張 偉，張學良，溫淑花，姚世生，賈廣寧，張茜茜，陳 赟

(太原科技大學 機械工程學院，太原 030024)

結合面在機械機構中大量存在，通常把機械結構中零件、組件、部件之間相互接觸的表面稱為結合面[1]。研究和預測機械結構中結合面的摩擦具有十分重要意義[2]。靜摩擦系數(shù)作為摩擦學的兩個重要參數(shù)之一，對其的研究是不容忽視的。1988年Chang等[3]在GW模型的基礎上通過考慮彈性接觸點承受切向載荷的能力，建立了結合面靜摩擦系數(shù)統(tǒng)計模型(簡稱為CEB摩擦模型)。然而CEB模型中所使用的統(tǒng)計學參數(shù)只能反映與儀器分辨率及取樣長度有關的結合面粗糙度信息。以這些參數(shù)為基礎建立的模型對結合面靜摩擦系數(shù)的預測結果也就不是唯一的，盛選禹等[4]在MB分形模型的基礎上，建立了結合面靜摩擦因數(shù)預測模型。田紅亮等[5-6]對結合面分形理論進行改進，進一步研究建立了結合面靜摩擦因數(shù)分形模型。但是MB模型中卻只利用W-M函數(shù)中波長為l的余弦函數(shù)代表微凸體來推導接觸點上壓力和面積的關系，這與粗糙表面具有統(tǒng)計自仿射分形特性不符。

基于前人的研究并針對上述的不足，本文在文獻[7]的研究基礎上建立了基于自仿射接觸點的結合面靜摩擦系數(shù)分形模型，通過數(shù)值仿真分析并討論了結合面分形參數(shù)以及無量綱法向接觸載荷對靜摩擦系數(shù)的影響規(guī)律。

1 基于自仿射接觸點的結合面靜摩擦系數(shù)分形模型

1．1 傳統(tǒng)MB模型的修正

為便于讀者理解此處先給出自仿射接觸點在分形結合面的概念，自仿射接觸點即由多個單余弦函數(shù)疊加而成的接觸點，具有統(tǒng)計自仿射性，與傳統(tǒng)MB分形模型簡化后給出的單余弦函數(shù)表述的微凸體截然不同。傳統(tǒng)MB模型中給出具有分形特征的各向同性的粗糙表面的表面形貌可用W-M函數(shù)來描述，其表達式為：

(1)

若忽略更小尺度上的細節(jié)，則在l范圍內的輪廓線可以由W-M函數(shù)確定其數(shù)學表達式近似為余弦波，即：

(2)

式中：l為接觸長度；G為分形特征長度尺度參數(shù)；D為分形維數(shù)。

由式(1)可以清楚地看到利用W-M函數(shù)生成的分形表面微凸體表現(xiàn)為多個余弦函數(shù)疊加而成且具有統(tǒng)計自仿射性。而在MB模型中將其簡化后利用單余弦函數(shù)近似模擬微凸體(式(2))，這樣不僅使結合面微凸體失去了統(tǒng)計自仿射性，也必然會導致計算結果的不準確，因此本文使用文獻[7]中自仿射接觸點的概念修正MB模型，并基于此建立結合面靜摩擦系數(shù)分形模型。這里需要說明的是本文中接觸點和式(2)中簡化后的微凸體的區(qū)別在于接觸點是一個動態(tài)的概念，其可由諸多微凸體組合而成，比微凸體更復雜且更適合用于接觸過程的研究。此外利用接觸點的概念后將不必再考慮微凸體之間的相互作用，接觸點自身就是微凸體相互作用的結果[7]。結合面接觸點的示意圖如圖1所示。

圖1 接觸點與剛性平面的接觸示意圖

研究表明直徑為l的接觸點的變形量可表示為[7]：

(-l/2

(3)

式(3)與文獻[8]中的式(1)不同。

接觸點的峰頂曲率半徑與面積的關系見式(4)，可以看到當接觸面積為零時即當接觸為一個點時微凸體接觸點的半徑為零，這與實際相符。

(4)

1.2 結合面法向受載建模

為簡便本文中法向載荷的計算，采用文獻[6]中的計算方式，各個自仿射微接觸面積的分布函數(shù)為[7]：

(5)

這里的接觸面積分布函數(shù)與傳統(tǒng)MB模型中的不同。

式中：al為接觸點中的最大接觸面積。

根據(jù)赫茲接觸理論[9]，單個接觸點受載時，隨著載荷的增大，將會經(jīng)歷從彈性到完全塑性的變形過程，由彈性變形向彈塑性變形轉變的臨界變形量用δc表示，研究表明[10]。

(6)

模型E1、E2和泊松比v1、v2表示為：

而由彈性變形向塑性變形轉化的臨界接觸面積可表示為[7]：

(7)

需要特別說明的是這里G的量綱為m0.5，這與傳統(tǒng)分形模型中如文獻 [11]中的G的量綱為m不同，本文中接觸點的變形規(guī)律與MB模型相同，當微凸體接觸面積大于臨界接觸面積ac時微凸體發(fā)生彈性變形，此時接觸點接觸面積與接觸載荷的關系為：

當微凸體接觸面積小于臨界接觸面積ac時微凸體發(fā)生塑性變形，此時接觸點接觸面積與接觸載荷的關系為：

Fp(a)=Kσya

(9)

根據(jù)式(5)、(8)、(9)可將結合面承擔的法向載荷表示為：

(10)

為了使比較的結果具有通用性，這里把上述計算出的結合面法向載荷進行量綱一化，量綱一化后的表達式如下[7]：

(11)

1.3 結合面切向載荷建模

根據(jù)文獻[12-13]可知在法向載荷下只有處于彈性變形階段的微凸體可以承受切向載荷，故而在計算結合面靜摩擦力時只有處于彈性變形狀態(tài)的微凸體對靜摩擦力有貢獻。當接觸變形微凸體所承受的切向載荷不斷增大時，微凸體完全彈性變形區(qū)的接觸界面最終達到完全屈服，此時的最大切向載荷為其靜摩擦力。

本文模型采用文獻[12-13]的假設，微凸體接觸界面的屈服發(fā)生在接觸點的邊緣，而邊緣上的應力為：

(12)

(13)

σz=τxy=τxz=τyz=0

(14)

式中：σx為與正向載荷方向相同的應力；σy為與摩擦力方向相同的應力；σz為垂直于正向載荷和法向載荷所在平面的載荷；F為單個微凸體上的法向載荷。

采用Tresca屈服條件：

(15)

其中，σs為較軟材料的屈服強度。

由式(12)-式(14)的應力方程可得：

σ1=σx，σ2=σy，σ3=0

將此代入屈服條件得到當微凸體接觸界面達到完全屈服時，其所能承受的最大切向載荷即最大靜摩擦力為：

(16)

那么，結合面所能承受的最大靜摩擦力為：

(17)

將上述Te中的參數(shù)進行量綱一化，量綱一化后的切向載荷表達式為：

(18)

I*m=G*(D-1)101.8D2-4D+3

則結合面靜摩擦系數(shù)為：

(19)

2 結合面靜摩擦系數(shù)分形模型的仿真與討論

將文獻[7]中的相關數(shù)據(jù)代入本文以上所建模型，運用數(shù)值仿真的方法給出了在相同分形維數(shù)下不同特征尺度系數(shù)的結合面靜摩擦系數(shù)隨量綱一化法向接觸載荷的變化(見圖2)和在相同特征尺度系數(shù)下不同分形維數(shù)的合面靜摩擦系數(shù)隨量綱一化法向接觸載荷的變化(見圖3).最后將本文的靜摩擦系數(shù)分形模型與MB模型進行了比較，仿真結果如圖4所示。

圖3 分形維數(shù)對靜摩擦系數(shù)影響的示意圖

圖4 本文模型(BW)與MB模型比較示意圖

由圖2可知結合面靜摩擦系數(shù)隨量綱一化結合面法向接觸載荷F*的增大而增大，這與文獻[4-5]中的理論研究結論一致，也與文獻[6]中的理論和實驗研究結果相同。這是因為分形模型中假設每個微凸體都是完全變形，大接觸點通過對小接觸點的不斷加載而獲得，如圖1所示，當接觸面在位置1時點a和點b由于接觸面積較小致使峰頂曲率半徑較小，(這一點可以從公式(4)看出)而處于塑性變形，隨著載荷的增大接觸的剛性平面下降，相對較小的點a和點b合成較大的點c，此時對于單個點c來說接觸面積增大，應力得到釋放，接觸點由塑性變形轉為彈性變形，由于只有處于彈性變形階段的接觸點能夠承受切向載荷，對靜摩擦系數(shù)有貢獻，故而靜摩擦系數(shù)隨量綱一化結合面法向接觸載荷F*的增大而增大。結合面靜摩擦系數(shù)隨著無量綱分形特征長度尺度參數(shù)G*的增大而減小。這與文獻[4-6]中的研究結果相同。

圖2 特征尺度系數(shù)對靜摩擦系數(shù)影響的示意圖

由圖3可知結合面靜摩擦系數(shù)隨量綱一化結合面法向接觸載荷F*的增大而增大，隨分著形維數(shù)的增大而增大，這與文獻[4-6]中的結論一致。下面給出本文的靜摩擦系數(shù)分形模型與基于MB模型的結合面靜摩擦系數(shù)分形模型[4]仿真的比較圖。

圖4給出了分形維數(shù)D分別為1.3、1.35、1.4、1.45時G*從3E-9～7E-9的結合面靜摩擦系數(shù)隨量綱一化結合面法向接觸載荷的變化規(guī)律圖，并與基于MB模型的結合面靜摩擦系數(shù)分形模型進行了比較，由圖4可知當D=1.3時MB模型對結合面靜摩擦系數(shù)的預測結果比本文模型大，當D=1.35、1.4、1.45時MB模型對結合面靜摩擦系數(shù)的預測結果比本文模型小，這一點可以從文獻[7]中得到很好的解釋，隨著分形維數(shù)的增加接觸點多余弦疊加的效果越顯著，自仿射接觸點的最大變形量要比用單余弦函數(shù)描述的微凸體產生的最大變形量大，即同等條件下本文模型中接觸點要比傳統(tǒng)MB分形模型中的微凸體提前進入彈性變形，而只有彈性變形的接觸點對靜摩擦系數(shù)有貢獻，因此隨著分形維數(shù)的增大，MB模型對結合面靜摩擦系數(shù)的預測結果比本文模型小。兩種模型仿真結果趨勢相同，說明了本文模型的合理性。

3 結論

(1)本文建立了基于自仿射接觸點的結合面靜摩擦系數(shù)分形模型，并與基于MB模型的結合面靜摩擦系數(shù)分形模型進行了比較。

(2)隨著分形維數(shù)的增大，基于MB模型的結合面靜摩擦系數(shù)分形模型對結合面靜摩擦系數(shù)的預測結果比本文模型小。

(3)結合面靜摩擦系數(shù)隨量綱一化結合面法向接觸載荷F*的增大而增大，隨著無量綱分形特征長度尺度參數(shù)G*的增大而減小，隨著分形維數(shù)的增大而增大。