楊勝凱
摘要:2020年貴州省教科院立項課題《高中數(shù)學(xué)“一題一課、多解變式”復(fù)習(xí)模式的實踐研究》(課題編號:2020B080),課題組成員立足于高考真題進行課題研究而形成的一題一課、多解變式教學(xué)案例。通過對2017年全國Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第20題的研究,以落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為載體,去研究一道題得到一類題的通性通法的解法,從而全方位、多角度地挖掘?qū)W生潛在的數(shù)學(xué)解題思維,培養(yǎng)學(xué)生問題探究意識和問題解決能力。該課例已運用于課堂,效果較好。
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);一題一課;圓錐曲線
一、教學(xué)設(shè)計
(一)知識點
拋物線的概念與性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系,弦長計算及方程思想、轉(zhuǎn)化化歸思想.
高考真題:(2017年全國Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第20題)設(shè)A,B為曲線C:上兩點,A與B的橫坐標(biāo)之和為4.
(1) 求直線AB的斜率;
(2) 設(shè)M為曲線C上一點,C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程.
(二)學(xué)習(xí)背景
1.教材分析
高考定位 1.圓錐曲線中的定點與定值、最值與范圍問題是高考必考的問題之一,主要以解答題形式考查,往往作為試卷的壓軸題之一;2.以橢圓或拋物線為背景,題型靈活多變,由于向量、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容的充實,圓錐曲線逐漸向多元化、交匯型發(fā)展.尤其是與條件或結(jié)論相關(guān)存在性開放問題.對考生的代數(shù)恒等變形能力、計算能力有較高的要求,并突出數(shù)學(xué)思想方法考查.
2.學(xué)情分析
圓錐曲線作為壓軸大題,難度使許多考生高不可攀,也是學(xué)生最容易失分的地方;圓錐曲線的難點不僅是其自身的一些基本性質(zhì),還常將其與向量,不等式,函數(shù)等綜合在一起,難度更是雪上加霜令不少考生絞盡腦汁;其實考生都熟悉圓錐曲線的一些基本性質(zhì),但對其性質(zhì)的靈活多變及運用卻不容易;本課著重分析高考中圓錐曲線的解題方法和思路,比如常用的韋達定理運用,及向量有關(guān)(雙根法)、雙斜率問題等,盡可能做到"授人以魚,不如授人以漁".訓(xùn)練學(xué)生對問題進行分析,思考,探索,解決的方法,教導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真仔細尋求正確的方法解決問題.
3.核心問題
(1)知識層面,根據(jù)圓錐曲線的概念及其性質(zhì)出發(fā),用代數(shù)語言表示幾何元素,進而用解析方法(坐標(biāo)法)解決幾何問題
(2)學(xué)生層面,首先,從題目中的基本量出發(fā),找到圓錐曲線變量之間的關(guān)系。然后通過不同的方式方法去解決變量之間的關(guān)系。教學(xué)過程中想要做到盡量創(chuàng)新,就應(yīng)該堅持從實踐到探索再到學(xué)習(xí)的循序漸進的過程。高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)中培養(yǎng)并激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣便尤為重要。
(三) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.核心素養(yǎng)目標(biāo):此題考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力.
2.長見識悟道理:
長見識要求:解題過程中,要適時審題,聯(lián)系知識點之間的關(guān)系,要善于發(fā)現(xiàn)問題與結(jié)論或性質(zhì)之間的聯(lián)系,切實做到優(yōu)化解題路徑.
悟道理要求:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,既要關(guān)注常規(guī)方法,又要關(guān)注非常規(guī)方法,做到思考到位,功夫到家.
二、教學(xué)過程
(一)一題多解
1.第(1)問的問題分析
審題,已知A,B為曲線C:上兩點,A與B的橫坐標(biāo)之和為4,則可通過斜率公式去找到他們之間的關(guān)系,從而求出斜率。
(1)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1≠x2,,,x1+x2=4,
于是直線AB的斜率.
教學(xué)研討:①根據(jù)斜率公式,利用基本量兩個點直接代入化解,直接代公式就出結(jié)果.教學(xué)過程中,學(xué)生應(yīng)該注重基礎(chǔ)知識,同時引導(dǎo)學(xué)生在圓錐曲線的第一問應(yīng)該是拿分點,要勇敢去爭取.
2.第(2)問的問題分析
①利用韋達定理解決問題
欲求直線AB的方程,在第一問的基礎(chǔ)上可以知道直線AB的斜率,要求直線的方程,只需要一個條件去化解就可以得到答案.
解法1:由(1)知,設(shè)直線AB的方程為y=x+m,M(x3,y3),
由,得.
由題設(shè)知,解得x3=2,于是M(2,1).
由,化解得x2-4x-4m=0.
∵△=16(m+1)>0,即m>-1,,
∵AM⊥BM,
,
,
化解得,
即,解得或(舍),
所以直線AB的方程為.
教學(xué)研討:直線與圓錐曲線聯(lián)立消元,用韋達定理去找題目中聯(lián)立的關(guān)系式子,此方法經(jīng)常用來求解直線過定點的問題。但是在最后找到關(guān)系式,用或y1+y2、y1·y2代替化解時,計算量特別大,很難化解到最后的答案。同時解決此類問題,也可以找到一些相關(guān)性質(zhì)化解。比如,直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半;設(shè)線段AB的中點為N(2,2+m),|MN|=|m+1|.從x2-4x-4m=0,求得,從而.由題設(shè)知|AB|=2|MN|,即,解得m=7.所以直線AB的方程為y=x+7.
三、教學(xué)反思
圓錐曲線在高考中是一個壓軸題,很多學(xué)生望而生畏。平時在教學(xué)過程中,往往是教學(xué)生通過引進坐標(biāo)系,借助“數(shù)形結(jié)合”思想,來研究曲線本身的方程和簡單幾何性質(zhì),以及直線與曲線的位置關(guān)系及弦長等問題。 我們知道“解析法”思想始終貫穿在這全章的每個知識點,同時“轉(zhuǎn)化、討論”思想也相映其中,無形中增添了數(shù)學(xué)的魅力以及優(yōu)化了知識結(jié)構(gòu)。
四、學(xué)習(xí)鞏固
1.(2013年天津)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點,過左焦點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點。若,求k的值。
2.已知橢圓E:的右焦點為F(1,0),過F且與x軸垂直的弦長為3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線l過點F與橢圓交于A,B兩點,問x軸上是否存在點P,使為定值?若存在,求出P的坐標(biāo);若不存在,說明理由。
3.已知橢圓C:,若直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點(A,B不是左右頂點),且以線段AB為直徑的圓恒過橢圓C的右頂點。求證:直線l恒過定點,并求出該點的坐標(biāo)。