王旭東，朱擁勇，王德石

(1.海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院，武漢 430033；2.中國人民解放軍92064部隊(duì)，廣東 東莞 523900)

同時(shí)具有內(nèi)部聲場和外部自由聲場的聲振耦合系統(tǒng)廣泛存在于汽車、飛機(jī)和潛艇等運(yùn)載工具和武器平臺之中。結(jié)構(gòu)與聲介質(zhì)因振動相互作用而產(chǎn)生的中低頻噪聲會對人員及設(shè)備產(chǎn)生負(fù)面影響，輻射噪聲影響人員舒適性和造成環(huán)境污染，在軍事上，聲輻射過大會影響武器系統(tǒng)的隱身性和自身的聲吶探測距離[1]。因此在準(zhǔn)確計(jì)算聲輻射的基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)設(shè)計(jì)材料的結(jié)構(gòu)分布以使耦合系統(tǒng)在所關(guān)心的激勵(lì)頻段下具有較低的聲輻射值的研究十分必要。

作為新興的結(jié)構(gòu)動力優(yōu)化方法，不同于尺寸優(yōu)化[2]和形狀優(yōu)化[3]僅能改變已知設(shè)計(jì)部件的尺寸，拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)是尋求最優(yōu)的結(jié)構(gòu)材料分布以滿足性能和結(jié)構(gòu)工藝等多方面要求[4]。國、內(nèi)外諸多研究者在減振降噪問題上采用拓?fù)鋬?yōu)化法開展了研究。在內(nèi)聲場優(yōu)化問題中，Akl等[5]采用有限元法建立內(nèi)聲場聲輻射模型，采用MMA法優(yōu)化柔性板厚度，降低了聲腔內(nèi)的聲輻射，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)吻合較好；Dühring等[6]結(jié)合混合有限元法和MMA優(yōu)化法實(shí)現(xiàn)在無法明確耦合邊界的情況下解決聲-結(jié)構(gòu)耦合優(yōu)化問題；隨后Kook[7]用Comsol軟件實(shí)現(xiàn)將混合有限元法擴(kuò)展至BESO優(yōu)化方法中，優(yōu)化結(jié)果與采用傳統(tǒng)有限元法的文獻(xiàn)[8]結(jié)果一致。在外聲場優(yōu)化問題的研究中，陳爐云等[9]結(jié)合ESO優(yōu)化法和單向耦合的邊界元法研究了簡支板在低頻率下外場聲輻射優(yōu)化問題；張軍[10]推導(dǎo)了空氣為聲介質(zhì)的有限元-邊界元耦合方法的聲壓級和輻射聲功率靈敏度公式，并以板厚為設(shè)計(jì)變量對薄板聲輻射進(jìn)行優(yōu)化；針對兩相材料板結(jié)構(gòu)的聲輻射拓?fù)鋬?yōu)化問題，文獻(xiàn)[11-12]通過優(yōu)化布局兩種彈性材料的方式降低聲輻射；此后，黃其柏在上述基礎(chǔ)上研究了板結(jié)構(gòu)聲輻射計(jì)算方法和輻射特性，提出約束阻尼復(fù)合板的拓?fù)鋬?yōu)化方法；Zhang等[13]采用狀態(tài)空間中的復(fù)模態(tài)疊加法求解非比例全局阻尼的復(fù)合板聲響應(yīng)，伴隨變量法進(jìn)行聲壓靈敏度分析，通過合理分配阻尼層材料達(dá)到最小化指定點(diǎn)聲壓的目標(biāo)。

目前，聲振耦合方法的研究大多針對單一的有限內(nèi)聲場[5-8]或無限大/半無限大自由聲場問題[9-13]，且在處理自由聲場靈敏度分析時(shí)往往忽略了聲介質(zhì)對結(jié)構(gòu)的反作用，無法適用于內(nèi)聲場和外部自由聲場均存在的聲輻射問題和強(qiáng)耦合問題?；谏鲜鰡栴}，本文結(jié)合聲振耦合有限元方程和邊界元法，推導(dǎo)了內(nèi)外聲場聲壓的耦合計(jì)算公式，并提出一種新的強(qiáng)耦合聲功率的靈敏度求解方法，通過不同設(shè)計(jì)條件下的聲輻射優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果驗(yàn)證了聲輻射預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性和靈敏度方法在優(yōu)化過程中的適用性。

1 聲輻射問題

1.1 聲學(xué)基本方程

聲振耦合示意圖如圖1所示，假定流體是可壓縮的，無黏且無旋，忽略自由表面重力效應(yīng)的均勻理想聲學(xué)介質(zhì)，聲壓滿足如下的波動方程：

(1)

?2pf+(ω/c0)2pf=0

(2)

在流固交界面上，應(yīng)滿足如下的運(yùn)動學(xué)和力學(xué)條件：

(3)

usns+ufnf=0

(4)

σs|ns=-pf

(5)

式中：ρf為流體密度，nf為耦合表面從聲場指向結(jié)構(gòu)的法向量，ns為耦合表面從結(jié)構(gòu)指向聲場的法向量，σs為結(jié)構(gòu)應(yīng)力，us為結(jié)構(gòu)位移向量。

圖1 聲振耦合示意

1.2 內(nèi)聲場聲振耦合的有限元法

結(jié)構(gòu)域的平衡狀態(tài)方程為

(6)

式中：ρs為結(jié)構(gòu)質(zhì)量密度，fs為結(jié)構(gòu)所受外激勵(lì)。

聯(lián)立式(2)、(3)～式(6)，并采用加權(quán)余量的伽遼金法可得到聲振耦合的有限元方程[14]：

(7)

式中：Ks、Kf分別為結(jié)構(gòu)域和流體域的系統(tǒng)剛度矩陣，Ms、Mf分別為結(jié)構(gòu)域和流體域系統(tǒng)質(zhì)量矩陣，C為系統(tǒng)耦合矩陣。

為方便后文推導(dǎo)計(jì)算，式(7)可簡寫為

(Kfe-ω2Mfe)Xfe=Ffe

(8)

1.3 自由場聲振耦合的邊界元法

穩(wěn)態(tài)諧激勵(lì)下，為求解結(jié)構(gòu)表面上受到介質(zhì)的壓力，需要建立介質(zhì)中任一點(diǎn)的聲壓積分方程。對聲壓和格林函數(shù)應(yīng)用格林第二公式，由Sommerfeld輻射定律，外域自由聲場通過Helmholtz積分方程求解：

(9)

式中：px為源點(diǎn)聲壓；py為場點(diǎn)聲壓;c為空間角系數(shù)，光滑面上取0.5，聲場內(nèi)取1;G(x,y)為自由空間格林函數(shù);Γbe為自由場聲輻射邊界。

以二維空間為例，對于二維聲場問題，格林函數(shù)G(x,y)和其對場點(diǎn)處的法向?qū)?shù)的基本階函數(shù)如下：

(10)

(11)

聯(lián)立式(3)，式(9)～式(11)，并通過Kronecker函數(shù)合并聲壓項(xiàng)得到邊界積分方程：

Hpbe-Gvbe=0

(12)

式中：H、G分別為采用邊界積分方程得到的頻率相關(guān)的矩陣，pbe、vbe分別為邊界上的聲壓和法向速度向量。

1.4 聲振耦合方程及輻射聲功率

當(dāng)聲場由有限大內(nèi)聲場和無限大自由聲場組成時(shí)，式(8)的平衡方程須引入自由場聲介質(zhì)對結(jié)構(gòu)表面的反作用力項(xiàng)為

(Kfe-ω2Mfe)Xfe=Ffe+Lpbe

(13)

式中L為結(jié)構(gòu)與自由聲場的邊界壓強(qiáng)與邊界法向作用力的耦合矩陣。

(14)

由穩(wěn)態(tài)諧波激勵(lì)下的界面位移與界面法向速度的界面連續(xù)性條件可知：

(15)

式中：Nu為結(jié)構(gòu)單元的位移形函數(shù)，Γe為自由聲場與結(jié)構(gòu)的單元耦合邊界，m為耦合邊界單元總數(shù)。上式求積分并求逆移項(xiàng)后，將結(jié)構(gòu)位移從邊界單元擴(kuò)充至全局響應(yīng)向量Xfe得到：

(16)

式中：Mbe為邊界質(zhì)量矩陣，其表達(dá)式即為式(15)左端積分項(xiàng)；聯(lián)立式(12)、(13)和式(16)，得到修正后含外部自由聲場的聲振耦合方程

(17)

直接求解式(17)即可得到內(nèi)外聲場聲壓值以及結(jié)構(gòu)邊界位移。同式(14)，采用形函數(shù)Np對自由場邊界聲速和聲壓進(jìn)行采用統(tǒng)一的插值離散并代入上式，得到聲功率W的數(shù)值計(jì)算公式為[15]

(18)

式中Re為取計(jì)算值的實(shí)部。

式(18)在聲功率靈敏度求解中不便于解耦變量，為方便后文求解單元靈敏度，需要將聲功率公式修改為用結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)表達(dá)的方式。將邊界積分方程式(12)代入上式并由復(fù)共軛矩陣乘法規(guī)則得到采用邊界振速表示的結(jié)構(gòu)聲功率的表達(dá)式：

(19)

聲功率靈敏度是求聲功率對結(jié)構(gòu)單元狀態(tài)參數(shù)xi求微分，為方便計(jì)算，應(yīng)使式(19)盡量簡單。由實(shí)部操作符得到式(19)的簡單表達(dá)式：

(20)

其中

將式(16)代入式(20)，得到輻射聲功率關(guān)于Xfe的關(guān)系式：

(21)

其中

2 單元靈敏度分析與優(yōu)化算法

拓?fù)鋬?yōu)化問題需要對目標(biāo)函數(shù)相對設(shè)計(jì)變量的靈敏度進(jìn)行分析，由輻射聲功率的表達(dá)式可知，在外載荷和輻射邊界不發(fā)生變化的情況下，輻射聲功率僅與結(jié)構(gòu)表面法向速度vbe有關(guān)，即是結(jié)構(gòu)響應(yīng)Xfe的函數(shù)。Kang等[16-17]利用伴隨變量法(AVM)推導(dǎo)出廣義結(jié)構(gòu)響應(yīng)函數(shù)g(Xfe)的靈敏度分析方法，該方法明確指出靈敏度依賴于結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的幅值，隨后他們團(tuán)隊(duì)采用這種伴隨變量法計(jì)算僅考慮單向耦合的聲壓靈敏度[13]，取得了一定的成果。本文將該方法推廣到強(qiáng)耦合的聲功率靈敏度分析中。

2.1 聲功率單元靈敏度的AVM方法

在本文中，首先將AVM方法擴(kuò)展到重介質(zhì)的靈敏度分析中。對于依賴于位移響應(yīng)Xfe的結(jié)構(gòu)響應(yīng)g(Xfe)，其目標(biāo)函數(shù)可以通過引入兩個(gè)拉格朗日乘子的和改寫為

(22)

式中，Kd=Kfe-ω2Mfe。上式中存在與Xfe不統(tǒng)一的變量pbe，聯(lián)立式(12)和式(16)可得

Lpbe=BXfe

(23)

(24)

將式(24)兩邊對設(shè)計(jì)變量xi求導(dǎo)，可得

(25)

令伴隨向量滿足以下方程：

(26)

式中μ1、μ2滿足μ1=(μ2)H。式(25)可以化簡為

(27)

由聲振耦合方程(17)求解的Xfe是復(fù)向量，將其分解為實(shí)部與虛部之和的形式代入式(21)，得到輻射聲功率的表達(dá)式：

(28)

式中( )R、( )I分別為取實(shí)部和虛部。式(28)對Xfe求導(dǎo)得到：

(29)

(30)

將式(29)、(30)代入式(26)可得到伴隨向量的表達(dá)式：

(31)

求解式(31)即可得到拉格朗日乘子μ1，進(jìn)而輻射聲功率靈敏度可由式(27)得出

(32)

由上述伴隨變量法的推導(dǎo)過程可以發(fā)現(xiàn)，該方法推導(dǎo)過程較為繁瑣，中間變量較多，容易出錯(cuò)。因此，本文提出更為簡潔高效的直接求導(dǎo)法求解輻射聲功率靈敏度。

2.2 聲功率單元靈敏度的直接求導(dǎo)法

式(21)中的輻射聲功率W直接對單元變量xi求導(dǎo)，并由實(shí)部操作符得到聲功率的簡單形式：

(33)

式(13)和式(23)分別對xi求導(dǎo)得到：

(34)

由式(34)得到：

(35)

將式(35)代入式(33)得到輻射聲功率的單元靈敏度公式：

(36)

對比本文的直接求導(dǎo)法和AVM法可以發(fā)現(xiàn)，本文方法的推導(dǎo)過程較為簡潔高效，中間變量少。最終的靈敏度公式中的各矩陣都在AVM法的最終公式中出現(xiàn)，不需要計(jì)算額外的變量，說明靈敏度計(jì)算量也并未增加。

2.3 目標(biāo)函數(shù)與優(yōu)化算法

體積約束條件下，以輻射聲功率C最小化為目標(biāo)函數(shù)，則結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

(37)

式中：V*為結(jié)構(gòu)有效體積，xi為單元狀態(tài)變量(取xmin或1)。

在涉及到特征值問題的優(yōu)化中，低密度區(qū)域容易產(chǎn)生局部模態(tài)。在使用BESO優(yōu)化方法時(shí)，Huang等[18]對質(zhì)量和剛度采用相同的罰函數(shù)冪率，該模型對部分優(yōu)化問題是有效的。但是在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，采用這種方法后有些優(yōu)化問題在失效單元區(qū)域仍然會出現(xiàn)局部模態(tài)，這導(dǎo)致優(yōu)化過程中結(jié)構(gòu)拓?fù)渫蛔?，迭代不穩(wěn)定難以收斂。Pedersen[19]提出線性化單元剛度的方法，該方法可以使單元在極低密度時(shí)仍然能保持較高的剛度質(zhì)量比，可有效避免偽本征模，使優(yōu)化結(jié)果更加合理，罰函數(shù)模型如下：

(38)

式中：ρ0為結(jié)構(gòu)初始密度，E0為結(jié)構(gòu)初始彈性模量，p為罰因子。

結(jié)合BESO方法中單元狀態(tài)變量xi僅可取xmin或1的特點(diǎn)，同時(shí)為保證罰函數(shù)模型的連續(xù)性，本文提出以下改進(jìn)的罰函數(shù)模型：

(39)

拓?fù)鋬?yōu)化過程中需要采用基于半徑濾波法和單元靈敏度歷史平均方法等來避免“孤立網(wǎng)格”和加速收斂。具體的耦合優(yōu)化的計(jì)算流程如下：

1)初始化結(jié)構(gòu)參數(shù)。定義初始耦合域的物理參數(shù)、定義BESO算法的各初始參數(shù)；

2)生成數(shù)值網(wǎng)格、生成單元矩陣和耦合矩陣并組裝生成有限元聲振耦合方程，生成結(jié)構(gòu)外表面邊界元的各矩陣；

3)根據(jù)步驟2)計(jì)算各矩陣，求解系統(tǒng)響應(yīng)。根據(jù)式(38)計(jì)算單元靈敏度。進(jìn)行靈敏度過濾和靈敏度歷史平均[20]；

4)判斷失效單元是否與聲學(xué)單元相鄰，如果相鄰，則將失效單元轉(zhuǎn)變?yōu)槁晫W(xué)單元，并更新結(jié)構(gòu)域和流體域；

5)根據(jù)更新后的各域，識別結(jié)構(gòu)域和流體域的耦合單元和耦合邊界；

6)進(jìn)行收斂性判斷，如不滿足收斂條件，則重復(fù)步驟2)～步驟5)，直到滿足收斂條件。

3 數(shù)值算例

3.1 聲輻射數(shù)值計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文文建立的聲振耦合方程的正確性，設(shè)置驗(yàn)證算例。無限大水中放置一個(gè)內(nèi)徑為1.0 m外徑為1.2 m的鋁質(zhì)圓環(huán)，結(jié)構(gòu)密度為2 700 kg/m3，彈性模量為69 GPa，泊松比為0.3，內(nèi)聲場和外聲場介質(zhì)為水，其密度為1 000 kg/m3，聲速為1 450 m/s。圓環(huán)內(nèi)側(cè)頂點(diǎn)處施加頻率為10 Hz，幅值為1 N，方向?yàn)閥軸方向的激勵(lì)力。

采用Matlab編程計(jì)算圓環(huán)內(nèi)外的耦合聲場，并與無反射邊界法的計(jì)算計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比。在無反射邊界中，取圓環(huán)外側(cè)半徑5 m的同心圓為外側(cè)計(jì)算域，外邊界設(shè)置為無反射邊界，材料屬性和其他邊界條件與聲振耦合法相同，兩種方式的聲壓計(jì)算結(jié)果如圖2所示。對比可知，本文的聲振耦合法與無反射邊界法計(jì)算的內(nèi)、外場聲壓分布基本一致。

圖2 圓環(huán)內(nèi)外聲場聲壓分布

圖3給出圓環(huán)外邊界聲壓實(shí)部的分布曲線，為方便比較，設(shè)置起始點(diǎn)為圓環(huán)左側(cè)中點(diǎn)(與圖3中弧度為0處相對應(yīng))，沿順時(shí)針方向。兩種數(shù)值方法計(jì)算的整體匹配度較好，但在谷值處誤差相對較大，原因在于有限元的無反射邊界對正入射波吸收性較好，但對傾斜入射波有一定的反射作用，因此與實(shí)際值有一定誤差。此外可明顯看出無反射邊界法的曲線在對稱節(jié)點(diǎn)上的聲壓值略微不對稱，而邊界條件和外載荷均是對稱，其邊界聲壓實(shí)部也應(yīng)該是對稱的。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是劃分有限元網(wǎng)格無法做到完全對稱，造成一定的誤差。因此，可以認(rèn)為采用聲振耦合方程可獲得良好的聲壓預(yù)報(bào)結(jié)果。

圖3 結(jié)構(gòu)表面聲壓實(shí)部分布

3.2 算例1

圖4為算例1的設(shè)計(jì)模型，設(shè)計(jì)域?yàn)橐煌獠堪霃?.0 m，內(nèi)部半徑2.0 m的半圓環(huán)，外圈厚度0.1 m部分為非設(shè)計(jì)域，初始設(shè)計(jì)域?yàn)槿O(shè)計(jì)域的80%(即圖中半徑2.2 m部分)，半圓環(huán)兩側(cè)的底部固定約束，內(nèi)部流體的底部邊界為零聲壓邊界。內(nèi)外聲場的聲介質(zhì)均為水，聲介質(zhì)屬性和結(jié)構(gòu)材料屬性同聲輻射數(shù)值計(jì)算結(jié)果。內(nèi)聲場中點(diǎn)Pin點(diǎn)為一幅值大小為100 Pa的聲壓激勵(lì)，激勵(lì)頻率為125 Hz。本算例以結(jié)構(gòu)外表面輻射聲功率最小化為目標(biāo)函數(shù)，設(shè)置目標(biāo)體積為全結(jié)構(gòu)域的80%不變。計(jì)算域用最大0.03 m尺寸的四邊形四節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元離散，過濾半徑rmin=0.1 m，罰函數(shù)因子p=3，xmin=0.000 1。

圖4 拱形梁設(shè)計(jì)模型

為驗(yàn)證本文所提靈敏度方法的設(shè)計(jì)效果，同條件下采用AVM靈敏度法進(jìn)行對比。迭代過程的聲功率級和靈敏度計(jì)算消耗時(shí)間如圖5所示，其中基準(zhǔn)聲功率為1×10-12W。兩種方法的目標(biāo)函數(shù)在迭代過程中除了在開始有小幅波動之外，均很快達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)，說明兩種靈敏度方法的魯棒性較好，且最終的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)一致。對比兩種方法在迭代過程中靈敏度部分消耗的時(shí)間可以發(fā)現(xiàn)，兩種靈敏度求解方法在每一個(gè)迭代步中的分析時(shí)間沒有明顯差異。從式(32)和式(36)看出，兩個(gè)靈敏度計(jì)算公式都包含相似的變量，因此計(jì)算時(shí)間沒有太大差異。

圖5 目標(biāo)函數(shù)和靈敏度計(jì)算時(shí)間的迭代曲線

結(jié)構(gòu)對外聲輻射情況也體現(xiàn)在外部聲場的聲壓級分布情況上。圖6為優(yōu)化前、后結(jié)構(gòu)拓?fù)鋱D與內(nèi)部聲場和部分外部聲場的聲壓級響應(yīng)分布，外部聲場截取10 m×6 m范圍。對比內(nèi)部聲場，優(yōu)化前、后僅分布范圍改變，強(qiáng)度未發(fā)生明顯變化，但從外部聲場的聲壓級分布可以看出，初始設(shè)計(jì)的外聲場存在大范圍的高聲壓級區(qū)域。優(yōu)化設(shè)計(jì)模型中，該區(qū)域聲壓級明顯低于初始設(shè)計(jì)，這也印證了優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的聲輻射得到有效的降低。

圖6 優(yōu)化前、后結(jié)構(gòu)拓?fù)浜吐晧杭壏植?/p>

3.3 算例2

算例1為鋁在水介質(zhì)中的聲輻射優(yōu)化，為研究不同聲介質(zhì)和結(jié)構(gòu)材料的優(yōu)化效果，算例2的設(shè)計(jì)模型同算例1，改變聲介質(zhì)和結(jié)構(gòu)材料。初始設(shè)計(jì)域?yàn)槿O(shè)計(jì)域，半圓環(huán)兩側(cè)的底部固定約束，流體下邊界為剛性邊界。圓環(huán)內(nèi)部和外部輻射聲場的聲介質(zhì)均為空氣，密度為1.21 kg/m3，聲速為343 m/s。結(jié)構(gòu)的材料密度為800 kg/m3，彈性模量為2 GPa，泊松比為0.3。聲壓激勵(lì)源位于圓心處Pin點(diǎn)，幅值大小為100 Pa，激勵(lì)頻率為205 Hz。以結(jié)構(gòu)外表面輻射聲功率最小化為目標(biāo)函數(shù)，設(shè)置目標(biāo)體積為全結(jié)構(gòu)域的65%。單次迭代的體積縮減率為2%，過濾半徑rmin=0.1 m，罰函數(shù)因子p=3，xmin=0.000 1。

為方便對比外聲場情況，截取外部半徑為6 m的圓環(huán)區(qū)域。圖7為優(yōu)化前、后同色度范圍的聲壓級分布圖和結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螒B(tài)。結(jié)構(gòu)拓?fù)涞倪吔缜逦?，且較為規(guī)整，內(nèi)部聲場和外部聲場的聲壓級得到大幅的降低。這與圖8的迭代曲線相對應(yīng)，結(jié)構(gòu)拓?fù)錆u變穩(wěn)定，迭代曲線未出現(xiàn)大幅波動，聲功率級從初始的104.8 dB降低至62.1 dB，降低幅度達(dá)到40.7%。從優(yōu)化前、后內(nèi)部聲場的分布情況看，由激勵(lì)源聲波、邊界反射聲波以及結(jié)構(gòu)振動輻射聲波相互疊加形成環(huán)形的低聲壓帶，由于結(jié)構(gòu)拓?fù)涞母淖儯吐晧簬Х植嘉恢煤蛡€(gè)數(shù)發(fā)生改變。為方便觀察內(nèi)部聲壓帶與外部輻射聲場的關(guān)系，圖7還給出聲壓級高對比圖，從圖中圈出部分可以看出，圓環(huán)內(nèi)邊界上的聲壓帶個(gè)數(shù)與外聲場高(或低)聲壓是對應(yīng)的。

圖7 優(yōu)化前、后結(jié)構(gòu)拓?fù)浜吐晧杭壏植?/p>

圖8 目標(biāo)函數(shù)和約束體積的優(yōu)化迭代曲線

3.4 算例3

圖9為算例3的設(shè)計(jì)模型，結(jié)構(gòu)域?yàn)?.0 m×0.2 m的固支梁，梁頂部0.02 m部分為非設(shè)計(jì)域，初始設(shè)計(jì)域即為全設(shè)計(jì)域，結(jié)構(gòu)密度為2 700 kg/m3，彈性模量為69 GPa，泊松比為0.3，設(shè)置目標(biāo)體積為全結(jié)構(gòu)域的85%。結(jié)構(gòu)域下側(cè)聲介質(zhì)域?yàn)?.0 m×0.2 m的矩形域，聲介質(zhì)為水，梁上側(cè)聲介質(zhì)為空氣，各介質(zhì)屬性與上文相同。聲壓激勵(lì)源為矩形流體域的下邊界，幅值大小為100 Pa，激勵(lì)頻率為1 940 Hz。同樣以聲功率最小化為目標(biāo)函數(shù)。設(shè)計(jì)域離散為200×40個(gè)四邊形單元，體積縮減率設(shè)置為1%，過濾半徑rmin=0.015 m，罰函數(shù)因子p=3，xmin=0.000 1。

圖9 固支梁設(shè)計(jì)模型

截取固支梁上方2.0 m×1.0 m區(qū)域的聲壓級分布來比較優(yōu)化結(jié)果，如圖10所示。可以看出，優(yōu)化后的外聲場聲壓得到明顯降低。圖中的等值線上數(shù)值表明，初始設(shè)計(jì)的輻射聲場最大聲壓級達(dá)到100 dB，且占據(jù)固支梁上方的大部分區(qū)域，優(yōu)化構(gòu)型的最大輻射聲壓級降低至65 dB，降低幅度約35%。圖11顯示了兩種模型在不同激勵(lì)頻率下的聲功率級曲線，激勵(lì)頻率位于初始設(shè)計(jì)模型的第2個(gè)響應(yīng)峰值處，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)輻射聲功率峰值頻率降低，避開激勵(lì)頻率所在位置，使其位于響應(yīng)谷值附近，聲功率級從初始的70.6 dB降低至54.7 dB，降低幅度達(dá)22.5%。圖12為優(yōu)化迭代曲線，與前文一致，迭代曲線平緩，結(jié)構(gòu)拓?fù)湫问轿窗l(fā)生突變，說明本文算法的穩(wěn)定性較好。

圖10 優(yōu)化前、后結(jié)構(gòu)拓?fù)浜吐晧杭壏植?/p>

圖11 聲功率頻率響應(yīng)曲線

圖12 目標(biāo)函數(shù)和約束體積的優(yōu)化迭代曲線

4 結(jié) 論

1)建立的含內(nèi)部聲場的強(qiáng)耦合有限元/邊界元模型計(jì)算精度較高，可用于求解耦合系統(tǒng)的聲輻射問題。

2)提出的直接求導(dǎo)法與經(jīng)典的伴隨變量法得到的優(yōu)化結(jié)果一致，且魯棒性較好。

3)本文的線性化剛度模型和靈敏度分析法適用于不同結(jié)構(gòu)材料與聲介質(zhì)問題，因此使用本文的優(yōu)化算法可以得到最優(yōu)拓?fù)洹?/p>