羅文軍

(甘肅省秦安縣第二中學(xué) 741600)

以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為背景考查三角形面積問(wèn)題和定值問(wèn)題是近幾年高考和各類?？荚囶}中的熱點(diǎn)題型，這類試題可以很好地考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和函數(shù)與方程思想，可以很好地考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力等關(guān)鍵能力，可以很好地考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).下面選取了一道關(guān)于橢圓內(nèi)接三角形面積和定值問(wèn)題的?？荚囶}進(jìn)行解法探究和拓展探究.

一、題目呈現(xiàn)

(1)求橢圓方程；

這道試題第(1)問(wèn)考查了橢圓的幾何性質(zhì)，第(2)問(wèn)考查了橢圓的內(nèi)接三角形面積和向量的綜合應(yīng)用.

二、題目解析

1.第(1)問(wèn)解析

評(píng)注根據(jù)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和離心率的定義，將已知條件代入解出長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和半焦距的值，再根據(jù)b2=a2-c2解出b2值，從而得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.

2.第(2)問(wèn)解析

評(píng)注根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式和向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，把AB看成△ABC的底邊，再分直線AB斜率不存在和存在兩種情況計(jì)算△ABC的面積，特別地，當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線AB和橢圓方程，表示出兩根之和與兩根之積，表示出弦長(zhǎng)|AB|和點(diǎn)C的坐標(biāo)，再運(yùn)用整體代換的思想可求出△ABC的面積.

三、題目拓展

本文從多視角對(duì)例題進(jìn)行多解探究，在習(xí)題教學(xué)實(shí)踐中這樣做有利于啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用發(fā)散思維思考問(wèn)題，為學(xué)生學(xué)會(huì)解題方法提供多樣化選擇，也有利于培育學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)探索精神，有利于促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，有利于發(fā)揮?？碱}的最大功效，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，打破題海戰(zhàn)術(shù)形成的思維定勢(shì).通過(guò)對(duì)這道圓錐曲線的多解探究，也提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).