周凱月，李 佳，王瑋冰，陳大鵬

(1.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049; 2.中國(guó)科學(xué)院 微電子研究所,北京 100029)

基于MEMS加速度計(jì)的尺寸、成本功耗等方面的優(yōu)勢(shì)，其廣泛應(yīng)用于物聯(lián)網(wǎng)、智能穿戴設(shè)備[1-2]，尤其在SLAM(simultaneous localization and mapping)、姿態(tài)識(shí)別、跌倒檢測(cè)等應(yīng)用中對(duì)IMU(inertial measurement unit)設(shè)備的姿態(tài)角精確計(jì)算有重要作用[3-4]。但是由于加速度計(jì)的安裝偏差、尺度因子、零偏和隨機(jī)噪聲等因素的影響，其輸出存在一定的誤差[5-6]。因此需要建立校準(zhǔn)補(bǔ)償模型以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定、高精度的加速度輸出。

傳統(tǒng)分立式標(biāo)定校準(zhǔn)依賴于大型轉(zhuǎn)臺(tái)設(shè)備，價(jià)格昂貴、操作方法復(fù)雜，標(biāo)定精度取決于轉(zhuǎn)臺(tái)設(shè)備，不利于大批量的生產(chǎn)使用。為了降低校準(zhǔn)對(duì)大型設(shè)備的依賴，顏開(kāi)思等[7]提出借助于立方體治具將加速度計(jì)依次旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)6次，依此求得模型參數(shù)；為了解決六面體算法中治具所處平面可能不水平的問(wèn)題，陸續(xù)有學(xué)者[8-11]提出九位置法、十位置法，十二面體法、二十四位置法等，將相差45°，90°，180°的兩面求均值作為其中一組數(shù)據(jù)來(lái)抵消水平夾角問(wèn)題，但均需要依賴治具。L?tters等[12]首次提出基于模觀測(cè)的加速度計(jì)標(biāo)定方法，將標(biāo)定問(wèn)題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題，其關(guān)鍵在于非線性方程組的求解，最為常見(jiàn)的為迭代法、牛頓法[13]，其缺點(diǎn)為迭代結(jié)果嚴(yán)重依賴于初值的選取。Cheuk等[14-15]提出在多組任意位置下觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)求解模型參數(shù)，擺脫了治具的限制，但仍無(wú)法解決初值依賴問(wèn)題。

針對(duì)LM算法過(guò)度依賴初值的問(wèn)題，本文結(jié)合了LM算法與最小二乘法算法，在初值預(yù)估不準(zhǔn)確情況下，實(shí)現(xiàn)誤差模型參數(shù)的精確標(biāo)定，并在標(biāo)定后的姿態(tài)解算中，精度能達(dá)到與傳統(tǒng)標(biāo)定方法相同的量級(jí)。

1 加速度計(jì)誤差補(bǔ)償模型

根據(jù)誤差產(chǎn)生原因，MEMS三軸加速度計(jì)誤差主要來(lái)源于軸間非正交誤差、尺度因子、零偏和噪聲的隨機(jī)游走，可以建立如下誤差模型：

(1)

θcal=[Kyz,Kzy,Kzx,Sxx,Syy,Szz,Bx,By,Bz]

(2)

加速度計(jì)處于靜止?fàn)顟B(tài)下，只受到重力，理論上加速度計(jì)的任意姿態(tài)下，各軸輸出數(shù)據(jù)的模等于1 g，因此有

‖g‖2=‖O‖2=‖Tk*Ts(R+B)‖2=

‖h(R,θcal)‖2

(3)

為求解誤差模型中θcal參數(shù)，可以利用多組靜態(tài)觀測(cè)數(shù)據(jù)使用最小二乘法對(duì)多元方程求解；也可以通過(guò)構(gòu)建橢球模型近似等效加速度計(jì)誤差模型，通過(guò)大量靜態(tài)觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合求解橢球參數(shù)來(lái)近似求解誤差模型參數(shù)，這些已有方法將在下文具體說(shuō)明。針對(duì)LM算法過(guò)度依賴初值的問(wèn)題，本文提出的LM&最小二乘法自校準(zhǔn)法在LM &最小二乘法自校準(zhǔn)法的實(shí)現(xiàn)中進(jìn)行詳細(xì)闡述，并在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析中進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的呈現(xiàn)。

2 已有方法求解模型參數(shù)

2.1 十二面體法求參

在十二面體法[16]求解加速度計(jì)誤差模型參數(shù)中，需要將被測(cè)加速度計(jì)固定在治具中，依次旋轉(zhuǎn)0°，90°，180°，270°，如圖1所示。將所得到的12組數(shù)據(jù)分為2組，按照加速度計(jì)誤差補(bǔ)償模型的誤差模型，將觀測(cè)數(shù)據(jù)代入，通過(guò)最小二乘法，求得兩組參數(shù)，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行加權(quán)獲得最后的加速度計(jì)誤差模型參數(shù)：

(4)

注：本圖參照文獻(xiàn)[16]中圖1繪制。

2.2 橢球擬合法求參

在忽略軸間偏差，即三軸之間均正交的情況下，加速度計(jì)任意靜止?fàn)顟B(tài)輸出數(shù)據(jù)的模為定值g，在三軸正交坐標(biāo)系中表現(xiàn)為一橢球面上的點(diǎn)[17]，即：

a1x2+a2y2+a3z2+a4xy+a5xz+a6yz+
a7x+a8y+a9z

(5)

[X-C]M[X-C]T=1+CMCT

(6)

(7)

式中：X為橢球面上的數(shù)據(jù)，C為橢球球心，M為所求參數(shù)矩陣。通過(guò)最小二乘法對(duì)大量靜止?fàn)顟B(tài)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到橢球球心即零偏，橢球在各個(gè)軸上的投影為尺寸因子。

3 LM &最小二乘法自校準(zhǔn)法的實(shí)現(xiàn)

3.1 LM算法

LM(levenberg-marquardt)算法[18-20]是介于牛頓法和梯度下降法之間的非線性優(yōu)化算法，廣泛應(yīng)用于非線性最小化的求解。在對(duì)于模型參數(shù)求解問(wèn)題中，如式(8)，LM算法通過(guò)將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中Hessian矩陣近似為Jacobian矩陣的方式，如式(9)、(10)，解決了梯度下降法收斂速度緩慢的問(wèn)題，避免了牛頓法求解高階非線性問(wèn)題時(shí)復(fù)雜二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算過(guò)程，以及Hessian非滿秩和非正定情況。LM算法最終訓(xùn)練形式通過(guò)如下進(jìn)行擬合求參：

(8)

H≈JTJ+μI

(9)

xk+1=xk-(JTJ+μI)*gk

(10)

(11)

式中：x為輸入?yún)?shù)向量，ω為待求參數(shù)向量，N為待求參數(shù)向量個(gè)數(shù)，E為目標(biāo)函數(shù)殘差，M為離散非線性系統(tǒng)采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)。

利用LM算法求解加速度計(jì)誤差模型參數(shù)，需要構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)以及殘差。由加速度計(jì)誤差補(bǔ)償模型可知，加速度計(jì)處于靜止?fàn)顟B(tài)下，只受到重力，因此將式(3)作為目標(biāo)函數(shù)。

為求解誤差模型中θcal參數(shù)，需要求解式(2)非線性輸出方程，即需要多組不同姿態(tài)的靜態(tài)觀測(cè)數(shù)據(jù)。由于上述的各類誤差導(dǎo)致加速度計(jì)各軸輸出數(shù)據(jù)的模值不等于g，因此構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)殘差方程(12)，通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)最小化實(shí)現(xiàn)模型參數(shù)的求解。

(12)

3.2 基于LM&最小二乘法自校準(zhǔn)法

3.2.1 基本方案

LM算法擁有高斯-牛頓算法快速收斂的優(yōu)點(diǎn)，也在梯度下降法的基礎(chǔ)上解決了負(fù)梯度收斂緩慢的問(wèn)題，但是其本身因在泰勒展開(kāi)式中忽略了高階項(xiàng)，在一定情況下會(huì)出現(xiàn)收斂緩慢的情況。另外LM算法高度依賴初值的設(shè)定，所以在單次加速度誤差模型參數(shù)的求解中，由于初值的設(shè)定不準(zhǔn)會(huì)導(dǎo)致模型參數(shù)擬合不準(zhǔn)確。

因此，為實(shí)現(xiàn)加速度計(jì)應(yīng)用過(guò)程中的閉環(huán)校準(zhǔn)，就需要對(duì)加速度計(jì)誤差模型的初值進(jìn)行實(shí)時(shí)修正，確保LM算法可以迅速收斂。本文通過(guò)對(duì)加速度計(jì)任意位置下的靜態(tài)數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行濾波、篩選、截?cái)?，獲取可用于最小二乘法的姿態(tài)數(shù)據(jù)，即加速度計(jì)某個(gè)軸垂直于水平面，另外兩個(gè)軸平行水平面的姿態(tài)。與已有初值相關(guān)數(shù)據(jù)共同求解修正初值，并以此初值為L(zhǎng)M算法訓(xùn)練初值，進(jìn)行訓(xùn)練擬合，獲得最終加速度計(jì)誤差模型參數(shù)。

如圖2所示，為本文所提出的加速度計(jì)LM&最小二乘法自校準(zhǔn)法的流程圖。主要過(guò)程分為3個(gè)部分：數(shù)據(jù)采集處理、模型參數(shù)初值修正、模型參數(shù)訓(xùn)練擬合。

圖2 MEMS加速度計(jì)自校準(zhǔn)流程

3.2.1.1 數(shù)據(jù)采集處理

1)采集加速度計(jì)靜止姿態(tài)數(shù)據(jù)樣本需要滿足如下條件。

①加速度計(jì)連續(xù)靜止Twait。對(duì)連續(xù)采集到的Twait*f采集頻率個(gè)數(shù)據(jù)，均需要滿足|ζ(k)|<δ1，其中ζ(k)如式(13)所示，為加速度計(jì)各軸輸出數(shù)據(jù)模值與重力加速度g的差，δ1為判斷加速度計(jì)靜止的閾值。

(13)

②壓力傳感器輸出的標(biāo)準(zhǔn)差P(t)<δ2。針對(duì)本文實(shí)驗(yàn)對(duì)象為智能鞋墊，以k個(gè)鞋墊內(nèi)嵌壓力傳感器輸出的標(biāo)準(zhǔn)差作為檢測(cè)算子，檢測(cè)鞋墊是否處于靜止姿態(tài)，δ2為檢測(cè)閾值。

(14)

③保證訓(xùn)練樣本豐富性。所獲得的靜止姿態(tài)數(shù)據(jù)樣本不與已存在樣本重復(fù)，即需式(15)中，γ>δ3,以保證解算結(jié)果精準(zhǔn)。

(15)

2)加速度計(jì)靜止姿態(tài)數(shù)據(jù)樣本預(yù)處理。

①濾波。對(duì)收集到的靜止姿態(tài)數(shù)據(jù)樣，通過(guò)式(13)進(jìn)行濾波和提取有效數(shù)據(jù)，如圖3所示為采集到加速度計(jì)的原始靜態(tài)數(shù)據(jù)樣本與濾波后的靜止姿態(tài)數(shù)據(jù)。

圖3 濾波和截?cái)嗲啊⒑髷?shù)據(jù)對(duì)比

②分類。為獲得最小二乘法所需要的靜止姿態(tài)數(shù)據(jù)樣本，需要從所有樣本中篩選出加速度計(jì)某個(gè)軸垂直于地面，即輸出接近|g|，另外2個(gè)軸輸出接近為0的數(shù)據(jù)集合，在所有觀測(cè)樣本中找到滿足式(16)的樣本作為Ocor,用以修正每次迭代的初值；其余靜止姿態(tài)數(shù)據(jù)樣本作為Otrain,用來(lái)LM算法訓(xùn)練。

|Oij-g|<σ&&|Oij+1|<σ&&|Oij-1|<σ

(16)

3.2.1.2 模型參數(shù)初值修正

將誤差模型(1)轉(zhuǎn)換為

(17)

通過(guò)最小二乘法求解多元方程參數(shù)得到:

(18)

3.2.1.3 模型參數(shù)訓(xùn)練擬合

對(duì)于LM算法訓(xùn)練樣本Otrain在非相關(guān)樣本數(shù)m>6即可收斂，這獲利于初值修正。

3.2.2 算法步驟

步驟2收集加速度計(jì)靜止數(shù)據(jù)樣本，需滿足式(13)～(15)。

步驟3根據(jù)式(16)，對(duì)步驟2中收集到的靜止姿態(tài)樣本分類。

1)用于修正第k+1次迭代模型初值的觀測(cè)樣本Ocor。

2)用于訓(xùn)練擬合第k+1次模型參數(shù)ak+1的觀測(cè)樣本Otrain。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析

本文實(shí)驗(yàn)以自主研發(fā)的多傳感器集成的智能鞋墊為被測(cè)對(duì)象，內(nèi)置三軸加速度計(jì)、4組柔性壓力傳感器以及低功耗藍(lán)牙片上系統(tǒng)、無(wú)線充電模塊，如圖4所示。以藍(lán)牙傳輸?shù)姆绞綄⑿瑝|數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)傳輸?shù)浇K端，傳輸頻率為20 Hz。

圖4 被測(cè)對(duì)象智能鞋墊與立方體治具

根據(jù)已有方法求解模型參數(shù)所述，設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證環(huán)節(jié)。

4.1 實(shí)驗(yàn)步驟

4.1.1 LM訓(xùn)練法

1)收集同一時(shí)段任意靜止姿態(tài)加速度計(jì)輸出數(shù)據(jù)M組。

2)給定隨機(jī)誤差模型參數(shù)初值(0～1)，通過(guò)LM算法，以M組數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練求解誤差模型參數(shù)。

4.1.2 LM&最小二乘法自校準(zhǔn)法

1)在為期30 d正常使用智能鞋墊的情況下，按照4.2所述條件每3 d自動(dòng)檢測(cè)收集任意靜止姿態(tài)加速度數(shù)據(jù)M組。

2)根據(jù)LM算法，對(duì)第1次M組樣本數(shù)據(jù)給定隨機(jī)模型參數(shù)初值(隨機(jī)范圍0～1)，使用LM算法進(jìn)行訓(xùn)練，得到初始誤差模型參數(shù)。

3)根據(jù)基于LM&最小二乘法自校準(zhǔn)法，對(duì)后續(xù)9次樣本數(shù)據(jù)依次以前一次訓(xùn)練得到的參數(shù)為初值進(jìn)行迭代訓(xùn)練，更新得到最終誤差模型參數(shù)。

4.1.3 十二面體法

1)將鞋墊固定在治具上，保持鞋墊與治具水平與對(duì)齊。

2)連接藍(lán)牙設(shè)備，并根據(jù)圖1按照x,y,z軸旋轉(zhuǎn)0°，90°，180°，270°，每個(gè)狀態(tài)保持1 min。

3)根據(jù)十二面體法求解加速度計(jì)誤差模型參數(shù)。

4.1.4 橢球擬合法

1)采集智能鞋墊任意靜止姿態(tài)加速度數(shù)據(jù)M組。

2)根據(jù)橢球擬合法求解橢球擬合方程系數(shù)，并求解出橢球中心(即偏差)和橢球半徑(即尺寸因子)。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

1)LM&最小二乘法自校準(zhǔn)法所得結(jié)果如圖5(a)所示，在多次、長(zhǎng)時(shí)間的循環(huán)迭代中，由初值設(shè)定不準(zhǔn)引起的誤差模型參數(shù)的估計(jì)誤差在迭代中逐步消除，3次迭代后，由初值設(shè)定失誤引起的模型參數(shù)平均相對(duì)誤差降低95%。優(yōu)化初值后，提高了參數(shù)訓(xùn)練的運(yùn)算速度，訓(xùn)練時(shí)間由25 s降低到平均0.4 s，如圖5(b)所示。

2)如表1所示為4種校準(zhǔn)方式下獲取的加速度計(jì)誤差模型參數(shù)及其參數(shù)的相對(duì)誤差。十二面體法、橢球擬合法、單純LM方法與LM&最小二乘法自校準(zhǔn)法分別求解得到誤差模型中12、6、9、9個(gè)參數(shù)。

其中十二面體法、橢球法以及LM迭代法3種校準(zhǔn)方法均對(duì)該加速度計(jì)在y軸方向存在較大零偏具有一致性描述。

圖5 LM&最小二乘法校準(zhǔn)法迭代過(guò)程中參數(shù)變化

表1 本文方法與其他方法標(biāo)定結(jié)果對(duì)比

3)橢球擬合法模擬出加速度計(jì)數(shù)據(jù)樣本構(gòu)成的橢球面，如圖6所示，數(shù)據(jù)樣本越豐富，橢球擬合法越精準(zhǔn)。本實(shí)驗(yàn)中48組樣本擬合得到的零偏和尺寸因子6個(gè)參數(shù)。采用橢球擬合法對(duì)加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)償，見(jiàn)表2，補(bǔ)償后三軸相對(duì)誤差分別為-83.36%，12.80%，3.70%，存在一定誤差。

圖6 橢球擬合球面圖

表2 橢球擬合法補(bǔ)償后的相對(duì)誤差

4)LM&最小二乘法自校準(zhǔn)法構(gòu)建的誤差模型對(duì)加速度計(jì)進(jìn)行補(bǔ)償，所得結(jié)果見(jiàn)表3，相對(duì)誤差分別為18.110%，4.300%，0.316%，相對(duì)橢圓擬合法精度有明顯升高。進(jìn)一步解算姿態(tài)角度，如圖7所示，解算所得各軸角度誤差為0.363 5°，0.699 6°，0.643 3°，誤差小于1°，可實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償后的姿態(tài)解算精度與傳統(tǒng)標(biāo)定方法十二面體法同等量級(jí)。

表3 本文方法補(bǔ)償后誤差

圖7 本文方法補(bǔ)償加速度計(jì)后的姿態(tài)角度

結(jié)合不同方法的標(biāo)定結(jié)果對(duì)比，可以得到本文提出的LM&最小二乘法自校準(zhǔn)法的優(yōu)勢(shì)如下：

1)在不斷LM迭代擬合過(guò)程中，加入了初值修正的步驟，優(yōu)化解決了LM算法過(guò)度依賴初值的問(wèn)題。并在可穿戴設(shè)備長(zhǎng)期使用過(guò)程中采集校準(zhǔn)數(shù)據(jù)，不需要人工設(shè)定姿態(tài)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)加速度計(jì)實(shí)時(shí)校準(zhǔn)。

2)對(duì)于橢圓擬合法，只能解算出6項(xiàng)參數(shù)，并且需要大量的靜態(tài)樣本對(duì)橢球擬合才能達(dá)到解算的精度，通過(guò)對(duì)比其解算得到的加速度數(shù)據(jù)，仍有較大誤差。LM&最小二乘法自校準(zhǔn)法需要靜態(tài)觀測(cè)樣本少，且可解算出9種誤差參數(shù)，參數(shù)相對(duì)誤差更低。

3)傳統(tǒng)十二面體法可以解算誤差模型中所有參數(shù)，精度相對(duì)較高，但是需要相關(guān)立方體治具，需要人工固定，也需要相對(duì)水平的測(cè)試平臺(tái)。本文提出的LM&最小二乘法自校準(zhǔn)法可以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)采集，實(shí)時(shí)解算的效果，且在一定程度上脫離了治具的束縛。以本文方法對(duì)加速度計(jì)標(biāo)定后，解算出角度值與十二面體法解算出角度值誤差均小于1°，說(shuō)明本文方法可以達(dá)到傳統(tǒng)標(biāo)定方法相同量級(jí)的精度。

5 結(jié) 論

1)為保證MEMS持續(xù)、高精度的輸出，本文建立了基于LM算法的加速度自校準(zhǔn)模型，根據(jù)靜態(tài)加速度計(jì)三軸輸出模等于1 g，將標(biāo)定問(wèn)題轉(zhuǎn)換為非線性方程優(yōu)化問(wèn)題。為解決LM算法過(guò)分依賴初值，導(dǎo)致擬合模型參數(shù)誤差較大的問(wèn)題。本文提出對(duì)靜止姿態(tài)數(shù)據(jù)預(yù)處理，篩選出加速度計(jì)某個(gè)軸輸出接近g，另外2個(gè)軸輸出接近為0的靜止姿態(tài)數(shù)據(jù)，通過(guò)最小二乘法修正初值。

2)實(shí)際測(cè)試結(jié)果表明，由于初值的修正，與單純LM校準(zhǔn)算法比，本文方法降低了對(duì)初值的依賴，提高了訓(xùn)練效率。與橢球擬合法相比，本文方法標(biāo)定時(shí)間短、精度高，解算參數(shù)的靜止姿態(tài)觀測(cè)樣本數(shù)量需求不高。

3)與傳統(tǒng)十二面體校準(zhǔn)法相比，本文方法不需要轉(zhuǎn)臺(tái)與治具，并能達(dá)到與傳統(tǒng)校準(zhǔn)方法相同的精度，并可以實(shí)現(xiàn)加速度計(jì)的實(shí)時(shí)自校準(zhǔn)，針對(duì)可穿戴設(shè)備在未來(lái)能起到更廣泛的應(yīng)用。

4)綜上所述，本文所闡述的方法融合了傳統(tǒng)誤差模型參數(shù)求解的方法與人工智能訓(xùn)練的方法的優(yōu)點(diǎn)。傳統(tǒng)誤差模型求解方程的算法可以為了數(shù)據(jù)訓(xùn)練提供更精準(zhǔn)的收斂方向，LM算法則擺脫了治具的限制，為加速度的自校準(zhǔn)提供了新的方向。