?中央民族大學(xué)附屬中學(xué)呼和浩特分校 李雪峰

1 試題呈現(xiàn)

(2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷第21題)已知函數(shù)f(x)=ln (1+x)+axe-x.

(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍.

2 試題解析

本題的第(1)問不多贅述，下面給出第(2)問的幾種不同的思考角度和解題方法.

2.1 思路一及解法

2.1.1 解題思路一的形成

因為題中所給條件是函數(shù)零點問題，所以我們先觀察函數(shù)值的正負情況以及何時為零.

當(dāng)a≥0時，若x>0,則f(x)=ln (1+x)+axe-x>0恒成立,與題意不符.因此，下面只討論a<0時的情形.

通過觀察易知f(0)=0，當(dāng)x→-1時，f(x)→-∞；當(dāng)x→+∞時，f(x)→+∞.要使f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個零點，則可以猜測f(x)的圖象大致如圖1所示.

圖1

由圖1可知，f′(0)=a+1<0顯然為其必要條件，即a<-1.下面需要說明：①當(dāng)a≥-1時，不符合題意；② 當(dāng)a<-1時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，再根據(jù)零點存在定理說明在區(qū)間 (-1,0)和(0,+∞) 上各恰有一個零點.

思路一的思維導(dǎo)圖如圖2所示.

圖2

2.1.2 具體解法

設(shè)g(x)=ex+a(1-x2).

當(dāng)-1≤a<0時，在區(qū)間(0,+∞)上，有

g(x)=ex+a(1-x2)=(ex+a)-ax2>0.

所以，在區(qū)間(0,+∞)上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，則f(x)>f(0)=0，這與題意不符.

當(dāng)a<-1時，g′(x)=ex-2ax，因為g″(x)=ex-2a>0，所以g′(x)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增.

又因為g′(-1)=e-1+2a<0,g′(0)=1>0,所以存在唯一x0∈(-1,0)，使g′(x0)=0.

因此，當(dāng)x∈(-1,x0)時，g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x0，+∞)時，g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

(為直觀起見，下面分別畫出函數(shù)g′(x),g(x),f(x)的大致圖象，如圖3～5所示.)

圖3

圖4

圖5

當(dāng)x∈(-1,x1)時，g(x)>0,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x1,x2)時，g(x)<0,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x2,+∞)時，g(x)>0,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.同時可知f(x1)>f(0)=0,f(x2)

(至此，利用隱零點求出了函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.下面利用放縮法進行區(qū)間卡根，根據(jù)零點存在定理說明在區(qū)間 (-1,0)和(0,+∞) 上各恰有一個零點.)

當(dāng)-1-e(證明略)，所以

f(x)=ln (1+x)+axe-x

由ln (x+1)-ea<0,得x

所以，當(dāng)a<-1時，函數(shù)f(x)區(qū)間 (-1,0)和(0,+∞) 上各恰有一個零點.

綜上所述，a的取值范圍是(-∞,-1).

解法2:當(dāng)a≥0時，在區(qū)間(0,+∞)上，f(x)=ln (1+x)+axe-x>0,與題意不符.下面只討論a<0時的情形.

(為直觀起見，給出g(x)的圖象，如圖6所示.)

圖6

(為直觀起見，給出g(x),f(x)的圖象，如圖7.)

下面找點說明f(x) 在區(qū)間 (-1,0),(0,+∞) 上有零點.

由ln (1+x)-ae=0，解得x=eea-1.所以可得

f(eae-1)

所以f(x) 在區(qū)間 (-1,0),(0,+∞) 上各恰有一個零點.

綜上所述，a的取值范圍是(-∞,-1).

點評：解法1和解法2的基本思路一樣，都是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)對參數(shù)a進行分類討論，然后借助隱零點將函數(shù)的定義域分成若干個單調(diào)區(qū)間，最后在每個單調(diào)區(qū)間上卡根，根據(jù)零點存在定理說明函數(shù)零點的情況.

解法2在求導(dǎo)后將導(dǎo)函數(shù)等價變形，使再求導(dǎo)后只需解一個不含參的二次不等式，簡化了運算.

解題一般是按照由易到難的順序進行思考，即先觀察、猜想，再分析、思辨，最后論證、求解.題目越復(fù)雜越要注意細節(jié)，細節(jié)往往是打通解題思路的關(guān)鍵.

2.2 思路二及解法

2.2.1 解題思路二的形成

函數(shù)零點的問題往往可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點問題，因此該題可以考慮參變分離，將函數(shù)零點的問題轉(zhuǎn)化為直線與另一個函數(shù)圖象交點問題，同時還可以避免參數(shù)討論帶來的麻煩.

思路二的思維導(dǎo)圖，如圖8所示.

圖8

2.2.2 具體解法

解法3:因為f(0)=0,所以f(x)=0等價于

令g(x)=(x2-1)ln (1+x)+x，則

g′(x)=x[1+2ln (1+x)].

(注意到g(0)=0，所以先討論g(x)在x>0時的正負情況.)

當(dāng)x>0時，g′(x)>0，則g(x)單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=0，從而當(dāng)x>0時，F(xiàn)′(x)>0，F(xiàn)(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.

由導(dǎo)數(shù)定義，得

=1.

(為直觀起見，下面給出F(x)的圖象.)

圖9

如圖9所示，要使直線y=a與F(x)圖象在y軸右側(cè)恰有一個交點，則必然有-a>1，即a<-1.

(為直觀起見，給出g(x)，F(xiàn)(x)的圖象，如圖10.)

綜上所述，當(dāng)a<-1時，f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個零點.

點評:解法3的好處在于對F(x)求導(dǎo)后避免了參數(shù)的討論；難點在于當(dāng)x趨于0時F(x)的極限值不易求出，雖然可用洛必達法則，但是超出了高中所學(xué).該解法繞開了洛必達法則，利用導(dǎo)數(shù)的定義求出F(x)在x=0處的極限，比較巧妙，不易想到.

3 試題鏈接

下面給出兩道高考真題，供讀者練習(xí).

試題1(2017年全國Ⅰ卷理科)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

試題2(2018年全國Ⅱ卷理科)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(1)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點，求a.

4 總結(jié)

函數(shù)零點問題是高考的?？純?nèi)容，數(shù)形并用、合理分類是解題的關(guān)鍵.區(qū)間探點是一個難點，常?？梢杂梅趴s法解決.上述方法都是解決此類問題的典型方法，由于方法3中的極限值不易求出，考試中絕大多數(shù)考生選擇了方法1和方法2.

該題對學(xué)生的邏輯推理能力和運算能力要求較高，解題時要求學(xué)生注意細節(jié)、大膽猜想、合理分類、準(zhǔn)確計算，這樣才能將問題順利解決.