安振亞

(田家炳實驗中學(xué)，安徽 臨泉 236400)

空間幾何體源于對客觀事物的抽象，基于對物理屬性的舍棄，而只關(guān)注它的大小、形狀與位置關(guān)系.圖形是空間幾何體的一種表現(xiàn)形式，是開展直觀想象的重要媒介，是理解與解決問題的重要工具.基于此，在實際教學(xué)中，有經(jīng)驗的數(shù)學(xué)教師一般會提醒學(xué)生：如果題目有圖形，那么要借助圖形解題；如果題目沒有圖形，那么要先畫出圖形再解題.然而，當(dāng)面對一道具有幾何背景且沒有給出圖形的試題時，一部分學(xué)生往往想不到畫圖；或者雖然想到畫圖，但是畫不出圖形；或者雖然能畫出圖形，但是畫出的圖形“詞不達(dá)意”.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何提升學(xué)生畫圖、識圖以及用圖解題的能力呢？筆者以3道試題為例，從試題分析、解后思考兩個方面做了一些淺顯的探討，與大家交流，以期拋磚引玉.

1 試題分析

以下3道試題均來自2020—2021學(xué)年某校高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷.該校是安徽省級示范高中，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，然而從閱卷情況和考后訪談看，這3道試題錯誤較多，得分率較低.

例1伯樂樹是我國特有樹種、國家一級保護(hù)樹種，被譽(yù)為“植物中的龍鳳”，常散生于濕潤的溝坡地或小溪旁.一植物學(xué)家為了監(jiān)測一棵伯樂樹的生長情況，需測量樹的高度.他在與樹干底部在同一水平面的一塊平地上利用測角儀(高度忽略不計)進(jìn)行測量，在點A處測得樹干底部在西偏北30°的方向上，沿直線向西前進(jìn)3.4 m后，在點B處測得樹干底部在西偏北40°的方向上，此時樹干頂部的仰角為60°，則該伯樂樹的高度為______(提示：sin 10°=0.17).

分析本題以實際問題為背景，考查正弦定理等知識，對學(xué)生的空間想象、運(yùn)算求解以及作圖能力要求較高.由于題目沒有給出圖形，因此需要學(xué)生讀懂題意，畫出示意圖，并借助圖形標(biāo)示出關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系來理解題意.

如圖1，在△ABC中，由∠CAB=30°，∠CBE=40°，得∠ACB=10°.由正弦定理，得

圖1

在Rt△BCD中,

故選A.

反思本題屬于“不可到達(dá)”問題.這類問題在人教A版《數(shù)學(xué)(必修2)》中共出現(xiàn)3處，分別是第50頁例10、第51頁練習(xí)第2題、第53頁習(xí)題6.4第8題.其中前兩處是共面問題，即兩次測量點與待測物體在同一個平面內(nèi)；第3處是異面問題，即兩次測量點與待測物體不在同一個平面內(nèi)，而例1是該問題的一個特例.這3個問題的共性是圖形都已經(jīng)給出，都是正弦定理的應(yīng)用.通常情況下，學(xué)生應(yīng)該做過這3道題目，教師也應(yīng)該至少講解過其中的一道.因此，例1本該成為學(xué)生得分的保證，然而實際情況卻相反.由于例1沒有給出圖形，學(xué)生又畫不出圖形，沒法借助圖形理解與解決問題，只能作罷.由此可見，對學(xué)生理解題意而言，圖形至關(guān)重要.

分析本題主要考查三棱錐的表面積、球的體積等知識，考查學(xué)生空間想象與運(yùn)算求解能力，對學(xué)生的作圖能力有一定要求.由于試題沒有呈現(xiàn)圖形，因此需要學(xué)生根據(jù)題意畫出示意圖.解決該題有兩種思路：一種是把三棱錐補(bǔ)成長方體，利用長方體與它的外接球之間的關(guān)系求解；另一種是結(jié)合三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，尋求它的外接球的球心位置(到各頂點的距離相等)，進(jìn)而構(gòu)建等量關(guān)系處理.

解法1因為CD=2，AC=AD，且AC⊥AD，所以

即

x2=4R2-4.

故選C.

圖2

在直角梯形OO1AB中，設(shè)AB=x，則

從而

解得

即

故選C.

反思在教學(xué)幾何體的外接球問題時，教師往往會介紹長方體的外接球，并告訴學(xué)生“長方體的體對角線的長度等于它的外接球的直徑”，從而建立長方體的棱長與它的外接球半徑之間的關(guān)聯(lián).然而，對于大部分學(xué)生來說，見到長方體尚且能想到它的外接球，但是對于一般的幾何體(比如例2中的三棱錐)，學(xué)生很少能想到把三棱錐補(bǔ)成長方體處理.受知識經(jīng)驗的限制，學(xué)生也很少能想到像解法2那樣，根據(jù)三棱錐和球的性質(zhì)，確定球心的位置，進(jìn)而建立球的半徑與三棱錐的3條側(cè)棱長的等量關(guān)系求解，也很少去思考這兩種解法之間的聯(lián)系.因此，借助圖形想象與分析問題是難點.需要強(qiáng)調(diào)的一點是本題的解法1和解法2在本質(zhì)上是一致的.

分析本題主要考查誘導(dǎo)公式、三角恒等變換、正弦定理、三角形的面積公式、向量的數(shù)量積等知識，綜合性強(qiáng)，難度較大.其中，第2)小題思路較多，既可用正弦定理結(jié)合三角恒等變換解決，也可以用余弦定理列方程組處理，還可以利用向量法解決.如果能想到“ccosB=4”的幾何背景，那么就能為解決問題帶來意想不到的驚喜.

ccosB=4.

(1)

從而

(2)

把式(1)代入式(2)，得

ccosB=4.

c2-b2=12;

(3)

再由c2=a2+b2-2abcosC,得

c2=b2+2b+4.

(4)

圖3

BD=ccosB=4.

進(jìn)而

2 解后思考

以上3例暴露出部分學(xué)生作圖、識圖以及用圖解題能力的不足.要改變這種狀況，筆者認(rèn)為有必要做好以下3點：

2.1 從實際情境中抽象出圖形，用圖形表征問題

學(xué)生時常會遇到各種實際問題.這些問題往往蘊(yùn)涵著各種復(fù)雜的信息，這就需要學(xué)生去偽存真，提取有效的解題信息，舍棄無效的干擾信息.而對于這些有效的信息，需要學(xué)生采用某種方式把它們呈現(xiàn)出來，再加工整合，為分析與解決問題提供幫助.而這個過程往往需要“抽象”，把實際問題中呈現(xiàn)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系提煉成圖形，并借助圖形來表征問題.利用圖形的直觀、形象詮釋問題的內(nèi)在聯(lián)系，把握問題的本質(zhì).

比如例1，首先要對研究對象進(jìn)行初次抽象，即把兩次測量點分別抽象成點A,B，把伯樂樹樹干的底部和頂部分別抽象成點C，D,把樹干抽象成線段，把地面抽象成一個平面；其次由測量的兩個角與兩個測量點的距離確定點C的位置；最后根據(jù)在點B處的仰角確定點D的位置，聯(lián)結(jié)BD，即可得到圖1.然后在圖形上標(biāo)注關(guān)鍵的位置與數(shù)量信息，結(jié)合解三角形的有關(guān)知識解決問題.

因此，在實際教學(xué)中，教師要重視抽象圖形的過程，讓學(xué)生明白“抽象什么(構(gòu)成圖形的基本要素)”“如何抽象(基本要素的析出與整合)”“用圖形如何表征問題”；重視圖形的繪制過程，讓學(xué)生知道“畫什么(作圖的對象)”“怎樣畫(作圖的基本要領(lǐng))”“還可以怎樣畫(對圖形的優(yōu)化)”，并指導(dǎo)學(xué)生動手規(guī)范作圖；還要重視3種語言(文字語言、符號語言、圖形語言)之間的相互轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生領(lǐng)悟圖形語言在3種語言中的支架作用.

2.2 發(fā)揮空間想象力，用圖形分析問題

圖形能直觀、形象地呈現(xiàn)出問題中的各種有效信息.借助圖形展開想象，可以挖掘問題中各要素之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，并加工重組這些信息，進(jìn)而形成完善的解題思路.

我們能想到△ACD所在的平面截三棱錐的外接球，得到一個圓面.由于AC⊥AD，從而△ACD是直角三角形，且該截面圓的圓心O1是斜邊CD的中點.再聯(lián)想到球心與截面圓的圓心連線垂直于截面，故外接球的球心O在過點O1且垂直于平面ACD的直線上.不難得到該直線上的任意一點到△ACD的3個頂點的距離相等，因此只需球心O滿足OA=OB即可(如圖2).然后把直角梯形OO1AB從圖2中抽象出來，利用平面幾何的知識即可解決.

進(jìn)一步思考，球心的位置在哪里呢？由于三棱錐的3個側(cè)面△ABC,△ABD,△ACD均為直角三角形，從而分別過它們斜邊的中點作三角形所在平面的垂線，則由球的性質(zhì)不難得到它們必然相交于一點，而該點就是球心O(如圖4).如果以垂線段OO1,OF,OG為長方體的長、寬、高可以構(gòu)造一個長方體AIO1J-HFOG，它的體對角線AO即為球的半徑，且其長、寬、高分別為三棱錐的3條側(cè)棱的一半，進(jìn)而建立等量關(guān)系求出側(cè)棱AB的長度.

圖4 圖5

更進(jìn)一步，什么樣的三棱錐才可以補(bǔ)成長方體以及如何補(bǔ)成長方體呢？就例2而言，在三棱錐A-BCD的一個側(cè)面是Rt△ACD的情況下，當(dāng)點B在平面ACD上的射影是矩形ACND的頂點時，才能補(bǔ)成長方體.

以上過程離不開空間想象能力的支持，也離不開圖形的構(gòu)建與整合.因此，在實際的教學(xué)中，教師要發(fā)揮學(xué)生的空間想象力，形成“有圖觀圖、無圖想圖與畫圖”的意識，讓圖形成為學(xué)生認(rèn)識問題、分析與解決問題的得力工具.教師要常常提示學(xué)生“這個問題需要畫圖嗎”“你能畫個圖嗎”“如何畫出這個圖”.

2.3 建立形與數(shù)的聯(lián)系，用圖形解決問題

數(shù)與形是數(shù)學(xué)的一對眼睛，把數(shù)與形聯(lián)系起來，發(fā)揮數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性與形的直觀性，促進(jìn)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握.在解題時，要善于觀察“數(shù)”背后的幾何背景，構(gòu)建與“數(shù)”相對應(yīng)的圖形，借助圖形解決問題，往往能化復(fù)雜為簡單，起到意想不到的功效.

當(dāng)然，直觀想象的核心主要在于利用圖形來表征問題，建立形與數(shù)二者之間的聯(lián)系，從而加深對事物本質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)識[1].以圖形為紐帶，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀與空間想象力，是促進(jìn)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)提升的有效方式.因此，在實際數(shù)學(xué)教學(xué)中，培育學(xué)生畫圖、識圖以及用圖的能力與習(xí)慣，應(yīng)成為教師的必然之舉.而作為數(shù)學(xué)可視化的重要云梯，GeoGebra軟件可實現(xiàn)“形”與“數(shù)”的自由轉(zhuǎn)換，建立“可見形式”與“抽象形式”的直接聯(lián)系[2].它能憑借優(yōu)良的構(gòu)圖、動態(tài)演示等功能，實現(xiàn)抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化、靜態(tài)的圖形動態(tài)化，進(jìn)而打通“意會”與“言傳”之間的通道，助力學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展.