研究對象需要滿足的條件，便于對相關(guān)的其他對象進(jìn)行判斷。而自然語言雖然通俗易懂，但是在遇到混淆性比較大的問題時，很容易陷入模棱兩可的境地，進(jìn)而對問題束手無策。

沒有一個數(shù)學(xué)概念是多余的，這必須成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中最重要的共識，只有通過大量的邏輯脈絡(luò)清晰的問題的引導(dǎo)，讓學(xué)生不斷加深對某個數(shù)學(xué)對象認(rèn)識，進(jìn)而對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行深入的研究，用自然語言表達(dá)出抽象的結(jié)果，最終用簡潔的符號語言將數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵明確地表達(dá)出來。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的所表達(dá)出來的形式與課本中所得到的符號形式相吻合時，學(xué)生所獲得的成就感將超出教師給予學(xué)生一切表揚和獎勵。

三、思維的對比觸發(fā)靈感

通過以上的描述可以看出，抽象實際上是來源于直觀。數(shù)學(xué)概念的形成是摒棄事物的一切物理屬性，讓學(xué)生對直觀的感性認(rèn)識所得到的結(jié)果進(jìn)行歸納，抓住事物的共同點，用符號呈現(xiàn)一般化的特征的過程。這是感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的升華，更是量變的積累到質(zhì)變的飛躍的必然結(jié)果。教學(xué)過程是濃縮概念的生成過程，實際的過程要遠(yuǎn)比這個艱難得多。具體到解決問題的時候，學(xué)生又可以在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆栃问降幕A(chǔ)上，進(jìn)一步賦予各種各樣的物理屬性，使得抽象的結(jié)果具備了廣泛的應(yīng)用型，最終達(dá)到解決問題的目的。從特殊到一般，在從一般到特殊的過程，結(jié)合了學(xué)生的學(xué)習(xí)、思考、應(yīng)用和升華的過程，螺旋式地提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。［3］

以問題1 為例，正是因為列舉讓學(xué)生可以看到所有基本事件，3 個元素既具備了簡化列舉對象的特征，同時又有“是否放回”這一干擾因素，學(xué)生很容易抓住問題的區(qū)別點。由于相互獨立事件是在條件概率的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究，在教學(xué)過程中，先對不同的幾個條件所產(chǎn)生的結(jié)果進(jìn)行列舉，讓學(xué)生將思路聚焦到對不同問題中各個基本事件之間的對比。例如，“甲中獎概率”和“乙中獎條件下，甲中獎的概率”，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)其中的基本事件隨著條件的發(fā)生而改變，這種改變有的成比例，而有的卻是不成比例，導(dǎo)致概率有的發(fā)生變化，有的沒有發(fā)生變化。接著改變問題的情境或者元素增加到4 個或者更多，讓學(xué)生在解答的過程中越來越集中感知條件概率公式下，相互獨立事件所表現(xiàn)的特別之處，最終得到相互獨立事件的概念。

可見，概念的抽象過程不僅是問題發(fā)現(xiàn)和解決的過程，還是思維經(jīng)歷感性認(rèn)識、梳理感性認(rèn)識后進(jìn)而達(dá)到抽象為理性結(jié)論的過程。［4］

四、分析的對比觸發(fā)簡化

分析是指將事物分解為較簡單的幾個組成部分進(jìn)行研究。分析首先要對事物的組成部分進(jìn)行劃分，劃分的方法不同，對事物特征的抽象過程和難度都會有所不同。以兩種不同的劃分方法作為教學(xué)實例，將研究對象分解為不同的幾個部分，對比兩種劃分方式在數(shù)量與數(shù)量之間關(guān)系的處理，多角度、多層次的理解事物的抽象方法，呈現(xiàn)局部與整體的關(guān)系，得出解決問題的思維方式和思考結(jié)果。

在相互獨立事件發(fā)現(xiàn)之前，事件的概率是通過研究滿足條件的基本事件個數(shù)占所有基本事件的比例計算得出的，即P(AB)=。在發(fā)現(xiàn)了相互獨立事件以后，或者說在發(fā)現(xiàn)條件概率之后，多個事件同時發(fā)生的概率就可以跳出綜合的推理方法，轉(zhuǎn)向通過對相關(guān)組成事件的分析達(dá)到對相關(guān)事件概率的求解。若A,B是相互獨立事件，則P(AB)=P(A)P(B)。這就承接了數(shù)學(xué)思考過程中，通過對一個個局部的小問題的解決，達(dá)到對復(fù)雜問題的整體解決，這樣的解決問題的方式，極大地簡化了問題的思考過程，同時也減少了研究對象的難度，提升了解題效率。

問題2：甲罐中有5 個紅球，2 個白球和3 個黑球，乙罐中有4 個紅球，3 個白球和3 個黑球。先從甲罐中隨機取出1 球放入乙罐，分別以A1、A2、A3表示甲罐中取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，求事件發(fā)生的概率。

本題研究的對象是乙罐中取出紅球，但是乙罐中的紅球個數(shù)的基本事件數(shù)會因為甲罐中取出來的球的顏色不同而不同，簡單地只針對乙罐進(jìn)行分析顯然不行。從基本事件數(shù)的角度來看，先利用分步計數(shù)原理，可以看出所有基本事件分別是10、11 種。再利用分類計數(shù)原理，將乙罐中取出紅球分為三類情況：1.甲罐中取出紅球；2.甲罐中取出白球；3.甲罐中取出黑球。當(dāng)然也可以直接分為甲罐中取出紅球和非紅球兩種。如果使用前者，則從乙罐中取出紅球的基本事件數(shù)有：5×5+2×4+3×4 中，即可求得P(B)的值。從條件概率的角度來看：可以將事件B轉(zhuǎn)化為從甲罐中是否取到紅球的概率，以及在此條件下乙罐中取到紅球的概率的乘積，最終得到的結(jié)果是。

以上兩種方案得到的形式看上去差不多，但是其中的內(nèi)涵與思維方式都不相同，問題的難度也有一定的變化。這種變化在兩個罐子這類問題中很難得到體現(xiàn)，但是當(dāng)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閚個罐子的一般性問題之后，這種變化所帶來的便利就能夠得到充分的體現(xiàn)。也就是說，通過對各個局部特征的思考，進(jìn)而達(dá)到對整體特征的把握，不僅能讓問題的解決得到簡化，而且也使得抽象形式的表達(dá)更能體現(xiàn)一般性，這樣的簡化就為后續(xù)二項分布問題的概率形式表達(dá)提供了條件，是學(xué)生進(jìn)行深度思考的重要途徑。

五、總結(jié)

概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，這些概念都是從大量的情境中逐步生成的，但是具體的教學(xué)實踐中，概念卻給學(xué)生留下晦澀的印象，是一個難以親近的存在。情境化的教學(xué)的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷問題的沖突、語言的選擇和問題解決過程中的思考方式的調(diào)整過程，讓學(xué)生感受到概念出現(xiàn)的必要性，也要通過概念的應(yīng)用，讓學(xué)生感受到概念出現(xiàn)的合理性。［5］其實在實際教學(xué)過程中，情境化下概念的生成與練習(xí)的講評并不會產(chǎn)生沖突，教師應(yīng)該將練習(xí)中的所包含的對概念的應(yīng)用方法，轉(zhuǎn)化為生成相關(guān)概念的情境，進(jìn)而讓學(xué)生在概念的生成過程中就能夠感知到概念應(yīng)用的方法，提升學(xué)生應(yīng)用概念解決問題的能力。學(xué)生理解了概念，教師減少講評練習(xí)的時間，從而化解概念講解與練習(xí)講評的時間矛盾。