陳銀 邵虹

【摘? ?要】“三角形的三邊關(guān)系”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點內(nèi)容之一，在實際教學(xué)過程中，學(xué)生常常出現(xiàn)只關(guān)注“圍成”或“圍不成”的外在形式，陷入重形式記憶、棄本質(zhì)理解的怪圈。研究團隊嘗試發(fā)揮審辯式思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，突破原有思維定式進行教學(xué)。形成的新設(shè)計基于前置性學(xué)情診斷，通過“曝光”學(xué)生的認知差異和分歧，聚焦“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。教學(xué)中還應(yīng)重視三邊關(guān)系結(jié)論的理性分析，構(gòu)建遞進式的學(xué)習(xí)階梯，滲透確定三角形的充分且必要條件，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提升。

【關(guān)鍵詞】審辯式思維;小學(xué)數(shù)學(xué);三角形的三邊關(guān)系

【課前慎思】

三角形相關(guān)知識是“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，是認識多邊形的基礎(chǔ)。三角形也是最簡單、最基本的幾何圖形，它的研究內(nèi)容、研究路徑、研究方法具有一定的普適性。其中，對于“三角形的三邊關(guān)系”這一知識點，現(xiàn)行的各版本教材無一例外地都是先給出一組或幾組確定長度的材料，讓學(xué)生進行操作以確定三邊關(guān)系。而事實上，學(xué)生在操作判斷時多依靠直覺思維，只關(guān)注“圍成”或“圍不成”的外在形式，缺乏對三邊關(guān)系的理性分析。因此，落實“三角形的三邊關(guān)系”的教學(xué)目標(biāo)，不僅要讓學(xué)生積極參與拼搭三角形的實踐操作，更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在反思質(zhì)疑中明晰探究問題，在對比辨析中理解“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的性質(zhì)，在推理論證中掌握“較短兩邊之和大于第三邊”的判定方法。

筆者所在的研究團隊試圖突破原有的思維定式進行教學(xué)設(shè)計，發(fā)揮審辯式思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，基于前置性學(xué)情診斷，“曝光”學(xué)生的認知差異和分歧，聚焦“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視三邊關(guān)系結(jié)論的理性分析，構(gòu)建遞進式的學(xué)習(xí)階梯，滲透確定三角形的充分且必要條件，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提升。

【課堂寫真】

（一）基于前置，聚焦問題

1.出示任務(wù)：從學(xué)具袋中抽取三根拼條圍一圍，看能否圍成三角形。

生：我圍成了三角形。

生：我沒有圍成三角形。

2.揭示課題：什么樣的三條線段能圍成三角形呢？今天我們就來研究三角形的三邊關(guān)系。

3.展示前測材料。

（1）出示前測問題。

師：課前，我們做了一份調(diào)查卷（見圖1），一起來回顧。

（2）請學(xué)生猜想同學(xué)們的判斷結(jié)果，并出示數(shù)據(jù)（見圖2）。

師：哪幾組意見比較一致？

生：第④組和第⑤組大家都覺得能圍成。

（二）命題轉(zhuǎn)換，理性分析

1.引導(dǎo)學(xué)生觀察。

師：請大家看第④組小棒（5cm，5cm，5cm），它有什么特別的地方？

生：三條邊的長度一樣。

2.展示學(xué)生判斷的理由（如圖3）。

3.介紹學(xué)具。

師：“畫”確實是一種研究方法，但有一定困難，我們可以借助這樣的拼條來進行研究（見圖4）。

4.第一次審辯活動。

師：三邊相等就一定能圍成三角形嗎？是不是圍成三角形時三邊一定相等？

生：三邊相等一定能圍成三角形，比如都是4cm或8cm時一定可以圍成三角形。

生：但能圍成三角形時不一定三邊相等，我們的黑板上就有反例。

5.操作驗證。

師：請大家看前測中的第⑤組小棒（8cm，12cm，10cm），三條邊不一樣長，大家都覺得能圍成三角形，真的能圍成嗎？請你拼一拼。

生：能圍成，而且圍成的是形狀、大小一樣的三角形。

師：當(dāng)圍成三角形的三條線段長度固定時，圍成的三角形的形狀、大小都是一樣的。

（三）設(shè)置沖突，審辯說理

1.提出猜想。

出示前測中學(xué)生對第⑤組小棒能否圍成三角形的判斷理由，并進行解釋（如圖5）。

猜想1：只要有兩邊之和大于第三邊，就能圍成三角形。

猜想2：任意兩邊之和大于第三邊，就能圍成三角形。

猜想3：較短兩邊之和大于第三邊，就能圍成三角形。

追問：任意是什么意思？

生：隨便選。

生：三組中兩邊的和跟第三邊比都要長。

師：同學(xué)們都在研究兩邊之和大于第三邊，有人認為是“只要有”，有人認為是“任意”，還有人認為是“較短”兩邊之和大于第三邊時，就能圍成三角形。這些都還只是我們的一種猜想，接下來我們來驗證。

2.第二次審辯活動。

（1）選擇：任選一個猜想進行研究（見圖6）。

（2）驗證說理：拼一拼、算一算。

（3）結(jié)論：猜想是否成立？

3.交流討論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論。

（1）研究“任意兩邊之和大于第三邊，就能圍成三角形”。

生：我研究了“4cm，5cm，8cm”和“8cm，10cm，4cm”這兩組數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)都能圍成三角形，因此猜想2是成立的（見圖7）。

師：是不是其他能圍成三角形的三條邊之間也都具有這樣的關(guān)系呢？請你選擇一個圍成的三角形，像這樣寫一寫，并在四人小組中進行交流。（生寫并交流）

師：看來圍成的三角形一定是任意兩邊之和大于第三邊。如果一個三角形的三條邊的長度分別是a、b、c（如圖8），你還能用算式表示三條邊之間的關(guān)系嗎？

生：a+b>c，a+c>b，b+c>a。

（2）研究“較短兩邊之和大于第三邊，就能圍成三角形”。

生：我研究了“4cm，5cm，8cm”和“10cm，8cm，5cm”這兩組數(shù)據(jù)，前一組數(shù)據(jù)中最短兩邊是4cm和5cm，4+5>8，后一組數(shù)據(jù)中8+5>10，發(fā)現(xiàn)它們都能圍成三角形，因此猜想3是成立的。

師：為什么剛才我們比了3次，現(xiàn)在只要比1次就可以了呢？

生：短的兩邊之和比最長的邊還要長，那么剩下的兩組肯定比第三邊長。

總結(jié)：看來滿足“較短兩邊之和大于第三邊”一定滿足“任意兩邊之和大于第三邊”。

（3）研究“只要有兩邊之和大于第三邊，就能圍成三角形”。

生：我研究了“3cm，5cm，10cm”這一組數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)它是圍不成三角形的，因為3+5<10，只要有一個條件不符合就說明這個猜想是不成立的。

師：還有不同的例子嗎？

生：“4cm，8cm，12cm”這一組也是圍不成的，因為4+8=12。

師：真的圍不成三角形嗎？

生：兩條短的邊加起來正好等于最長的邊，重合在一起了。

師：大家聽明白他的意思了嗎？在操作中我們的觀察有可能沒有這么細微，借助幾何畫板再來觀察一下（見圖9）。

師：只要有一組不符合兩邊之和大于第三邊的判定原理，也就不符合任意兩邊之和大于第三邊，是圍不成三角形的。

4.驗證思辨。

師：通過剛才的研究，我們發(fā)現(xiàn)有些猜想是成立的，有些猜想是不成立的，哪個結(jié)論適用于所有的三角形呢？

生：我覺得圍成的三角形，一定滿足“任意兩邊的和大于第三邊”，因為“任意”包含了“較短”的情況。

生：三邊相等的情況也符合這個原理，我們可以用算式來說明5+5>5。

師：通過研究我們發(fā)現(xiàn)圍成的三角形一定滿足“任意兩邊之和大于第三邊”。再思考一下，如果三條線段滿足“任意兩邊之和大于第三邊”，就一定能圍成三角形嗎？請你自主選擇三個數(shù)據(jù)來驗證一下。

生：我研究了“12cm，8cm，10cm”這一組數(shù)據(jù)，8+10>12，3+5>4，4+5>3，用拼條確實能拼成三角形。

生：我研究了“3cm，4cm，5cm”這一組數(shù)據(jù)，3+4>5，3+5>4，4+5>3，用拼條確實能拼成三角形。

師：如果是“15cm，20cm，18cm”這一組數(shù)據(jù)，能圍成嗎？

生：15+20>18，15+18>20，20+18>15，可以圍成。

（教師借助幾何畫板進行驗證）

師：真的能圍成三角形。還有嗎？四人小組交流你們的發(fā)現(xiàn)。

總結(jié)：看來圍成的三角形一定滿足任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊時一定能圍成三角形?！叭我狻焙苤匾?，它包含了所有的情況，把這個結(jié)論說給你的同桌聽一聽。

（四）揭示本質(zhì)，拓寬應(yīng)用

1.第一層次：判斷是否能圍成三角形。

出示題目（見圖10）：

師：有人能很快地判斷，你們是怎么想的？

生：只要最短的兩條邊的和與第三邊進行比較就可以了。

師：第③組為什么不能圍成三角形？

生：因為2+9<15，所以圍不成。

2.第二層次：想象觀察三角形的形狀。

師：請你想象一下它們分別圍成了一個怎樣的三角形。

生：第①組中有兩條邊一樣長，是等腰三角形。

生：第②組有點像直角三角形。

師：真的是這樣嗎？我們用三角尺中的直角來比一比，真的是直角三角形。

師：這三個三角形之間有什么聯(lián)系嗎（見圖11）？

生：一條邊都是10cm，另外兩條邊之和都是14cm。

3.第三層次：你還能畫出符合要求的三角形嗎？

師：像這樣一條邊是10cm，另外兩條邊的和是14cm的三角形還有嗎？

生：另外兩條邊可以是4cm和10cm，3cm和11cm，2cm和12cm，1cm和13cm。

生：2cm和12cm，1cm和13cm不可以，因為2+10=12，1+10<13，不符合任意兩邊之和大于第三邊。

4.第四層次：最短是幾厘米？

師：如果邊長是整厘米數(shù)，三角形的邊最短可以是幾厘米？

生：最短是3厘米。

師：如果邊長不是整厘米數(shù)，三角形的邊最短又可以是幾厘米呢？

生：可以是2.1cm，還可以是2.01cm，只要比2cm大都可以。

根據(jù)學(xué)生的反饋，借助幾何畫板分別畫出圖形（如圖12）。

5.第五層次：感受橢圓的產(chǎn)生。

師：如果把這些三角形的頂點連起來，會形成一個怎么樣的圖形呢？請你用手描一描（見圖13）。

總結(jié)：三角形的三邊關(guān)系跟數(shù)學(xué)中的某些圖形也是有聯(lián)系的。

【課堂評析】

（一）基于前置任務(wù)，曝光真實思維，聚焦核心問題

本課教學(xué)前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過三角形的概念、三角形的穩(wěn)定性及其應(yīng)用，會根據(jù)表象判斷小棒能否圍成三角形。但是，這些判斷多數(shù)屬于直覺思維，缺乏科學(xué)依據(jù)與理性分析。比如，學(xué)生對“5cm，5cm，5cm”這組小棒圍成三角形的識別率高，很大程度是受到了等邊三角形的直觀影響，而對“4cm，12cm，8cm”這組小棒能否圍成三角形的判斷就存在較大分歧，原因在于對“三邊關(guān)系”的誤解，缺乏空間想象和推理能力。

課始，教師借助前測數(shù)據(jù)，將學(xué)生的思維可視化，“曝光”了學(xué)生的真實思維狀態(tài)。順勢提出富有挑戰(zhàn)性的問題：“三邊相等就一定能圍成三角形嗎？是不是能圍成三角形時三邊一定相等？”引導(dǎo)學(xué)生評估結(jié)論的可靠性，通過應(yīng)用和命題轉(zhuǎn)換，來識別結(jié)論中的偏見和漏洞。學(xué)生通過找反例的方式進行說理：“8cm，12cm，10cm三條邊不一樣長，但是也能圍成三角形。”滲透三邊關(guān)系結(jié)論的理性分析、確定圍成三角形的充分且必要條件，創(chuàng)設(shè)探究空間，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提升。

（二）制造認知沖突，經(jīng)歷三次審辯，凸顯概念本質(zhì)

“為什么三角形任意兩邊之和大于第三邊”，在以往的教學(xué)中，教師大多給定小棒請學(xué)生圍三角形，有的能圍成，有的不能圍成，進而采用不完全歸納法得出三邊關(guān)系的結(jié)論。本課教學(xué)中，教師則是通過學(xué)生自主提出的三個結(jié)論制造沖突，增強學(xué)生的審辯意識。通過三邊能否圍成三角形的實踐操作和課件動畫演示，引導(dǎo)學(xué)生尋找理據(jù)，理性分析“三邊的長度與能否圍成三角形之間具有怎樣的聯(lián)系”，探究當(dāng)“較短兩條線段的和小于或等于第三條線段”時，這三條線段不能圍成一個三角形，并進一步認識三角形的三邊關(guān)系，即“較短兩邊之和大于第三邊”“任意兩邊之和大于第三邊”。這一過程打破了思維定式，避免探究的形式化，通過審辯結(jié)論的真?zhèn)位虿糠譃檎娴姆绞?，掌握“三角形三邊關(guān)系”的判定方法，培養(yǎng)了學(xué)生的辨異能力、反駁能力和元認知能力，進而發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)審辯思維能力。

此外，執(zhí)教教師精心設(shè)計了分類任務(wù)卡，不同的顏色代表不同的研究任務(wù)。這些任務(wù)卡既提供了研究素材，又給出了研究方法——猜想、舉例、驗證、說理，給予學(xué)生足夠的自主探究空間，使其不斷豐富和積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

（三）設(shè)計變式練習(xí)，開闊數(shù)學(xué)視野，發(fā)展空間觀念

在“揭示本質(zhì)，拓寬應(yīng)用”環(huán)節(jié)，教師設(shè)計了變式練習(xí)，以““7cm，7cm，10cm”“6cm，10cm，8cm”“15cm，2cm，9cm”“5cm，9cm，10cm”這四組小棒能否圍成三角形為起點，首先引導(dǎo)學(xué)生掌握“兩條短邊之和大于第三邊”的判定方法;接著觀察想象圍成的三角形的形狀，感悟三角形的穩(wěn)定性（唯一性）;然后固定一邊長度，推算其余兩邊長度來反向思考三邊關(guān)系，建立三邊關(guān)系與兩點間線段最短的實質(zhì)性關(guān)聯(lián);最后通過動態(tài)演示引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)符合條件的三角形頂點連接后會形成一個橢圓，拓寬了知識面。在這個環(huán)節(jié)中，教師不斷變化問題情境，對一道習(xí)題進行優(yōu)化組合，一題多用，一題多解，呈現(xiàn)性質(zhì)的正例、反例，引導(dǎo)學(xué)生進行辨別判斷，點燃了學(xué)生的思維火花。設(shè)置開放的數(shù)學(xué)問題，既豐富了學(xué)生對三角形三邊關(guān)系的認識，又加深了學(xué)生對三角形三邊關(guān)系的理解，還發(fā)展了學(xué)生的空間想象和應(yīng)用能力。

（1.浙江省杭州市天長小學(xué)? ?310006 2.浙江省杭州市上城區(qū)教育學(xué)院? ?310002）