趙銷燕

【摘? ?要】小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不但要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)知識的習(xí)得，而且要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培育。模型思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，可以深度理解數(shù)學(xué)知識，發(fā)展和提高思維能力。以“歸一問題、歸總問題”的教學(xué)為例，教師可通過建構(gòu)指向圖式表征的圖式模型、指向思維表達(dá)的思維模型和指向知識建構(gòu)的知識模型，幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解，進(jìn)而感悟模型思想，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型;深度學(xué)習(xí);圖式模型;思維模型;知識模型

一、理性思考

建模是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中十分重要的組成部分，通過建立模型解決問題，感悟模型思想，是學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的有效途徑，建立模型也是數(shù)學(xué)應(yīng)用和解決問題的核心。以“歸一問題、歸總問題”的教學(xué)為例，筆者進(jìn)行了如下思考。

（一）基于圖式模型：抽象→可視

圖式模型就是將問題提供的信息用圖式表征出來并在腦中進(jìn)行建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)小學(xué)生年齡和思維的特點(diǎn)，他們在認(rèn)識概念、解決問題等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都離不開直觀圖像的支撐，而形象的“圖式”就發(fā)揮著不可估量的作用。在教學(xué)中可以從圖式表征入手，幫助學(xué)生在“抽象”和“可視”之間架起橋梁，以便更清晰地表明數(shù)量之間的關(guān)系，從而建構(gòu)問題的模型。

（二）基于思維模型：粗淺→深刻

思維模型就是由形象的符號、圖形和結(jié)構(gòu)化語言等要素組成的可視化模型。數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)特別強(qiáng)調(diào)把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，而清晰的思維過程是數(shù)學(xué)模型建構(gòu)中最核心的部分，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在圖式表征的基礎(chǔ)之上，揭示圖式背后隱含的思維路徑，以形成解決問題的思維模型。在教學(xué)中以思辨為支點(diǎn)，深度剖析問題的特征，幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，由此達(dá)到融會貫通的目的。

（三）基于知識模型：分散→結(jié)構(gòu)

知識模型就是將知識進(jìn)行形式化和結(jié)構(gòu)化抽象建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。在數(shù)學(xué)知識體系中，各個知識點(diǎn)之間既有相對獨(dú)立性，又有相互關(guān)聯(lián)性。教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生從多個維度對所學(xué)知識進(jìn)行比較和整理，了解它與前后知識點(diǎn)之間的聯(lián)系與區(qū)別，使分散的知識點(diǎn)在腦海中連成線、結(jié)成網(wǎng)，建構(gòu)完整的知識模型，形成整體性知識結(jié)構(gòu)。

二、實(shí)踐研究

筆者以“歸一問題、歸總問題”的教學(xué)為例，從建構(gòu)指向圖式表征的圖式模型、指向思維表達(dá)的思維模型和指向知識建構(gòu)的知識模型三個方面探討如何幫助學(xué)生加深對“歸一問題、歸總問題”本質(zhì)的理解，感悟模型思想，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（一）聚焦圖式模型：多元化表征，凸顯圖式結(jié)構(gòu)

圖式表征是指學(xué)生在閱讀文字材料的基礎(chǔ)上，根據(jù)問題所提供的條件和自身已具備的知識經(jīng)驗(yàn)，將抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律、較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系等通過清晰的圖式表示出來，從而對數(shù)學(xué)知識有比較形象、直觀、整體的認(rèn)識和理解。結(jié)構(gòu)化的圖式，凸顯了數(shù)學(xué)模型的形式化意義，它能直觀地表示題意，有序地表示數(shù)量之間的關(guān)系，從而引導(dǎo)學(xué)生逐步形成解題的策略。

1.示意圖過渡到線段圖，助力結(jié)構(gòu)清晰化

小學(xué)階段的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的圖式表征能力。在數(shù)學(xué)問題的圖式表征中，主要涉及示意圖、線段圖兩大類。相對而言，學(xué)生關(guān)于示意圖的生活經(jīng)驗(yàn)更為豐富，所以大多數(shù)學(xué)生會選擇用簡單的示意圖來表征題意。但其實(shí)在“倍的認(rèn)識”的教學(xué)中學(xué)生對線段圖已經(jīng)有了一定的接觸和了解，因此在“歸一問題”的教學(xué)中可以順勢借助遷移能力將示意圖逐步過渡到線段圖。

在“歸一問題”的教學(xué)中，教師呈現(xiàn)例題：“媽媽買3個碗用了18元。如果買8個同樣的碗，要用多少錢？”（人教版教材三年級上冊第71頁例8）讓學(xué)生畫圖表征題意，學(xué)生主要呈現(xiàn)了以下幾種情況（如圖1）。

反饋時，教師組織學(xué)生先對前三幅圖進(jìn)行評價，明確畫圖要完整，表示題意不能遺漏信息或問題。再著重觀察后兩幅圖，探討從“同樣的碗”中怎樣提取、歸納共同的特點(diǎn)，即每只碗的單價不變。在歸納的基礎(chǔ)之上，引導(dǎo)學(xué)生的理解從示意圖表征法過渡到線段圖表征法，并建立線段圖與示意圖、文字、算式之間的聯(lián)系，明確碗的單價不變，在線段圖中要用等長的線段表示，逐步清晰并構(gòu)建歸一問題的圖式模型（如圖2）。

從示意圖逐步過渡到線段圖，不僅發(fā)展了學(xué)生用圖式表征題意的能力，也為下一課時“歸總問題”的學(xué)習(xí)積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，促使數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)更清晰地呈現(xiàn)。

2.一維圖延伸至二維圖，促進(jìn)表征多元化

用線段圖表征幫助學(xué)生把抽象的文字變成直觀的圖式，使他們的思維過程有了形象的外顯。但是，單一的圖式表征會限制學(xué)生對模型的理解和更深層次的建構(gòu)。因此，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中可以進(jìn)行圖式的多元表征，從一維的線段圖延伸到二維的幾何圖，來實(shí)現(xiàn)空間上不同維度的思考，讓學(xué)生在多元表征中完成對問題的直觀原型的理解，加深對模型的感悟。

在“歸總問題”教學(xué)中，主要也以線段圖進(jìn)行表征。教師呈現(xiàn)例題：“媽媽的錢買6元一個的碗，正好可以買6個。用這些錢買9元一個的碗，可以買幾個？”（人教版教材三年級上冊第72頁例9）著重解讀“這些錢”的含義，把關(guān)注點(diǎn)聚焦到“怎樣用線段表示總量相等”上。學(xué)生主要呈現(xiàn)了以下幾種表征困難（如圖3）。

引導(dǎo)學(xué)生展開討論：媽媽買碗的總價錢不變，用來表示這些錢的兩條線段應(yīng)該畫得一樣長。幫助學(xué)生梳理畫圖步驟和信息之間的內(nèi)在聯(lián)系，更全面地表達(dá)題意，逐步構(gòu)建歸總問題的圖式模型（如圖4）。

在后續(xù)的練習(xí)中補(bǔ)充二維的幾何圖（如圖5）來表征“歸總問題”，引發(fā)學(xué)生不同維度的思考。教師以“在圖形中也有這樣的數(shù)學(xué)問題。它與前面線段圖的表示方法有什么相同和不同的地方”等問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考。

在幾何圖表征法和線段圖表征法之間建立聯(lián)系，豐富了模型的表征形式，讓學(xué)生在收獲解題方法的同時，也積淀受益終身的數(shù)學(xué)思想方法，最終促進(jìn)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

（二）聚焦思維模型：結(jié)構(gòu)化思辨，揭示思維本質(zhì)

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)是在學(xué)生原有認(rèn)知水平上進(jìn)行的，是一個逐步“數(shù)學(xué)化”的過程。在教學(xué)中應(yīng)抓住恰當(dāng)?shù)臅r機(jī)，運(yùn)用合適的方式引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷整個模型建構(gòu)的過程。讓學(xué)生從問題間的聯(lián)系和矛盾中理解問題的本質(zhì)，通過觀察、分析、概括等方式，在某種程度上克服思維定式，深刻地理解數(shù)學(xué)問題，親身經(jīng)歷“模型化”的過程，擁有真正的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

1.結(jié)構(gòu)化習(xí)題對比，拓展思維寬度

拓展思維寬度需要建立在學(xué)生已有思維經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上，因此，教師需要幫助學(xué)生在結(jié)構(gòu)化的習(xí)題之間不斷地進(jìn)行對比與溝通，引導(dǎo)學(xué)生多方位、多角度、多路徑地思考問題，讓學(xué)生多探究、多討論、多思辨，有針對性地訓(xùn)練學(xué)生的思維，幫助學(xué)生更好地融合新知和舊知，找到思維背后所存在的共同點(diǎn)與差異點(diǎn)。

在“歸一問題”例題教學(xué)之后，教師可將例題進(jìn)行改編（如圖6），通過說題意、講思路、辨算法等形式，對比這一題與例題的異同，讓學(xué)生明白例題要求的是“買8個這樣的碗需要多少錢”，而此題要求的是“30元錢能買幾個這樣的碗”，但不管最后要解決的是什么問題，都需要先求出一個碗的價錢，因?yàn)橥氲膯蝺r是不變的。學(xué)生由此感悟到雖然兩題看上去稍有不同，但其實(shí)它們的基本模型是一樣的。通過這樣有結(jié)構(gòu)的習(xí)題對比，突出了“歸一問題”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與解題規(guī)律，學(xué)生的模型思想得到了有效提升。

結(jié)構(gòu)化的習(xí)題對比，幫助學(xué)生明晰了習(xí)題呈現(xiàn)方式上的異同，促使學(xué)生在腦中形成全新的知識鏈，從而更為深入地感悟模型，提升解決問題的能力。

2.結(jié)構(gòu)化材料梳理，挖掘思維深度

尋求問題的內(nèi)在規(guī)律，揭示問題的本質(zhì)，這需要學(xué)生不斷地對不同的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行比較和分析，在不同的情境中尋找相同的模型結(jié)構(gòu)。此時教師應(yīng)為學(xué)生提供結(jié)構(gòu)化的材料，讓學(xué)生能夠主動運(yùn)用數(shù)學(xué)模型去觀察、比較、梳理一類現(xiàn)實(shí)問題，尋找不同數(shù)學(xué)問題之間的異同，找到不同問題中的本質(zhì)屬性，進(jìn)而窺探到數(shù)學(xué)模型的影子，深刻理解數(shù)學(xué)模型思想。

在“歸總問題”的教學(xué)中，通過例題的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)感知到解決問題的關(guān)鍵是先求出總價錢，因?yàn)榭們r錢不變。接下來將結(jié)構(gòu)相似的習(xí)題采用不同的情境進(jìn)行呈現(xiàn)（如圖7）。通過對比、分析，建立數(shù)與形之間的關(guān)系，學(xué)生發(fā)現(xiàn)題中的總量都像例題中的總價錢一樣保持不變，所以解決這類題的關(guān)鍵點(diǎn)都是先求出它們的總量，比如書本的總頁數(shù)、學(xué)生的總?cè)藬?shù)、圖形的總面積等等。學(xué)生發(fā)現(xiàn)“拋開情境，這類問題的本質(zhì)與結(jié)構(gòu)其實(shí)都是一樣的”。

將看似獨(dú)立的若干問題提煉成一類問題原型，促使學(xué)生跳出情境看本質(zhì)，從而進(jìn)一步深化“歸總問題”的思維模型，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

（三）聚焦知識模型：多維度溝通，內(nèi)化知識聯(lián)系

教師在教學(xué)中應(yīng)有全局觀，要考慮到本節(jié)課的知識與前面已學(xué)的知識之間有怎樣的關(guān)聯(lián)，本節(jié)課的知識對后續(xù)學(xué)習(xí)的知識發(fā)揮著怎樣的作用，如何設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化的教學(xué)，讓前后的數(shù)學(xué)知識相互融合……只有系統(tǒng)整體地加以掌握，才可能將知識轉(zhuǎn)化為能力，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的過程中發(fā)展思維，提升素養(yǎng)。

1.橫向聯(lián)系，促使知識立體化

橫向聯(lián)系的學(xué)習(xí)就是指通過知識的組合串聯(lián)，將相關(guān)聯(lián)的知識點(diǎn)進(jìn)行對比遷移，從而了解知識點(diǎn)之間的內(nèi)在差異，達(dá)成新知和舊知的融合，避免認(rèn)知上的局限與狹隘，從而更好地把握數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)。

“歸一問題”和“歸總問題”是一組相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問題。當(dāng)學(xué)生已經(jīng)熟悉了兩類問題的基本模型后，教師可引發(fā)學(xué)生深入思考，雖然例題使用的都是同樣的購物情境，但數(shù)量關(guān)系和模型結(jié)構(gòu)是完全不同的，因此解決問題的方法也不同?！皻w一問題”中單一量不變，也就是前后兩次的商一定，□÷□=□÷□，所以要先求單一量;而“歸總問題”中總量不變，也就是前后兩次的積一定，□×□=□×□，所以要先求總量。課堂上學(xué)生借助學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，給這兩類問題分別命名為“每份數(shù)不變問題”和“總數(shù)不變問題”，可以看出，他們已經(jīng)在這樣的模型對比中強(qiáng)化了對這兩類問題的認(rèn)知。

這樣的橫向聯(lián)系，促使學(xué)生將所學(xué)知識放到全局、整體中去思考，將前后的知識進(jìn)行立體溝通，這樣學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解才會更深刻。

2.縱向溝通，推動知識系統(tǒng)化

數(shù)學(xué)知識之間有著內(nèi)在的邏輯關(guān)系，前面知識是后續(xù)知識的基礎(chǔ)，后續(xù)知識又是前面知識的發(fā)展與延伸?？v向溝通的學(xué)習(xí)就是將原本分散的、孤立的知識點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)系與整合，逐步形成整體、系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)化的知識串，形成螺旋上升的知識結(jié)構(gòu)體系，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得有厚度。

“歸一問題”和“歸總問題”是后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)用正比例、反比例解決問題的重要基礎(chǔ)。在課堂上結(jié)合圖式將知識點(diǎn)進(jìn)行有深度的延伸和溝通，學(xué)生在學(xué)習(xí)正比例、反比例知識時，就能追溯它們之間的聯(lián)系，從而形成系統(tǒng)化的知識體系。

在“歸一問題”的練習(xí)環(huán)節(jié)，教師以表格形式呈現(xiàn)習(xí)題（如圖8），學(xué)生發(fā)現(xiàn)，每天讀的頁數(shù)一定，讀的天數(shù)越多，總頁數(shù)就越多;讀的天數(shù)越少，總頁數(shù)就越少。

在“歸總問題”的教學(xué)中，學(xué)生已求出用這些錢買9元一個的碗，能買4個。教師將線段圖進(jìn)行調(diào)整（如圖9），追問：還是這36元錢，如果每個碗12元，還買得了4個嗎？如果每個碗18元呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，碗的單價越貴，買到的數(shù)量就越少;碗的單價越便宜，買到的數(shù)量就越多，因?yàn)轭}中始終用的是“這些錢”。

像這樣借助數(shù)與形的變式，上下聯(lián)通，既挖掘了教材本身蘊(yùn)含的知識內(nèi)容，又讓學(xué)生深刻感知了知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好了滲透和鋪墊，實(shí)現(xiàn)了知識的系統(tǒng)化與思想方法的結(jié)構(gòu)化，幫助學(xué)生深刻理解模型。

數(shù)學(xué)是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來的，數(shù)學(xué)模型則是溝通數(shù)學(xué)與生活之間聯(lián)系的重要工具。模型的建構(gòu)可以促使學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度看待問題，并用數(shù)學(xué)的思維方式去分析問題和解決問題?！皵?shù)學(xué)建?！币呀?jīng)成為新課程改革的一個重要方向和主要內(nèi)容，一線教師應(yīng)高度重視數(shù)學(xué)建模方法的深入研討和歸納總結(jié)，從真正意義上促使學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

參考文獻(xiàn)：

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[2]楊豫暉.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）案例式解讀·小學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2013.

（浙江省杭州市富陽區(qū)富春第六小學(xué)? ? 311400）