楊 超，陳政清，華旭剛，黃智文，王亞飛

（1.湖南大學風工程與橋梁工程湖南省重點實驗室，湖南長沙410082；2.柳州東方工程橡膠制品有限公司，廣西柳州545025）

引言

橋梁斜拉索因為剛度低、自重輕和內(nèi)阻尼低等特點，極易發(fā)生不同程度的風振、風雨振和參數(shù)振動等。作為斜拉橋的一種主要受力構件，拉索發(fā)生振動可能會影響橋梁的安全，引發(fā)民眾的恐慌，嚴重影響橋梁的正常修建和運營。因此，拉索振動控制是斜拉橋研究工作的重點之一。

各種拉索振動形式中，風雨振普遍被認為是最常見且危險的［1-3］。自Hikami等［4］在日本名港西大橋觀測到拉索風雨振之后，該問題逐漸被重視，多位學者從理論、試驗和現(xiàn)場觀測等不同角度對該問題進行了研究［3，5］。盡管振動機理仍然未有定論，但已有的研究足以總結風雨振具有如下特點：風速約為5-20 m/s；典型振幅約為拉索直徑的2倍，但也觀測到達到7倍索徑的振幅；典型振動頻率約為0.6-3 Hz，但也曾出現(xiàn)過超過3 Hz的情況［5-6］。傳統(tǒng)中、短拉索自振頻率鉸高，風雨振的典型振動頻率與拉索前幾階頻率對應，因此，目前拉索風雨振控制主要關注前幾階模態(tài)。

此外，已知的拉索振動形態(tài)還包括參數(shù)共振、尾流馳振、渦激共振等［6-9］。渦激共振即為風流經(jīng)過拉索時，Karman旋渦的脫落頻率與拉索某階固有頻率相接近而引起的共振。根據(jù)Karman旋渦脫落頻率與實際拉索振動頻率的對應關系發(fā)現(xiàn)，拉索低階渦激共振對應的臨界風速都非常低，湍流度較大，而且Griffin等［10］認為，渦激振動的振幅通常會非常小。因此斜拉索的高階模態(tài)渦振問題未受到工程界的關注。

對于低階模態(tài)的大幅風雨振，目前的研究和工程實踐已足夠表明，在斜拉索錨固端附近安裝外置阻尼器是一種較為有效的減振方式。而Pacheco等［11］提出的拉索外置線性黏滯阻尼器的參數(shù)優(yōu)化通用設計曲線和Krenk［12］給出的阻尼器參數(shù)優(yōu)化理論公式一直被沿用至今，并取得不錯的實踐效果。拉索垂度、彎曲剛度、傾斜等因素對拉索-阻尼器系統(tǒng)的影響，也已被學者分別考慮［13-16］。

總的來說，目前的拉索振動及其控制研究主要關注低階模態(tài)的風雨振，而較高階模態(tài)振動很少受到重視。因此，傳統(tǒng)拉索阻尼器的參數(shù)設計也以控制前若干階模態(tài)為依據(jù)。然而，隨著對拉索振動問題的研究不斷深入，一些新的振動特征被發(fā)現(xiàn)。如Gao等［17-18］的風洞試驗結果顯示了高階風雨振發(fā)生的頻率可能達到6 Hz以上，且隨著斜拉橋的跨度越來越大，拉索長度也越來越長，如多多羅大橋的最長拉索為462 m［19］，蘇通大橋的最長索達到577 m［20］，俄羅斯Russkij大橋的最長拉索達到578 m［21］。索長的增加導致拉索的基頻降低，拉索振動的模態(tài)特征也可能發(fā)生變化。從模態(tài)階數(shù)來看，即使振動頻率沒有顯著增加，超長拉索風雨振發(fā)生的階數(shù)仍遠高于中、短型拉索。此外，一直被忽視的拉索高階渦振，近年來也已被注意到。如對多多羅大橋的觀測顯示，索端不設阻尼器時，在5 m/s的常見風速下渦振頻發(fā)，最大振幅約2.5 cm［19］。Chen等［22-23］對金塘大橋的拉索振動響應進行了觀測，發(fā)現(xiàn)其中某根拉索在4-6 m/s的較低風速下頻繁發(fā)生多模態(tài)高階渦振，并通過數(shù)值模擬對不同風速下拉索單個模態(tài)或多模態(tài)渦振問題進行了研究。蘇通大橋采用外置阻尼器與表面凹坑氣動措施同時控制拉索振動，卻仍然長期存在高階渦振問題。隨著外置阻尼器的老化，渦振問題日漸嚴重，并開始發(fā)生風雨振。超長拉索的渦激振動頻率高，產(chǎn)生的加速度巨大，且因其對應的鎖定風速較低，發(fā)生的頻次遠高于風雨振，可以預計渦激振動也將對超長拉索的安全、耐久性產(chǎn)生嚴重的威脅。因此，僅關注拉索前幾階模態(tài)控制的阻尼器參數(shù)方案可能不再滿足要求，同時對超長拉索風雨振與高階模態(tài)的渦振進行控制是有必要的。

本文對蘇通大橋斜拉索的振動響應進行了為期15天的現(xiàn)場觀測，發(fā)現(xiàn)高階渦振和3 Hz左右（對應拉索約第10-15階模態(tài)）的風雨振問題都非常突出?；诂F(xiàn)場實際觀測數(shù)據(jù)，提出同時控制超長拉索風雨振和高階渦振的阻尼器參數(shù)方案。

1 超長拉索振動響應現(xiàn)場觀測

蘇通長江公路大橋位于江蘇省蘇州和南通之間，是沈海高速跨越長江的通道，大橋軸線約為南北走向。主橋為1088 m的雙塔雙索面斜拉橋，最長拉索577 m，是全球首座跨度超過千米的斜拉橋。為監(jiān)測大橋及拉索的運行狀態(tài)，蘇通大橋安裝了健康監(jiān)測系統(tǒng)，該系統(tǒng)分別在南塔、北塔和主跨跨中橋面上游、下游布置了二維風速監(jiān)測儀進行風速、風向的實測。風向角0°對應北風，90°對應東風。

為研究超長拉索在不同風況下的響應狀態(tài)，本文在NJU30號拉索上距橋面15 m高處安裝了加速度傳感器，在拉索外置阻尼裝置發(fā)生損壞失效的狀態(tài)下，對NJU30號索（拉索參數(shù)見表1）的響應情況進行為期15天的觀測，觀測期包括了臺風“溫比亞”經(jīng)過當?shù)氐倪^程。

表1 NJU30號索參數(shù)Tab.1 Parameters of cable NJU30

1.1 常見風速下渦振響應觀測

圖1和2列舉了某一天24 h內(nèi)，在不超過10 m/s的常見風速下，NJU30號索的響應情況。

從圖1和2可以看出，在正常工作狀態(tài)下拉索未發(fā)生明顯振動時，NJU30號索面內(nèi)、面外加速度響應通常在1 m/s2以內(nèi)，面內(nèi)加速度通常略大于面外加速度。在約2∶00-7∶00時段內(nèi)，橋面風速約為4-7 m/s，風向角約為90°，即風向與蘇通大橋軸線垂直時，拉索加速度響應遠大于其他時段，發(fā)生了明顯的渦振。從時程圖來看，面內(nèi)響應大于面外響應，面內(nèi)加速度響應幅值最大接近5 m/s2，面外加速度幅值響應約為面內(nèi)的50%；從頻譜圖來看，振動主要分布在約2-6 Hz，對應拉索第9-25階模態(tài)。

圖1 蘇通大橋風速和風向（常見風速）Fig.1 Wind speed and wind direction of Sutong Bridge（common wind speed）

1.2 臺風下風雨振響應觀測

2018年8月17日，2018年第18號 臺風“溫 比亞”經(jīng)過蘇通大橋，各拉索發(fā)生了較明顯的振動，于約上午9∶00-10∶00時段，拉索響應幅值達到最大。據(jù)現(xiàn)場觀察，在該時段內(nèi)大風伴隨強烈的降雨，導致蘇通大橋多根拉索以超過本身索徑的振幅在面內(nèi)面外同時發(fā)生強烈振動。以上特征可以判斷這次振動現(xiàn)象屬于風雨振。圖3為9∶00-10∶00時段橋面和塔頂?shù)娘L速、風向，圖4為NJU30號索響應情況。

由圖3可以看出：上午9∶00-10∶00時段，蘇通大橋橋面上游側(cè)平均風速為20 m/s，南塔塔頂平均風速約為35 m/s。風向角約為90°（即垂直于大橋軸線方向）。圖4顯示：臺風引起拉索強烈的振動，面內(nèi)及面外加速度都比正常工作狀態(tài)放大數(shù)十倍，超過傳感器20 m/s2的量程。面內(nèi)及面外響應頻率基本相同，主要發(fā)生在3.08 Hz附近，對應拉索第10-15階模態(tài)。與根據(jù)以往中、短型拉索風雨振觀測得到的0.6-3 Hz的典型頻率相比，頻率稍微偏高。而從模態(tài)階數(shù)來看，由于基頻低至0.3 Hz以內(nèi)，500 m以上超長索發(fā)生風雨振的模態(tài)遠高于以往中、短型拉索的觀測結果［3，5］。

圖2 NJU30號索加速度響應（常見風速）Fig.2 Acceleration responses of cable NJU30（common wind speed）

圖3 蘇通大橋風速和風向（2018.8.17，9∶00-10∶00 a.m.）Fig.3 Wind speed and wind direction of Sutong Bridge（2018.8.17，9∶00-10∶00 a.m.）

圖4 NJU30號索加速度響應（2018.8.17，9：00-10：00 a.m.）Fig.4 Acceleration responses of cable NJU30（2018.8.17，9：00-10：00 a.m.）

2 黏滯阻尼器對拉索的附加阻尼比

現(xiàn)場觀測結果顯示蘇通大橋500 m以上超長拉索的渦振和風雨振主要發(fā)生在10階模態(tài)以上。在拉索錨固端附近安裝黏滯阻尼器為拉索提供足夠的附加阻尼比是一種普遍且有效的控制方式。本節(jié)將對拉索-黏滯阻尼器系統(tǒng)的模態(tài)阻尼比進行分析。

忽略拉索自身的抗彎剛度、斜度、阻尼以及垂度，建立拉索-阻尼器系統(tǒng)力學模型如圖5所示，運動方程為

圖5 拉索-阻尼器力學模型Fig.5 Mechanical model of cable-damper

式中T為索力，v為拉索豎向位移，m表示拉索每延米質(zhì)量，c為黏滯阻尼器的阻尼系數(shù)，t表示時間，x為拉索某點離左錨固端的距離，δ（x）為狄利克雷函數(shù)，當x-a=0時δ（x-a）=1，當x-a≠0時δ（xa）=0。

2.1 復頻率方程

采用分離變量法對式（1）求解，假定

式中i2=-1，ω表示復頻率，同時包含了頻率和阻尼比的信息

式中ζn表示模態(tài)阻尼比。將式（2）分段代入式（1），并引入復波數(shù)β=ω（m/T）0.5可以得到式中x′為拉索某點離右錨固端的距離。

式（4）為二階常微分方程，用三角函數(shù)表示其通解為

考慮邊界條件φ（0）=φ（l）=0得B=B′=0，可知模態(tài)函數(shù)為兩段正弦曲線

再考慮拉索上阻尼器安裝點x=a處的豎向力平衡條件（如圖6所示）可得

圖6 拉索、阻尼器連接處受力示意Fig.6 Forces of the installation location of the damper

將式（2）和（6）代入式（7）并化簡可得

式（8）即為拉索-黏滯阻尼器系統(tǒng)的復頻率方程，通過求解復波數(shù)β即可得到模態(tài)阻尼比。

2.2 附加模態(tài)阻尼比

如Krenk［12］所述，可以采用迭代法對式（8）進行求解得到附加模態(tài)阻尼比，但多次迭代的方法比較復雜?？紤]到實際工程中阻尼器只能安裝在距離下錨固端較近的位置，且以往的阻尼比計算通常僅針對前幾階模態(tài)，Krenk基于na/l＜1/4的假設條件對式（8）進行了求解，并得到了關于模態(tài)阻尼比的漸進表達式。但漸進解顯然不適用于求解高階模態(tài)阻尼比。因此，本小節(jié)將在不考慮前述假設條件的前提下對式（8）求解。

考慮到實際工程中，結構阻尼比普遍比較小，即使安裝了外置阻尼器，拉索的阻尼比也很難達到2%。若忽略阻尼的影響，拉索的頻率為

將式（9）代入式（8）等號右邊得

其中

式中η=c/（Tm）0.5是阻尼系數(shù)的無量綱量。因此，第n階模態(tài)阻尼比可以表示為

對于復數(shù)z，有

因此，式（12）可以變化為

再根據(jù)

這里，Arg（）表示幅角主值函數(shù)。

可以得到模態(tài)阻尼比為

或者

為了對式（17）進行驗證，分別采用漸進公式、迭代法以及本文式（17）計算拉索-黏滯阻尼器系統(tǒng)前30階附加模態(tài)阻尼比，其中，迭代解可以被視為準確結果。設置迭代過程的結束條件為兩個相鄰迭代值之間的相對誤差小于1%，選取無量綱阻尼系數(shù)為η=0.67，當阻尼器分別安裝在a/l=2%，5%和10%時的模態(tài)阻尼比如圖7所示。從圖中可以看出，當阻尼器安裝在a/l=2%時，通過漸進公式可以得到大約前20階模態(tài)阻尼比的準確結果。但隨著安裝位置的增加，漸進公式的適用范圍越來越小。當阻尼器安裝在a/l=5%或10%時，分別僅有前10階和前5階的漸進解能夠與迭代解相接近。而通過本文式（17）得到的模態(tài)阻尼比在算例所有工況下都與迭代解基本一致。

圖7 取η=0.67、阻尼器分別安裝在a/l=2%，5%和10%時的前30階模態(tài)阻尼比Fig.7 Modal damping ratio of the first 30 modes by setting η=0.67 for a/l=2%，5% and 10%

2.3 附加模態(tài)阻尼比的優(yōu)化

要使某階模態(tài)阻尼比達到最優(yōu)，應滿足方程

將式（14）代入式（18）可得

將式（11）代入式（19）并化簡得到

式（20）為關于η的一元二次方程，取正數(shù)解并化簡為

式（21）即為第n階模態(tài)最優(yōu)阻尼系數(shù)。將式（21）代入式（17）可得第n階最優(yōu)模態(tài)阻尼比為

圖8對式（21）的準確性進行了驗證。選取a/l=1%，計算了第3，20以及40階模態(tài)阻尼比隨無量綱阻尼系數(shù)η的變化曲線，并將根據(jù)式（21）計算的第3，20以及40階最優(yōu)阻尼系數(shù)η3，opt，η20，opt和η40，opt標記在橫坐標軸上。從圖中可以看出，由式（21）計算的最優(yōu)阻尼系數(shù)準確地對應了三條曲線的峰值點。由此可知，式（21）能夠準確計算包括高階模態(tài)在內(nèi)的各階最優(yōu)阻尼系數(shù)。

圖8 選取a/l=1%時，第3，20以及40階模態(tài)阻尼比隨無量綱阻尼系數(shù)η的變化（最優(yōu)阻尼系數(shù)η3，opt，η20，opt和η40，opt被標記在橫坐標軸上）Fig.8 Damping ratios of 3rd，20th and 40th modes against the dimentionless damping coefficients.（optimal damping coefficients η3，opt，η20，opt，η40，opt are marked on horizontal axis）

3 多模態(tài)控制拉索阻尼器參數(shù)方案

值得注意的是，根據(jù)圖8可知各階模態(tài)的最優(yōu)阻尼系數(shù)是不相同的，只有當阻尼系數(shù)接近于某階最優(yōu)阻尼系數(shù)時，該階模態(tài)才能獲得較大的附加阻尼比。因此，設置不同的阻尼系數(shù)將使阻尼比在各階模態(tài)中產(chǎn)生不同的分布。傳統(tǒng)的拉索阻尼器設計以提高前幾階附加模態(tài)阻尼比為目的，通常采用的參數(shù)方案為［24-25］

式中k表示控制的最高階模態(tài)，一般取為3-5，由此 計 算 的 無 量 綱 阻 尼 系 數(shù) 約 為η3，opt-η1，opt。而ζmin則表示拉索抵抗風致振動所需的最小阻尼比，通常通過Scruton數(shù)來確定。Scruton數(shù)（Sc=mζ/（ρD2））是衡量拉索抵抗風致振動能力的重要指標，一般認為當Scruton數(shù)大于10時，拉索不再發(fā)生風致振動，即

式中ρ，D，m分別表示空氣密度、拉索直徑和拉索每延米質(zhì)量。

仍以第1節(jié)觀測的蘇通大橋NJU30號索為例（拉索參數(shù)見表1），根據(jù)式（24）可以算得NJU30號索所需最小阻尼比為ζmin=3.05‰。由于蘇通大橋拉索下端錨固在橋面以下1.296 m，所有阻尼器安裝位置已確定在距離橋面垂直高度3.5 m處，本文不再對不同的安裝位置進行討論，根據(jù)表1參數(shù)可以計算出a/l=2.6%。當采用傳統(tǒng)阻尼器參數(shù)優(yōu)化方案控制前5階模態(tài)（即ζ1=ζ5＞ζmin）時，根據(jù)式（17）可以算得阻尼系數(shù)為12.8×104Ν·s·m-1，并由此計算前20階模態(tài)阻尼比，結果如表2所示（考慮阻尼器效率系數(shù)為0.5）。

表2顯示：模態(tài)阻尼比在第2階達到最大的6.4‰，此后開始隨模態(tài)階數(shù)的增加而逐步下降。從第9階（對應頻率2.1 Hz）開始，模態(tài)阻尼比將低于3.05‰，將無法保證Scruton數(shù)＞10的控制要求。而3-7 Hz是蘇通大橋超長拉索發(fā)生風雨振及渦振的高風險頻段，故以上參數(shù)選擇將無法有效控制拉索振動。

表2 前20階模態(tài)阻尼比Tab.2 First 20 modal damping ratios

3.1 多模態(tài)控制參數(shù)方案

傳統(tǒng)的拉索阻尼器參數(shù)方案無法有效控制超長拉索的高階振動，為了研究更合理的阻尼系數(shù)方案，圖9給出了當阻尼器安裝在a/l=1%，2%或3%時前30階無量綱最優(yōu)阻尼系數(shù)。

圖9 當阻尼器安裝在a/l=1%，2%或3%時前30階模態(tài)的最優(yōu)阻尼系數(shù)Fig.9 The optimal dimensionless damping coefficients of each mode for different value of a/l

從圖中可以知道：前幾階模態(tài)對應的無量綱最優(yōu)阻尼系數(shù)之間相差巨大，但隨著階數(shù)的上升，最優(yōu)阻尼系數(shù)呈下降趨勢，更重要的是較高階模態(tài)最優(yōu)阻尼系數(shù)之間的差距相對較小，例如η1，opt與η2，opt相差約兩倍，但第10-30階模態(tài)對應的無量綱最優(yōu)阻尼系數(shù)都接近于1。這意味著若以前幾階模態(tài)為控制對象，所選擇的阻尼系數(shù)將遠大于高階模態(tài)最優(yōu)阻尼系數(shù)，阻尼器難以為高階模態(tài)提供足夠的阻尼比，僅能夠控制約前3-5階的模態(tài)范圍。若選擇較小的阻尼系數(shù)，第1，2階的模態(tài)阻尼比可能比較小，但卻能使阻尼器控制的模態(tài)范圍大幅擴大。

對于500 m級以上的超長斜拉索，基頻低至0.3 Hz以內(nèi)，低階模態(tài)對應的渦激共振風速也非常低，第2階模態(tài)對應的渦振風速甚至低于0.5 m/s，風速越低湍流度將越高，以致難以形成穩(wěn)定的渦激力。再考慮到根據(jù)實測研究［26-27］和結構動力學原理，結構固有模態(tài)阻尼比與頻率呈負相關的趨勢，超長拉索的低階模態(tài)存在一定的固有阻尼比。同時，低階渦振加速度和位移幅值都非常小，幾乎不會對拉索及橋梁安全產(chǎn)生威脅。因此，本文認為超長拉索的低階渦振可以不進行控制。

根據(jù)Chen等［3］對洞庭湖大橋拉索數(shù)根約100-150 m拉索的長期觀測，幾乎未發(fā)現(xiàn)過1階風雨振；根 據(jù)Zuo等［28］對FredHarton橋 數(shù) 根80-200 m拉 索的長期觀測，也未見有1階風雨振的發(fā)生；根據(jù)Chen等［29］的研究結果，發(fā)生風雨振的模態(tài)階數(shù)與風速正相關；根據(jù)蘇通橋500 m級拉索的現(xiàn)場觀測，風雨振主要以3 Hz左右的頻率，即約第10階以上模態(tài)發(fā)生。另外，大幅1，2階風雨振，將需要伴隨大幅度的拉索長度伸長，需要巨大的能量。以上論證及檢測數(shù)據(jù)足以說明，500 m級超長拉索，是無法發(fā)生第1，2階風雨振的。

綜上所述，對于超長拉索的阻尼器參數(shù)選擇，應針對控制第3階以上模態(tài)，以使其控制的模態(tài)范圍更大。

3.2 案例分析

仍以NJU30號索為例，若按照控制第3階以上模態(tài)的參數(shù)方案，即

將式（25）代入式（17），取a/l=2.6%可以計算阻尼系數(shù)，并與控制前5階模態(tài)方案進行對比，如表3所示。計算兩組參數(shù)下，拉索前30階模態(tài)的阻尼比（考慮阻尼器效率系數(shù)=0.5），如圖10所示。

表3 參數(shù)方案對比Tab.3 Comparison of parameter optimization

圖10 參數(shù)方案對比Fig.10 Comparison of parameter optimization

以上計算可以看出，多模態(tài)控制的參數(shù)方案設置了較小的阻尼系數(shù)，與傳統(tǒng)控制前5階模態(tài)的參數(shù)方案相比，阻尼系數(shù)下降了約5倍。傳統(tǒng)的參數(shù)方案第2階模態(tài)阻尼比達到最大的6.5‰，并使拉索第1-9階模態(tài)阻尼比滿足要求，對應頻段為0-2.12 Hz。當模態(tài)階數(shù)繼續(xù)提高時，模態(tài)阻尼比急劇下降，無法有效抑制風雨振或者渦振的發(fā)生。多模態(tài)控制的參數(shù)方案放棄對不會發(fā)生振動的超低頻第1，2階模態(tài)的控制，使第19階模態(tài)達到約12‰，并保證第3-28階模態(tài)阻尼比同時達到目標值，控制范圍為0.71-6.58 Hz的頻率段。本課題組于2018年12月在蘇通大橋選擇了7根拉索進行實橋試驗，將原控制前5階模態(tài)的阻尼器更換為按照本文參數(shù)方案設計的阻尼器，并對這7根拉索的響應情況進行了長期監(jiān)測：在阻尼器正常工作的情況下，至今再未發(fā)現(xiàn)明顯的振動問題。

4 結論

針對傳統(tǒng)拉索阻尼器參數(shù)優(yōu)化方案無法控制超長拉索高階振動問題，本文拉索-黏滯阻尼器系統(tǒng)高階模態(tài)的附加模態(tài)阻尼比及最優(yōu)阻尼系數(shù)進行了推導，基于現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)，以復模態(tài)分析得到的模態(tài)阻尼比為控制指標，提出了從第3階開始考慮風致振動控制的阻尼器參數(shù)方案，并與傳統(tǒng)方案進行了對比，主要得出如下結論：

1）在不同風雨條件下，蘇通大橋500 m以上超長拉索既可能在風雨條件下發(fā)生3 Hz左右的風雨振，又面臨高階渦振在常見低風速下頻繁發(fā)生。

2）500 m級超長拉索的基頻低至0.3 Hz以內(nèi)，從模態(tài)階數(shù)來看，不管風雨振還是渦振，超長拉索通常都是以高階形式發(fā)生。傳統(tǒng)的阻尼器參數(shù)設計方案以前幾階模態(tài)為優(yōu)化對象，產(chǎn)生的控制效果隨模態(tài)階數(shù)的上升而急劇下降，無法滿足多模態(tài)振動控制的要求。

3）第n階模態(tài)的最優(yōu)阻尼系數(shù)為1/|sin（nπa/l）|，所以前幾階模態(tài)對應的無量綱最優(yōu)阻尼系數(shù)之間相差巨大，但第10-30階模態(tài)的無量綱最優(yōu)阻尼系數(shù)之間的差距較小。

4）當阻尼器的參數(shù)方案調(diào)整為控制第3階以上模態(tài)時，所需的阻尼系數(shù)較傳統(tǒng)方案大幅降低，模態(tài)阻尼比的最大值大幅提高，阻尼器對超長拉索控制的模態(tài)范圍大幅增加。