◎ 于洪波

2019年開(kāi)始使用的滬教版高一數(shù)學(xué)新教材將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)三類(lèi)具體函數(shù)放在一般函數(shù)內(nèi)容的前面，為學(xué)習(xí)一般函數(shù)的概念和性質(zhì)做鋪墊。這是與滬教版高一數(shù)學(xué)舊教材不同的地方，也是需要我們改變觀念來(lái)重新認(rèn)知和把握教學(xué)尺度的地方。這種變化不僅體現(xiàn)了新教材“特殊到一般、具體到抽象”的理念，也凸顯了冪函數(shù)在整個(gè)單元中的地位和重要性。冪函數(shù)作為學(xué)生在高中階段接觸的第一類(lèi)具體函數(shù)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的形成起著承前啟后的作用。筆者以冪函數(shù)為例，論述在高中函數(shù)教學(xué)中如何借助TI圖形計(jì)算器為學(xué)生創(chuàng)設(shè)必要的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)建構(gòu)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

一、感知函數(shù)的圖像特征，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)

學(xué)生在冪函數(shù)的第一課時(shí)中利用描點(diǎn)法繪制了三個(gè)典型的冪函數(shù)的圖像。但在第二課時(shí)的學(xué)習(xí)中，僅僅根據(jù)這三個(gè)冪函數(shù)的圖像來(lái)感知這一類(lèi)函數(shù)的圖像特征，對(duì)大多數(shù)學(xué)生而言還是有困難的，還需要大量的具體函數(shù)的圖像才能完成從特殊到一般的歸納。如果繼續(xù)利用描點(diǎn)法進(jìn)行研究，不僅效率低下，還會(huì)影響學(xué)生的探究熱情。借助TI圖形計(jì)算器的游標(biāo)功能，動(dòng)態(tài)演示冪函數(shù)的圖像，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)圖像的共同特征，即冪函數(shù)在第一象限都有圖像。此時(shí)，學(xué)生再調(diào)整窗口，聚焦第一象限，借助TI圖形計(jì)算器的游標(biāo)功能，進(jìn)一步感知其在第一象限的圖像特征。經(jīng)歷冪函數(shù)的圖像特征的抽象過(guò)程，學(xué)生也會(huì)用同樣的方式，再去感知指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征，感知函數(shù)y=ax與（a＞0，a≠1）的圖像之間的關(guān)系，感知函數(shù)y=loga x與（a＞0，a≠1）的圖像之間的關(guān)系，感知函數(shù)y=ax與y=loga x（a＞0，a≠1）的圖像之間的關(guān)系。在抽象函數(shù)圖像特征教學(xué)的過(guò)程中，教師借助TI圖形計(jì)算器不僅培養(yǎng)了學(xué)生的自主探究能力，也發(fā)展了他們數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

二、理解抽象函數(shù)的性質(zhì)，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

在直觀感受冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖像特征的基礎(chǔ)上，還要會(huì)用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，這對(duì)剛剛進(jìn)入高中階段的學(xué)生而言，既是一次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的飛躍，也是難得的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，借助技術(shù)的輔助充分體會(huì)數(shù)學(xué)的“味道”。

如在用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)冪函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程中，教師可以利用TI圖形計(jì)算器直觀演示直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)及其坐標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生形成用坐標(biāo)刻畫(huà)左右及上下相對(duì)位置關(guān)系的意識(shí)；隨后再借助TI圖形計(jì)算器從左至右動(dòng)態(tài)演示圖像上的點(diǎn)或直接從左至右拖動(dòng)圖像上的點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察圖像上的點(diǎn)從左至右橫、縱坐標(biāo)的變化，進(jìn)而感知函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大的含義，即如果我們把這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為x1、x2，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別記為y1、y2，那么函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大即為：當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＜y2。這樣就形成了a＞0時(shí)冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是嚴(yán)格增函數(shù)的符號(hào)表述。通過(guò)類(lèi)比，學(xué)生還可以得到a＜0時(shí)冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是嚴(yán)格減函數(shù)的符號(hào)表述。根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的理念，不僅要利用技術(shù)手段增強(qiáng)數(shù)學(xué)的直觀性，更要進(jìn)一步側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生如何用數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫(huà)幾何直觀。學(xué)會(huì)了刻畫(huà)冪函數(shù)函數(shù)值的變化規(guī)律，學(xué)生再去嘗試刻畫(huà)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)值的變化規(guī)律，鞏固、發(fā)展對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解，這就為第五章學(xué)習(xí)一般函數(shù)的單調(diào)性奠定了基礎(chǔ)。

三、形成從幾何直觀到嚴(yán)格論證的代數(shù)說(shuō)理，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

完成了對(duì)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)分別是嚴(yán)格增函數(shù)或嚴(yán)格減函數(shù)的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的刻畫(huà)，還需用代數(shù)運(yùn)算的方法加以證明，這與舊教材直接由圖像歸納三類(lèi)函數(shù)的性質(zhì)完全不同，凸顯了新教材重視發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。

新教材中是按照“特殊到一般、具體到抽象”的原則，把奇偶性放在三類(lèi)具體函數(shù)的后面學(xué)習(xí)。那么如何幫助學(xué)生解決這個(gè)難點(diǎn)，弄清楚冪函數(shù)圖像的位置規(guī)律，做到繁而不亂呢?學(xué)生借助TI圖形計(jì)算器作出大量?jī)绾瘮?shù)的圖像，按不同位置進(jìn)行梳理，猜測(cè)各種情況的圖像特征，并借助TI圖形計(jì)算器的列表功能去觀察、分析圖像位置的不同情況以及圖像上點(diǎn)的分布規(guī)律。通過(guò)列表，學(xué)生很容易歸納出以下三種情況：①圖像不具有對(duì)稱(chēng)性的，位于第一象限；②圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的，位于第一、二象限；③圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，位于第一、三象限。完成了圖像分布特征的抽象，如何用代數(shù)運(yùn)算的方法說(shuō)明冪函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性呢？以函數(shù)為例，借助TI圖形計(jì)算器的分屏與列表功能，學(xué)生可以觀察到圖像上的點(diǎn)（–1，1）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（1，1）仍在圖像上，點(diǎn)（–2，0.62）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（2，0.62）也在圖像上。一般地，函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是否仍在函數(shù)的圖像上？選一個(gè)一般化的點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否滿足，引導(dǎo)學(xué)生抽象出代數(shù)說(shuō)理的方法。這樣不僅借助技術(shù)幫助學(xué)生清晰地建立冪函數(shù)的整體的直觀形象，鞏固學(xué)生對(duì)圖像對(duì)稱(chēng)性的代數(shù)說(shuō)理，同時(shí)也為函數(shù)y=ax與、y=loga x與及y=ax與y=loga x（a＞0，a≠1）圖像之間的關(guān)系的代數(shù)說(shuō)理打下了基礎(chǔ)，有助于學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的提升。

再如對(duì)冪函數(shù)第二課時(shí)中例5、例6的教學(xué)，多數(shù)學(xué)生會(huì)根據(jù)初中階段已有知識(shí)直觀地說(shuō)出“左加右減、上加下減”的平移規(guī)律，但講不清楚為什么是這樣。在直觀認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，為了進(jìn)一步幫助學(xué)生增強(qiáng)對(duì)圖像平移的代數(shù)理解，教師可以利用TI圖形計(jì)算器的分屏與列表功能，引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)函數(shù)圖像上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，體會(huì)圖像之間的平移關(guān)系。函數(shù)的圖像上的點(diǎn)（1，1）向右平移2個(gè)單位后的點(diǎn)（3，1）在函數(shù)的圖像上，點(diǎn)向右平移2個(gè)單位后的點(diǎn)也在函數(shù)的圖像上，那么一般地，函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平移2個(gè)單位后的點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上嗎？選一個(gè)一般化的點(diǎn)，判斷點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足。這樣不僅抽象出圖像平移的代數(shù)運(yùn)算的說(shuō)理方法，也可以幫助學(xué)生用集合的觀點(diǎn)體會(huì)為什么需分兩個(gè)方面加以說(shuō)明，同時(shí)鞏固了關(guān)于函數(shù)圖像對(duì)稱(chēng)性的代數(shù)運(yùn)算的說(shuō)理方法，發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。

整體思考、整體設(shè)計(jì)，以知識(shí)鏈為主線，融合數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，是落實(shí)新課標(biāo)理念的基本思路。類(lèi)比冪函數(shù)的學(xué)習(xí)，繼續(xù)沿用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的方法來(lái)探究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，在感知圖像特征及性質(zhì)的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)；在用代數(shù)運(yùn)算的方法證明的過(guò)程中提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)；在利用函數(shù)模型解決科學(xué)領(lǐng)域和日常生活中的一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。這是函數(shù)單元落實(shí)核心素養(yǎng)的基本做法。

如在形成冪函數(shù)單調(diào)性的代數(shù)說(shuō)理的過(guò)程中，按照“特殊到一般”的原則，可通過(guò)分別證明y=x2、是（0，+∞）上的嚴(yán)格增函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生從中體會(huì)冪的指數(shù)已經(jīng)擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)，而且在擴(kuò)充的過(guò)程中，到了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，結(jié)合、，學(xué)生體會(huì)到作差比較法沒(méi)有作商比較法來(lái)得更直接；到了無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，不等式的基本性質(zhì)不好用了；按照正難則反的原則，還有學(xué)生會(huì)想到反證法，而反證法更是困難重重。這就凸顯引進(jìn)冪的基本不等式的必要性。此時(shí)，再去證明a＞0時(shí)冪函數(shù)y=xa是（0，+∞）上的嚴(yán)格增函數(shù)必定順理成章、水到渠成。這也為指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的證明打下基礎(chǔ)。

學(xué)生在感知函數(shù)的圖像特征及性質(zhì)、形成抽象思維的過(guò)程中，借助TI圖形計(jì)算器親歷知識(shí)的形成過(guò)程，豐富學(xué)習(xí)體驗(yàn)，主動(dòng)進(jìn)行知識(shí)建構(gòu)，掌握研究函數(shù)的基本方法，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，從中我們可以體會(huì)到技術(shù)改善教學(xué)的重要意義，體會(huì)到新課標(biāo)、新教材更加重視信息技術(shù)與教學(xué)的深度融合。當(dāng)然在運(yùn)用技術(shù)的過(guò)程中，教師也要遵循認(rèn)知規(guī)律、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，把技術(shù)用得恰到好處，不能淡化數(shù)學(xué)本質(zhì)，不能代替學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，不能缺少必要的邏輯推理。