【摘 要】本文基于人教版必修二異面直線所成角、直線與平面所成角及二面角的教學(xué)（幾何法求空間角），主要對(duì)教師的教學(xué)策略和過程、對(duì)教材的處理以及學(xué)生遇到的問題進(jìn)行反思，提出在空間角的教學(xué)中，教師設(shè)置的問題應(yīng)以用定義或簡(jiǎn)單作圖就能解答為度，重點(diǎn)要實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生空間想象力的訓(xùn)練。

【關(guān)鍵詞】空間角 教學(xué)反思 高中數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）26-0090-02

空間角是全國(guó)新課標(biāo)卷中的必考題。人教版高中數(shù)學(xué)必修二中對(duì)空間角的學(xué)習(xí)主要是利用從異面直線所成角、直線與平面所成角及二面角這三種空間角的定義出發(fā)的幾何法來解決，而非空間向量坐標(biāo)法。但縱觀近五年的全國(guó)卷高考題，大題第二問考查的空間角一般都傾向于使用空間向量坐標(biāo)法，而小題中考查的空間角問題也可以用空間向量坐標(biāo)法。由于用幾何法來解決空間角要求有一定的空間想象力且對(duì)空間思維要求較高，學(xué)生普遍覺得難度較大，這對(duì)教師的教學(xué)產(chǎn)生了較大的考驗(yàn)。必修二是學(xué)生初次接觸空間角的學(xué)習(xí)內(nèi)容，要求學(xué)生展開空間思維并構(gòu)建關(guān)系來計(jì)算，從教學(xué)內(nèi)容來看既是概念性知識(shí)教學(xué)，又是程序性知識(shí)教學(xué)，因此這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生和教師都是較大的考驗(yàn)。

一、異面直線所成角的教學(xué)反思

異面直線所成角是學(xué)生學(xué)習(xí)了空間兩直線的位置關(guān)系后學(xué)習(xí)的內(nèi)容，此時(shí)學(xué)生已具備了異面直線的定義、兩直線平行和相交的基礎(chǔ)知識(shí)。在教學(xué)的引入部分，教師使用兩根直棒和正方體模型來和學(xué)生一起探究異面直線所成角的定義。教師先讓學(xué)生找出兩條直線相交而得的兩對(duì)對(duì)頂角。理解了兩條相交直線所成角后，通過平移這兩條相交的直線，引出異面直線所成角的定義和范圍，合理地把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。接下來教師以正方體為背景列舉了幾對(duì)異面直線所成角求法的例子，加深學(xué)生對(duì)異面直線所成角定義的理解和對(duì)利用幾何法解決異面直線所成角基本方法的學(xué)習(xí)，使大部分學(xué)生掌握了使用平行四邊形和三角形中位線來平移，平移后進(jìn)而通過解三角形來求兩條異面直線所成角的方法。在課堂上筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在求三角形中一個(gè)角的三角函數(shù)值時(shí)常遇到困難，原因是學(xué)生還沒有學(xué)過必修四和必修五，沒有具備三角函數(shù)定義和解三角形的知識(shí)，于是只能求解出直角三角形和等腰三角形中的一個(gè)角的三角函數(shù)值。教師在課后給學(xué)生提供了以長(zhǎng)方體、直三棱柱、正四面體為載體的練習(xí)。通過課后練習(xí)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的主要問題有：（1）少部分學(xué)生還不會(huì)利用平行四邊形和三角形中位線來平移;（2）約四分之一的學(xué)生平移后不會(huì)通過解三角形來求異面直線所成角;（3）約三分之一的學(xué)生在解三角形的計(jì)算中出錯(cuò)。通過反思，筆者得出結(jié)論：教學(xué)的過程和方法是恰當(dāng)?shù)?，只是教學(xué)內(nèi)容在課本例題的基礎(chǔ)上做了點(diǎn)豐富和提升;學(xué)生對(duì)異面直線所成角的概念基本理解（完成概念性知識(shí)教學(xué)）;平移后圍成的三角形是直角三角形的類型絕大部分學(xué)生已經(jīng)能解決（完成程序性知識(shí)教學(xué)），圍成的三角形是等腰三角形的類型還有少數(shù)學(xué)生不會(huì)求解，但大部分學(xué)生不會(huì)求解已知三角形三條邊而求一個(gè)角的函數(shù)值，因此在求解和計(jì)算方面學(xué)生還需要加強(qiáng)（需要一節(jié)習(xí)題課）。

二、直線與平面所成角的教學(xué)反思

直線與平面所成角是學(xué)生學(xué)習(xí)了直線與平面垂直的判定定理后才學(xué)習(xí)的內(nèi)容。學(xué)生在學(xué)習(xí)三視圖時(shí)學(xué)習(xí)了幾何體的正投影，故線在面上的射影學(xué)生是能理解的。在教學(xué)引入時(shí)，教師先讓學(xué)生指出正方體中一條體對(duì)角線在底面上的射影在哪里，接著觀察底面上的線和這條體對(duì)角線所成角的大小變化，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這條體對(duì)角線和它在底面上的射影所成角是它和底面上任意一條直線所成角中最小的角，具有唯一性，可以用來衡量直線與平面所成角的大小，進(jìn)而合理給出直線與平面所成角的定義和范圍，實(shí)現(xiàn)把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。在教學(xué)過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)課本上的例題2，并在例題2的基礎(chǔ)上提出幾個(gè)簡(jiǎn)單的線面角問題，然后以長(zhǎng)方體為載體再出幾道練習(xí)題，并在學(xué)習(xí)例題和講評(píng)練習(xí)時(shí)強(qiáng)調(diào)“一作二證三計(jì)算”的過程。課堂上筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)題目中具備線面垂直且容易找出線在面內(nèi)射影的求線面角問題已經(jīng)較好掌握，但對(duì)需要證明線面垂直的類型少部分學(xué)生存在問題，對(duì)需要作輔助線然后證明線面垂直的類型有一半左右的學(xué)生存在問題。課后筆者布置了一道以正三棱柱為載體和一道以有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為載體的作業(yè)題。課后作業(yè)中學(xué)生存在的主要問題有：（1）約三分之一的學(xué)生忘記明確指出哪個(gè)是所求的線面角，很多學(xué)生沒有養(yǎng)成求出結(jié)果后回答所求線面角的習(xí)慣;（2）約三分之一的學(xué)生沒有指出直線在平面內(nèi)的射影是哪條直線;（3）少部分學(xué)生忘記證明線面垂直，在作輔助線后就直接開始計(jì)算了。通過反思得知，教學(xué)過程中師生互動(dòng)是良好的;學(xué)生對(duì)線面角概念的形成是認(rèn)可的（概念性知識(shí)教學(xué)基本完成），對(duì)線面角的求法過程是了解的（程序性知識(shí)教學(xué)初步完成）;但學(xué)生需要加強(qiáng)復(fù)習(xí)理解和增加練習(xí)強(qiáng)化。

三、二面角的教學(xué)反思

二面角的定義概念是必修二中在學(xué)習(xí)面面垂直的判定定理之前的準(zhǔn)備知識(shí)。學(xué)生理解了二面角的概念，自然而然就能理解當(dāng)二面角是直二面角時(shí)兩平面互相垂直的定義，進(jìn)而可以探究面面垂直的判定定理。第一課時(shí)，先讓學(xué)生通過觀察水壩面與水平面、人造衛(wèi)星軌道面與赤道平面這兩張圖片來理解二面角的概念。接著通過觀察打開書本的過程來探究二面角的平面角的定義，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)從二面角的棱上的一點(diǎn)出發(fā)且分別在兩個(gè)半平面內(nèi)的兩條射線都和棱垂直時(shí)所成角可以用來衡量二面角的大小，且這樣的角大小是唯一的、恒定的，這樣則順利把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。進(jìn)而給出直二面角的認(rèn)識(shí)和面面垂直的定義，讓學(xué)生觀察沿門軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)門所在的平面與地板面的位置關(guān)系來探究面面垂直判定定理，發(fā)現(xiàn)從線面垂直到面面垂直的關(guān)系——無論怎么轉(zhuǎn)動(dòng)門，門軸總是和地板面垂直的，而門所在平面也和地板面垂直。在學(xué)生探究得出面面垂直的判定定理后，筆者引導(dǎo)學(xué)生解答課本上的例題3和課后練習(xí)中證明面面垂直的題目。求二面角的學(xué)習(xí)已經(jīng)是第二課時(shí)的內(nèi)容了。雖然課本沒有給出例題，但習(xí)題中是有求二面角的練習(xí)的，因而求二面角的教學(xué)完全由教師自由發(fā)揮了。在求二面角的教學(xué)時(shí)，先要復(fù)習(xí)二面角的平面角的定義，接著以正方體為背景提一些簡(jiǎn)單的求二面角大小的問題，加強(qiáng)學(xué)生用定義求二面角大小的能力。然后讓學(xué)生觀察并思考正方體一角（墻角模型）中斜面與底面所成二面角的求法，進(jìn)而歸納出求二面角的第二種方法，即先構(gòu)造線面垂直，再利用三垂線定理作出二面角的平面角。在例題和練習(xí)方面，筆者分別以長(zhǎng)方體、正四面體、正三棱錐為背景提出幾個(gè)問題，講評(píng)時(shí)強(qiáng)調(diào)的“一作二證三計(jì)算”的過程，以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)第二種方法的掌握。在課堂上發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)二面角的平面角的定義是理解的（完成概念性知識(shí)教學(xué)），絕大部分學(xué)生能解決不需要作輔助線就有二面角平面角的問題，有一半以上的學(xué)生能解決簡(jiǎn)單利用三垂線定理作出二面角平面角的問題（基本完成程序性知識(shí)教學(xué)）。課后筆者分別以正三棱錐和正方體為載體布置了兩道作業(yè)題。課后作業(yè)學(xué)生存在的主要問題有：（1）約五分之一的學(xué)生不會(huì)利用正三棱錐中兩個(gè)同底等腰三角形底邊上的中線來作出二面角的平面角;（2）約三分之一的學(xué)生不會(huì)通過三垂線定理來作出二面角的平面角，會(huì)作輔助線的學(xué)生中有部分忘記寫簡(jiǎn)單的證明過程;（3）一半左右的學(xué)生在計(jì)算過程中存在問題。通過反思，發(fā)現(xiàn)必修二課本中對(duì)求二面角的大小的能力要求只是會(huì)用定義和作一些簡(jiǎn)單輔助線來求解二面角的平面角，但教學(xué)過程中給出的練習(xí)的難度超出了部分學(xué)生的能力，因而學(xué)生掌握起來比較吃力。因?yàn)槔萌咕€定理作出二面角平面角的過程對(duì)學(xué)生要求較高——學(xué)生需要作出輔助線并會(huì)證明線面垂直，所以這類問題需要學(xué)生多加練習(xí)，同時(shí)教師要注意把握難度。

四、空間角教學(xué)的整體反思

反思異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角這三部分的教學(xué)，學(xué)生的空間想象能力、計(jì)算能力和構(gòu)圖畫圖能力是得到提高的，能為后續(xù)用空間向量坐標(biāo)法求空間角打下基礎(chǔ)。教師在教學(xué)過程中要注意的問題有：（1）教師應(yīng)更好地設(shè)置引入部分的教學(xué)，以免在引入時(shí)太生硬讓學(xué)生更難參與課堂教學(xué)，因此在教學(xué)引入時(shí)應(yīng)多使用生活中學(xué)生熟悉的幾何模型，設(shè)置自然連貫的問題串，引導(dǎo)學(xué)生一步一步地探究得出空間角的概念，順利完成空間角的概念性知識(shí)教學(xué);（2）在空間角的求法教學(xué)環(huán)節(jié)，教師應(yīng)放慢速度，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)解題的步驟和計(jì)算的難點(diǎn)，且求空間角的方法不宜歸納過多，應(yīng)重點(diǎn)教學(xué)基本的方法;（3）在例題的設(shè)置和作業(yè)練習(xí)的布置方面，教師要把握好難度，重點(diǎn)練習(xí)學(xué)生較熟悉的以典型幾何體為背景的問題。學(xué)生在學(xué)習(xí)空間角時(shí)遇到的問題有：（1）空間想象力和空間思維遇到較大挑戰(zhàn)，當(dāng)遇到?jīng)]有給出圖形的題目時(shí)，構(gòu)圖畫圖遇到困難，而當(dāng)遇到需要作輔助線并證明線面垂直的問題時(shí)，覺得無從入手或不會(huì)證明;（2）在計(jì)算空間角時(shí)遇到困難，有的因方法步驟沒有掌握好而寸步難行，有的因不會(huì)解三角形而苦惱（因?yàn)闆]有學(xué)過三角函數(shù)和解一般的三角形，只會(huì)解直角三角形和等腰三角形），有的因粗心頻頻出錯(cuò)而捶胸頓足;（3）在題型和方法歸納時(shí)遇到困難，在沒有教師的復(fù)習(xí)指導(dǎo)的情況下，學(xué)生對(duì)空間角學(xué)了幾種方法數(shù)不出來，哪些題目是同一種題型分辨不出，只知道盲目地做課后練習(xí)和配套資料，但做完并不知道歸納總結(jié)。

總的來說，在進(jìn)行空間角的教學(xué)時(shí)，教師設(shè)置的問題不需要太難，達(dá)到能用定義或簡(jiǎn)單作圖就能解答的難度即可，主要應(yīng)實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生空間想象力的訓(xùn)練，畢竟在高考中計(jì)算空間角時(shí)學(xué)生更傾向于使用空間向量坐標(biāo)法;教師對(duì)學(xué)生的要求暫時(shí)不宜過高，學(xué)生能理解空間角的概念和掌握空間角的基本求法就可以了，至于學(xué)生計(jì)算方面存在的問題會(huì)在后面的學(xué)習(xí)中逐步得到解決。

【參考文獻(xiàn)】

[1]余林.課堂教學(xué)評(píng)價(jià)[M].北京：人民教育出版社，2006.

[2]李廣.評(píng)好課：應(yīng)知應(yīng)會(huì)[M].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2010.

【作者簡(jiǎn)介】青增享（1979— ），男，壯族，廣西南寧人，大學(xué)本科學(xué)歷，一級(jí)教師，現(xiàn)就職于廣西民族高中，主要研究方向?yàn)橹袑W(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。

（責(zé)編 唐玉萍）