?江蘇省常州市北郊高級(jí)中學(xué) 顧海波

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

高考真題(2020年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第11題)設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*)，則d+q的值是________．

2 第一部曲：會(huì)讀

等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩種特殊類(lèi)型的基本數(shù)列，它們有著各自的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等，相互之間既有聯(lián)系又有區(qū)別．在一些綜合應(yīng)用問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)碰到等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的融合與交匯問(wèn)題，形式多樣，創(chuàng)新新穎，是歷年高考中的熱點(diǎn)與亮點(diǎn)題型之一，倍受關(guān)注．

此題結(jié)合兩個(gè)特殊類(lèi)型的數(shù)列以創(chuàng)新全新形式呈現(xiàn)，利用一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成的和式數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和來(lái)確定公差d與公比q和的值．合理把數(shù)列、數(shù)論等相關(guān)知識(shí)加以有機(jī)交匯與融合，以創(chuàng)新新穎的面貌展示在大家面前．

題目簡(jiǎn)單明了，難度適中，巧妙綜合了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等相關(guān)知識(shí)，是一道不可多得的數(shù)列創(chuàng)新綜合題，值得好好品味與研究．

3 第二部曲：會(huì)解

美國(guó)數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)：“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題．”在讀懂題意的情況下，會(huì)解決問(wèn)題是基本能力之一，也是數(shù)學(xué)教育與學(xué)習(xí)的主要目的．

3.1 思維視角一：代數(shù)運(yùn)算

方法1：代數(shù)運(yùn)算法.

解析：當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1+b1=1-1+2-1=1.

當(dāng)n≥2時(shí)，an+bn=Sn-Sn-1=n2-n+2n-1-[(n-1)2-(n-1)+2n-1-1]=2n-1+2n-2.

所以

a2+b2=22-1+2×2-2=4，

a3+b3=23-1+2×3-2=8，

a4+b4=24-1+2×4-2=14.

由a2+b2=a1+d+b1q=4，

a3+b3=a1+2d+b1q2=8，

a4+b4=a1+3d+b1q3=14,

可得

d+b1(q-1)=3，

d+b1q(q-1)=4，

d+b1q2(q-1)=6.

即

b1(q-1)=3-d，

b1q(q-1)=4-d，

b1q2(q-1)=6-d.

故填答案：4．

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)n的分類(lèi)討論以及數(shù)列{an+bn}的前4項(xiàng)的確定，結(jié)合a1+b1=1與相應(yīng)的關(guān)系式進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，并結(jié)合條件關(guān)系式的轉(zhuǎn)化建立相應(yīng)的方程，從而得以確定d與q的值．其實(shí)，在確定an+bn=2n-1+2n-2時(shí)，分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的函數(shù)性，可以直接確定an=2n-2，bn=2n-1，進(jìn)而確定公差與公比的值.在解決小題時(shí)經(jīng)?？梢赃@樣處理，以節(jié)省時(shí)間．

3.2 思維視角二：公式應(yīng)用

方法2：對(duì)比系數(shù)法.

解析：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為

根據(jù)題意知q≠1，則等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和公式為

所以d+q=2+2=4.

故填答案：4．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式建立相應(yīng)的關(guān)系式，結(jié)合條件Sn=n2-n+2n-1，通過(guò)對(duì)比相應(yīng)關(guān)系式中的系數(shù)建立對(duì)應(yīng)的方程組，進(jìn)而確定相關(guān)參數(shù)d與q的值．從數(shù)列求和公式入手進(jìn)行對(duì)比系數(shù)法處理，從而解決問(wèn)題．

3.3 思維視角三：函數(shù)性質(zhì)

方法3：待定系數(shù)法.

解析：根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，可知Sn=An2+Bn+C(qn-1)=n2-n+2n-1.

所以有A=1，B=-1，C=1，q=2.

所以d+q=2+2=4.

故填答案：4．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，引入?yún)?shù)，直接確定對(duì)應(yīng)的前n項(xiàng)和公式的表達(dá)式，結(jié)合條件Sn=n2-n+2n-1，通過(guò)對(duì)比相應(yīng)關(guān)系式中的系數(shù)關(guān)系及待定系數(shù)法的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而確定相關(guān)參數(shù)d與q的值．待定系數(shù)法，抓住數(shù)列的函數(shù)性，引入?yún)?shù)，巧妙快捷．利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)加以處理，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)數(shù)學(xué)高考的“多考思維，少考計(jì)算”的命題新理念，意在考查學(xué)生的分析、觀察、歸納、猜想和邏輯推理等能力，充分體現(xiàn)學(xué)生思維能力的差異性，具有很好的選拔性與區(qū)分度．

4 第三部曲：會(huì)變

將原題從視角、深度、廣度等方面加以思考與推廣，進(jìn)行多方位的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用，從而充分體會(huì)與挖掘原題的訓(xùn)練與應(yīng)用價(jià)值．

探究1：保留題目的背景，改變“兩數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和式數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和”為“兩數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積式數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和”，深入拓展應(yīng)用，提升問(wèn)題難度，得到以下變式問(wèn)題．

變式1設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn=(2n-4)·2n+4(n∈N*)，若b1=1，則d+q的值是________．

解析：當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1b1=(2×1-4)×21+4=0.

當(dāng)n≥2時(shí)，anbn=Sn-Sn-1=[(2n-4)·2n+4]-[(2n-6)·2n-1+4]=(n-1)·2n.

上式也適合n=1的情形，所以

anbn=(n-1)·2n，n∈N*.

又anbn=[a1+(n-1)d]·b1qn-1=(b1dn+a1b1-b1d)·qn-1=(2n-2)·2n-1，對(duì)比系數(shù)可知

由b1=1，得d=2，所以d+q=2+2=4.

故填答案：4．

點(diǎn)評(píng)：同樣的道理，通過(guò)n的分類(lèi)討論來(lái)確定數(shù)列{anbn}的通項(xiàng)公式，分別結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)建立與之相應(yīng)的關(guān)系式，通過(guò)對(duì)比相應(yīng)關(guān)系式中的系數(shù)建立對(duì)應(yīng)的方程組，并結(jié)合相關(guān)條件確定參數(shù)d與q的值．

探究2：保留題目的背景，改變兩個(gè)不同數(shù)列之間關(guān)系的給出方式，以通項(xiàng)公式的關(guān)系式為背景來(lái)設(shè)置問(wèn)題，從另一角度加以合理變形，得到以下變式問(wèn)題．

結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可知(a1+nd)(a1+nd-2d)=q(a1+nd-d)2對(duì)一切n∈N*恒成立.

整理，可得

因?yàn)閝為常數(shù)，且n∈N*，所以d=0，q=1，可得

d+q=0+1=1.

故填答案：1．

點(diǎn)評(píng)：利用等比數(shù)列的定義，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式得到對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，將恒成立的關(guān)系式分離參數(shù)q，結(jié)合其為常數(shù)的隱含條件確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，進(jìn)而利用數(shù)論的相關(guān)知識(shí)加以分析與推理，并結(jié)合相關(guān)條件確定參數(shù)d與q的值．

5 第四部曲：會(huì)學(xué)

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要目的就是讓學(xué)生會(huì)解決問(wèn)題，會(huì)學(xué)習(xí)，特別是會(huì)自主學(xué)習(xí)，這才是素質(zhì)教育的核心，也是學(xué)生終身學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)．結(jié)合數(shù)列知識(shí)的內(nèi)涵，可以得到三個(gè)方面的啟示，為學(xué)生學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)指明方向．

5.1 把握實(shí)質(zhì)

選擇題或填空題中的數(shù)列小題，一般來(lái)說(shuō)是中檔層次的問(wèn)題．對(duì)此類(lèi)數(shù)列問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)數(shù)列本身屬性的認(rèn)識(shí)不夠清晰，沒(méi)有準(zhǔn)確把握數(shù)列中相關(guān)要素之間的變化規(guī)律．在數(shù)列的教學(xué)過(guò)程中，教師要教會(huì)學(xué)生把握數(shù)列本身的規(guī)律，進(jìn)而確定數(shù)列的通項(xiàng)或求和等相關(guān)問(wèn)題，合理提升解題能力和數(shù)學(xué)能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

5.2 交匯融合

在“知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題”是高考數(shù)學(xué)大綱的明確要求與高考數(shù)學(xué)命題的指導(dǎo)思想之一.作為數(shù)學(xué)的主干知識(shí)之一的數(shù)列，更是多知識(shí)交匯與綜合的重要載體，是創(chuàng)新應(yīng)用與創(chuàng)新意識(shí)的更深層次體現(xiàn)，是每年高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)與亮點(diǎn)之一．?dāng)?shù)列的交匯綜合問(wèn)題，以數(shù)列的相關(guān)知識(shí)為背景或串聯(lián)點(diǎn)，把相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以合理創(chuàng)新與融合，巧妙通過(guò)數(shù)與形、數(shù)與數(shù)等的結(jié)合，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的交匯與綜合，提升問(wèn)題的趣味性與拓展性．

5.3 創(chuàng)新領(lǐng)航

數(shù)列問(wèn)題的創(chuàng)新設(shè)計(jì)，把數(shù)列這一代數(shù)概念拓展到更為復(fù)雜與綜合的角度進(jìn)行展示，結(jié)合創(chuàng)新背景、創(chuàng)新知識(shí)、創(chuàng)新應(yīng)用等，滲透不同類(lèi)型的數(shù)列之間、數(shù)列與其他相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系與交匯問(wèn)題.增強(qiáng)邏輯推理，多閱讀，多推理.“多考思維，少考計(jì)算”，在一定程度上可以增強(qiáng)解題的綜合性和趣味性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展分析能力和解題能力，以及數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力和邏輯推理能力等，全面提升數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．