武 彩 霞

(大同師范高等?？茖W(xué)校，山西 大同 037000)

0 引 言

級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析以及高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是專升本數(shù)學(xué)必考的一個(gè)內(nèi)容.收斂級(jí)數(shù)的求和在級(jí)數(shù)理論體系中占有很重要的位置，既是教學(xué)的重點(diǎn)，又是教學(xué)的難點(diǎn).教材中對(duì)級(jí)數(shù)的斂散判別方法講述的比較多，但是對(duì)收斂級(jí)數(shù)的求和方法介紹的比較少，導(dǎo)致學(xué)生在遇到級(jí)數(shù)求和問題時(shí)，常常感到束手無(wú)策.級(jí)數(shù)求和需要用到大學(xué)數(shù)學(xué)中的許多理論知識(shí)和運(yùn)算技巧，是個(gè)難度較大，技巧較高的綜合性問題，可采用的方法又是多種多樣的，只有選用恰當(dāng)?shù)姆椒?，把?jí)數(shù)化歸為可求和的形式，才能使問題得到解決.為此，對(duì)級(jí)數(shù)的求和問題進(jìn)行了探討與研究，探索級(jí)數(shù)求和的運(yùn)算規(guī)律，總結(jié)出一些常用的級(jí)數(shù)求和的常規(guī)方法與特殊方法，并對(duì)每種方法的適用類型、應(yīng)用技巧、注意事項(xiàng)作了簡(jiǎn)要分析.以期學(xué)習(xí)者對(duì)級(jí)數(shù)求和有一個(gè)較為全面的認(rèn)識(shí)，從而促進(jìn)對(duì)級(jí)數(shù)求和問題的學(xué)習(xí)和理解，并能正確解答級(jí)數(shù)求和問題.

級(jí)數(shù)分為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)兩類，其中，冪級(jí)數(shù)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中最簡(jiǎn)單的一類，有的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)還可以看作與之相對(duì)應(yīng)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在自變量取某個(gè)常數(shù)值而得到的.在冪級(jí)數(shù)中推導(dǎo)出的級(jí)數(shù)求和公式，可以直接用在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和運(yùn)算中，而某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也可以通過一些適當(dāng)?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化為冪級(jí)數(shù)來(lái)求和.因此，兩類級(jí)數(shù)的求和方法研究不是孤立的，而是相輔相成的.因此，根據(jù)級(jí)數(shù)的類型及特點(diǎn)，對(duì)于級(jí)數(shù)求和的常用方法，分別總結(jié)出四種常規(guī)方法，四種特殊方法.

1 級(jí)數(shù)求和的常規(guī)方法

對(duì)于簡(jiǎn)單的級(jí)數(shù)，可以采用裂項(xiàng)相消法、公式法、拆項(xiàng)法、錯(cuò)位相減法等，并借助于四則運(yùn)算、變量代換、標(biāo)號(hào)代換等恒等變形，直接求出級(jí)數(shù)的和.

1.1 裂項(xiàng)相消法

若級(jí)數(shù)的通項(xiàng)為分式，且分母是因式之積的形式，則可將其通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，把差式關(guān)系代入級(jí)數(shù)的部分和中，在部分和的展開式中，一些正、負(fù)項(xiàng)相互抵消，只剩下有限個(gè)項(xiàng)，再通過求部分和數(shù)列的極限，得出原級(jí)數(shù)的和.

裂項(xiàng)相消法是利用級(jí)數(shù)收斂的定義來(lái)求和時(shí)經(jīng)常使用的方法，多用于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和運(yùn)算中.

解：由于部分和為

大多數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和比較困難，因?yàn)槠洳糠趾秃瘮?shù)不易求出.如果函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)為分式，且分母是因式之積，能夠拆成兩項(xiàng)之差，把差式關(guān)系代入級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)中，在部分和函數(shù)的展開式中，一些正、負(fù)項(xiàng)可以相互抵消，也可以運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和.

解：由于部分和函數(shù)為

以上兩個(gè)例題使用裂項(xiàng)相消法的共同目的，就是為了把Sn或Sn(x)化為有限個(gè)項(xiàng)，以便求出它們的極限，進(jìn)而求出級(jí)數(shù)的和.

1.2 公式法

一些初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，可以作為冪級(jí)數(shù)求和公式來(lái)使用.仔細(xì)觀察級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，與類似的已知級(jí)數(shù)求和公式相對(duì)照，將級(jí)數(shù)經(jīng)過提取變量、變量替換、拆分組合等方法，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的已知冪級(jí)數(shù)形式，代入冪級(jí)數(shù)求和公式即可求和.

例3(山西省2018年專升本試題)

1.3 拆項(xiàng)法

如果級(jí)數(shù)通項(xiàng)可拆分為有限和的形式，就可以將級(jí)數(shù)拆分成兩個(gè)(或幾個(gè))簡(jiǎn)單的收斂級(jí)數(shù)之和，結(jié)合公式法，分別計(jì)算各部分級(jí)數(shù)的和，再求出原級(jí)數(shù)的總和.

在冪級(jí)數(shù)求和運(yùn)算中使用拆項(xiàng)法時(shí)，還要注意：既要分別求出拆分后的各個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，又要求出它們公共的收斂半徑，并且要求出和函數(shù)的收斂域.

則R=min{1,3}=1，該冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)閤∈(-1,1)，

1.4 錯(cuò)位相減法

錯(cuò)位相減法，適用于通項(xiàng)為anbn型的級(jí)數(shù)求和，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列.先將部分和Sn乘以公比q得到qSn，然后錯(cuò)開一位，與原部分和Sn作差，使得部分和可用等比級(jí)數(shù)求和公式來(lái)計(jì)算，從而簡(jiǎn)化級(jí)數(shù)求和問題.在計(jì)算中要注意：錯(cuò)位相減后，等比數(shù)列求和部分的項(xiàng)數(shù)變成(n-1)項(xiàng).

(1)

(2)

由(1)-(2)得

2 級(jí)數(shù)求和的特殊方法

對(duì)于復(fù)雜的級(jí)數(shù)，若采用以上幾種常規(guī)方法，并不能求出級(jí)數(shù)的和，則需要采用逐項(xiàng)求積、逐項(xiàng)求導(dǎo)、問題轉(zhuǎn)化、構(gòu)建微分方程等特殊方法，有時(shí)需要綜合運(yùn)用以上幾種方法，間接求出級(jí)數(shù)的和.

2.1 逐項(xiàng)求積法

若冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)系數(shù)的分子是自然數(shù)，或相鄰自然數(shù)相乘的形式，則采用先積后導(dǎo)的方法計(jì)算.先在收斂區(qū)間內(nèi)使用逐項(xiàng)求積法，約去分子上的自然數(shù)，求出新級(jí)數(shù)的和函數(shù)，再對(duì)此和函數(shù)求導(dǎo)，得出原級(jí)數(shù)的和函數(shù).

2.2 逐項(xiàng)求導(dǎo)法

分析：這是一個(gè)缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)，用比式判別法的極限形式時(shí)，要把通項(xiàng)整體代入，從而求出收斂半徑，

則收斂半徑R=1，收斂區(qū)間為(-1,1).

從而S(x)=xg(x)=xarctanx，x∈(-1,1)，

2.3 把數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為冪級(jí)數(shù)求和

有些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的表達(dá)式比較復(fù)雜，無(wú)法直接用已知公式求和，可以根據(jù)級(jí)數(shù)中各項(xiàng)的變化規(guī)律，構(gòu)造一個(gè)容易求和的冪級(jí)數(shù)，使數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是此冪級(jí)數(shù)在某個(gè)收斂點(diǎn)x0處的值，求出冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)，代入x0，則S(x0)就是該數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.

由于S′(x)=1+x-x3-x4+x6+x7-x9-x10+…

=(1+x)-x3(1+x)+x6(1+x)-x9(1+x)+…

當(dāng)x=±1時(shí)，該級(jí)數(shù)收斂，其和函數(shù)S(x)在點(diǎn)x=-1處右連續(xù)，點(diǎn)x=1處左連續(xù)，

2.4 微分方程法

則R=+∞，收斂域?yàn)?-∞,+∞).

從而S′(x)=-S(x)+ex，

(3)

3 結(jié) 語(yǔ)

級(jí)數(shù)求和問題，是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)難度較大的問題，沒有一定之規(guī)可循.要解決一般的級(jí)數(shù)求和問題，需要掌握上述級(jí)數(shù)求和的八種常用方法，還要熟記一些常用的冪級(jí)數(shù)求和公式.對(duì)于更為復(fù)雜的級(jí)數(shù)求和問題，則需要綜合運(yùn)用其中的幾種方法，或?qū)で笃渌椒?，才能有效地解決問題.