☉羅二連

在小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，要能夠融進數(shù)形結(jié)合的思想來賦予數(shù)學(xué)概念具象化的特征，從而讓學(xué)生能夠從直觀中提取出對概念的理解，進而能夠建立概念性數(shù)學(xué)認知。那么，如何在“倍數(shù)與因數(shù)”一課的教學(xué)中利用數(shù)形結(jié)合思想來促進學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念呢？

一、在數(shù)形結(jié)合中引入數(shù)學(xué)概念

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)時，引入數(shù)學(xué)概念是極為重要的環(huán)節(jié)。在這一環(huán)節(jié)之中借助于數(shù)形結(jié)合可以讓學(xué)生直觀形象地感知數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的生活基點，有效地實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生活化。

例如，教學(xué)“倍數(shù)和因數(shù)”一課，我就是利用數(shù)形結(jié)合的方式引出數(shù)學(xué)概念，促進學(xué)生直觀地感知數(shù)學(xué)概念。

教學(xué)片斷：用課件呈現(xiàn)“用12個邊長1 厘米的小正方形拼擺成一個大長方形，有多少種擺法呢？”

師：請大家拿出自己手中的小正方形，拼一拼、擺一擺。

學(xué)生嘗試擺成長方形，教師巡視指導(dǎo)。

師：誰來說一說自己的擺法。

生1：我是這樣拼擺的，將這12 個小正方形擺成2 行，每行6 個。

生2：我擺成的長方形，長是4 厘米，寬是3 厘米。

生3：我是這樣拼擺的，擺成1 行，12 個連著在一排。

在學(xué)生匯報后，教師用課件依次地給學(xué)生呈現(xiàn)拼擺的三種不同方法。

師：你們能用乘法算式來表示它們的面積嗎？

指名學(xué)生說說。

教師依據(jù)學(xué)生的回答，依次板書：1×12=12，2×6=12，3×4=12

師：同學(xué)們，我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是倍數(shù)和因數(shù)。比如，在2×6=12 這個算式里，誰是誰的倍數(shù)？誰又是誰的因數(shù)呢？

生4：我想12 應(yīng)該是2 的倍數(shù)，12 是6 的倍數(shù)，因為12 這個數(shù)大。在平時的學(xué)習(xí)中，我們有時候會遇到“12是2的幾倍？”這樣的問題。我就是這樣理解的。

師：你想得真好呀！能夠根據(jù)經(jīng)驗來思考數(shù)學(xué)問題。

師：再請同學(xué)們猜一猜另外兩道算式里的數(shù)，看一看誰是誰的倍數(shù)、誰又是誰的因數(shù)。

生5：12 是3 和4 的倍數(shù)，3和4 是12 的因數(shù)。

生6：1 和12 是12 的因數(shù)，12 是1 和12 的倍數(shù)。

師：這兩個“12”是一樣的嗎？

生7：不一樣，一個是乘數(shù)，另一個是積，表示的是兩個數(shù)。

在上面的教學(xué)活動中，教師能夠通過讓學(xué)生動手拼擺小正方形的方式，利用好數(shù)形結(jié)合，促進學(xué)生初步感受數(shù)與數(shù)之間的“因數(shù)和倍數(shù)”關(guān)系。不僅引入了倍數(shù)與因數(shù)的概念，也為下面將要進一步探究“因數(shù)和倍數(shù)的研究范圍不包括0，且是整數(shù)”這樣的知識做了鋪墊。

二、在數(shù)形結(jié)合中抽象出數(shù)學(xué)概念

在數(shù)學(xué)概念的理解活動中，引領(lǐng)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)概念是極為重要的。唯有做到抽象概念，才能使學(xué)生深刻地理解概念。滲透數(shù)形結(jié)合思想可以有效地讓學(xué)生經(jīng)歷抽象數(shù)學(xué)概念的全過程，進而能夠達到更佳的教學(xué)效果［1］。

例如，在教學(xué)“倍數(shù)和因數(shù)”時，我是這樣引領(lǐng)學(xué)生抽象出概念的。

師：請同學(xué)們觀察這些算式“1×12=12，2×6=12，3×4=12”，看看它們都有怎樣的特點？

生1：都是乘法算式，積都是12。

生2：乘數(shù)和積都是整數(shù)。

師：從圖上來觀察的話，它們可以是0 嗎？為什么？

生3：不可以是“0”，因為拼擺成長方形的長與寬都是整數(shù)，不可能是“0”。

師：對的，研究因數(shù)和倍數(shù)的范圍是非“0”的自然數(shù)。

師：能用更好的辦法來表示出數(shù)與數(shù)之間的倍數(shù)與因數(shù)關(guān)系嗎？

生4：可以用字母來表示呀。

師：如果用a 和b 來表示兩個乘數(shù)，用c 來表示積的話，怎么來表示出它們的關(guān)系呢？

生5：如果a×b=c（均是不為“0”的自然數(shù)），那么，我們就說a 和b 是c 的因數(shù)，或者說c 是a 和b 的倍數(shù)。

……

在上面的教學(xué)活動中，教師能夠緊緊圍繞數(shù)形結(jié)合進行概念的抽象，既依靠圖形來引領(lǐng)學(xué)生深入理解倍數(shù)與因數(shù)的概念，同時也是引領(lǐng)學(xué)生從直觀中走向抽象化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最有效途徑。

三、在數(shù)形結(jié)合中內(nèi)化數(shù)學(xué)概念

借助于數(shù)形結(jié)合思想可以更好地促進學(xué)生將數(shù)學(xué)概念進行內(nèi)化理解。在數(shù)學(xué)教學(xué)之中，學(xué)生一旦對數(shù)學(xué)概念有了初步的感知與理解，教師就要及時地促進學(xué)生在數(shù)形結(jié)合中內(nèi)化數(shù)學(xué)概念。

師：上面的2×6=12 算式可以改寫成除法算式嗎？

生：能。

師：可以改寫成什么呢？

生：12÷2=6，12÷6=2。

師：如果用字母來表示的話就是什么呢？

生：c÷a=b 或者是c÷b=a。

師：a、b、c 不管什么數(shù)都可以嗎？

生1：不是的，除數(shù)不能為“0”，這里的a和b都不能是“0”。

師：a 和b 都不能是“0”，那么，c 有可能是“0”嗎？

生：那就都不可能是“0”了。

師：從圖上可以看出來嗎？

生：也可以看出來，拼成的長方形的面積、長與寬都不可能是“0”。

師：我們以前學(xué)習(xí)過“幾倍”的“倍”與“倍數(shù)”的概念相同嗎？有什么差異呢？請同學(xué)們交流一下。

……

通過學(xué)生的熱烈討論，最終得出了：“幾倍”與“倍數(shù)”其實都是指兩個數(shù)之間的倍比關(guān)系；不同的是它們的研究范圍不同，“幾倍”涉及到可以是不是0的所有數(shù)，可以是小數(shù)、分數(shù)、整數(shù)，而“倍數(shù)”的研究范圍只是非0 的自然數(shù)。

因而，僅僅靠范例來引領(lǐng)學(xué)生加強對概念的理解是不夠的，還要能夠?qū)⑵渑c相近的概念進行比較與辨析，這樣才能讓學(xué)生對概念的理解更加清晰，不再會混淆。

四、數(shù)學(xué)結(jié)合中建構(gòu)數(shù)學(xué)概念

引領(lǐng)學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中建立模型也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)。因而在具體的學(xué)習(xí)過程中也要能夠借助于數(shù)形結(jié)合來有效地促進學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)概念建立模型，進而努力實現(xiàn)教學(xué)效益的最大化［2］。

師：我們可以用擺小正方形拼成長方形的辦法來理解因數(shù)與倍數(shù)的概念，同樣也可以用擺小正方形的辦法來尋找一個數(shù)的倍數(shù)。比如說，找出5 的倍數(shù)有哪些？可以怎么做呢？

生1：可以先擺1 行，每行有5 個，一共也就是5 個；再擺2行，每行有5 個，一共就是10 個正方形。以此辦法進行下去，就可以找出5 的倍數(shù)有：5、10、15、20、25……

生2：那么列算式的話，也就是5×1=5；5×2=10；5×3=15……

教師利用課件給學(xué)生呈現(xiàn)用拼擺的方法找出5 的倍數(shù)的操作畫面，讓學(xué)生從直觀上感知5 的倍數(shù)有5、10、15、20……

師：同學(xué)們，你們能用畫圖的方法來找4 的倍數(shù)有哪些嗎？

學(xué)生自己在本子上畫一畫，并列出算式。

師：4 的倍數(shù)有哪些呢？說說你的想法。

學(xué)生匯報，教師依據(jù)學(xué)生的回答進行板書：4×1=4，4×2=8，4×3=12……

師：如果是a 呢？

生1：a×1，a×2，a×3，a×4……

師：用怎樣的方法來求一個數(shù)的倍數(shù)？

生：用一個數(shù)乘上非0 自然數(shù)的方法來求出它的倍數(shù)。

師：一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)有多少呢？

生：有無數(shù)個。因為非0 的自然數(shù)也有無數(shù)個。

師：從我們列舉的幾個例子可以看出一個數(shù)的倍數(shù)的特征嗎？請同學(xué)們認真交流一下。

生3：一個數(shù)的最小倍數(shù)是它的本身。

生4：一個數(shù)沒有最大的倍數(shù)。

師：對的，一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它的本身，沒有最大的倍數(shù)。

……

由此，學(xué)生經(jīng)歷了探求一個數(shù)的倍數(shù)的方法，以及觀察發(fā)現(xiàn)了一個數(shù)的倍數(shù)的特征。在教師的有效引領(lǐng)中，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)感知、發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用的全過程，可以說很好地實現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“教學(xué)做合一”。

總而言之，在小學(xué)數(shù)學(xué)概念的理解與應(yīng)用教學(xué)活動中，教師要能夠積極借助數(shù)形結(jié)合思想引發(fā)學(xué)生對于概念的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生能夠自主地對數(shù)學(xué)概念進行深入理解，逐漸建立認知結(jié)構(gòu)。