陳 懇，廖嘉文，熊守江，丁 戈

(1. 南昌大學(xué)信息工程學(xué)院，江西 南昌 330031；2. 國網(wǎng)江西檢修公司，江西 南昌 330096；3. 國網(wǎng)睢寧縣供電公司，江蘇 睢寧 221200)

1 引言

牛頓-拉夫遜法潮流(牛頓法)因具有平方收斂的特性[1]，是電力系統(tǒng)潮流計算中最常用的方法[1-6]。根據(jù)其節(jié)點電壓的表達方式，可分為極坐標和直角坐標牛頓法。極坐標牛頓法與直角坐標牛頓法相比，對計算速度有利的主要因素為：需求解的方程數(shù)量和需計算的雅可比矩陣J中元素數(shù)量較少，且PV節(jié)點數(shù)越多其數(shù)量越少；潮流迭代次數(shù)一般相同，但有時可能少1次。但另一方面，極坐標牛頓法中J陣元素、節(jié)點電流Ipi和Iqi、節(jié)點功率ΔPi和ΔQi的計算中均含大量三角函數(shù)，對其計算速度又產(chǎn)生了不利因素。但三角函數(shù)的影響往往容易被忽略。上述因素均易導(dǎo)致極坐標牛頓法比直角坐標牛頓法的計算速度更快的觀念。盡管極坐標牛頓法的求解方程數(shù)、J陣元素計算數(shù)甚至潮流迭代次數(shù)上具有優(yōu)勢，但其大量三角函數(shù)計算完全可能使其失去對直角坐標牛頓法的速度優(yōu)勢。此外，個別文獻將直角坐標牛頓法的J陣用子陣表示[3]，但并未提出任何具體應(yīng)用技巧。且由于極坐標牛頓法的J陣與直角坐標牛頓法相比結(jié)構(gòu)更不對稱，因此沒有文獻將極坐標牛頓法J陣用子陣表示，這對極坐標牛頓法中J陣元素的計算分析極為不利。

目前對牛頓法的各種改進算法多為引入新的算法與傳統(tǒng)牛頓法相結(jié)合。如在牛頓法基礎(chǔ)上引入張量概念，將展開泰勒的潮流方程保留二次項[7-8]；在牛頓法基礎(chǔ)上引入最優(yōu)乘子從而改變迭代步長[9-10]；將牛頓法與梯度法相結(jié)合，并在此基礎(chǔ)上引入阻尼因子，自適應(yīng)選擇迭代步長和方向的LM方法[11-14]。雖然這些改進方法各有所長，但均有計算原理復(fù)雜、計算量大，程序編寫困難等問題，且仍未解決極坐標牛頓法中J陣元素不對稱以及三角函數(shù)計算等問題。

針對上述問題，本文提出一種對稱極坐標牛頓-拉夫遜法潮流的直角坐標解法，其中包括：建立結(jié)構(gòu)不完全對稱的子陣形式的J陣，通過子陣建立子陣間元素的對應(yīng)關(guān)系；拆分J陣元素的計算以建立其元素的部分對稱關(guān)系；對J陣元素等計算公式進行三角變換，并按“二行+二列”的方式對稱計算J陣元素；用四角規(guī)則而不是消元計算公式對J陣元素消元計算；將取倒的對角元素作為規(guī)格化因子以減少除法計算等。

2 極坐標J陣中元素的部分對稱關(guān)系

為克服J陣元素的不對稱導(dǎo)致計算效率低的問題，可通過建立子陣形式的J陣，并拆分J陣元素的計算來建立J陣元素部分對稱關(guān)系。假設(shè)系統(tǒng)節(jié)點數(shù)為n，PQ節(jié)點數(shù)為m，m+1及其后節(jié)點均為PV節(jié)點，第n個節(jié)點為平衡節(jié)點。根據(jù)子陣元素分布可將J陣分為1～4區(qū)，并分別以Jij子陣及其元素Hij、Nij、Mij、Lij和Jji子陣及其元素Hji、Nji、Mji、Lji兩種方式排列J陣，對應(yīng)的修正方程如式(1)。

(1)

2.1 非對角元素的部分對稱關(guān)系

由于對J陣元素中Hij≠Hji、Nij≠Nji、Mij≠Mji、Lij≠Lji的固有觀念，傳統(tǒng)方法形成J陣時均分別利用各個子陣Jij、Jji中元素的獨立關(guān)系Hij=Lij、Nij=-Mij和Hji=Lji、Nji=-Mji，但無法利用Jij、Jji子陣中元素的對應(yīng)關(guān)系，從而須分別求取Jij、Jji子陣中元素，導(dǎo)致形成J陣速度不理想。

為建立Jij、Jji子陣中元素的部分對稱關(guān)系，可拆分Jij、Jji子陣中各非對角元素(j≠i)計算式如下

(2)

其中c1、d1、c2、d2計算式可分列如下

(3)

因此計算出式(3)中c1、d1、c2、d2四個分離變量，就可分別得到式(2)中Jij、Jji子陣中的八個元素Hij、Nij、Mij、Lij和Hji、Nji、Mji、Lji，即拆分計算不但可利用Jij子陣中元素Hij=Lij、Nij=-Mij的關(guān)系，還可利用其與Jji子陣中元素Hji與Hij、Nji與Nij、Mji與Mij、Lji與Lij之間的關(guān)系，以及Jji子陣中元素Hji=Lji、Nji=-Mji的關(guān)系。

對應(yīng)式(1)中J陣的1～4區(qū)，可分別按三種情況完成元素的部分對稱計算如下：

1)對1區(qū)元素計算，如J1m、Jm1子陣中元素H1m、N1m、M1m、L1m與Hm1、Nm1、Mm1、Lm1對應(yīng)，計算出c1、d1、c2、d2四個變量，可得到所有八個元素。

2)對2區(qū)和3區(qū)元素計算，如J1，m+1、Jm+1，1子陣中元素H1，m+1、M1，m+1與Hm+1，1、Nm+1，1對應(yīng)，計算出c1、d1、c2、d2四個變量，可得到所有四個元素。

3)對4區(qū)元素計算，如Jm+1，n-1、Jn-1，m+1子陣中元素Hm+1，n-1與Hn-1，m+1對應(yīng)，計算出c1、d1二個變量，可得到所有二個元素。

上述計算過程表明，J陣元素的計算總是以對角子陣Jii為參考，Jij子陣和Jji子陣同時對稱完成計算。如果以四個對角元素為參考，J陣元素的計算是以“二行+二列”的對稱方式完成計算，而不是傳統(tǒng)方法中的按行或按二行方式計算。此外，由于系統(tǒng)中PQ節(jié)點數(shù)遠多于PV節(jié)點數(shù)，因此在形成J陣時絕大部分的計算是對1區(qū)元素的計算，對2～3區(qū)元素的計算也較多的，而對4區(qū)元素的計算較少。因此通過對Jij、Jji子陣中元素的部分對稱計算，可大大加快J陣元素的計算。

2.2 對角元素的部分對稱關(guān)系

由于J陣對角元素的疊加運算以及對Hii≠Lii、Nii≠-Mii的固有觀念，因此無法建立元素的部分對稱性，所以需單獨計算Jii子陣中元素Hii、Nii、Mii、Lii，也導(dǎo)致形成J陣速度不理想。此外，傳統(tǒng)方法中J陣對角元素幾乎全部以節(jié)點電壓方式計算，文獻[3]雖給出了以節(jié)點功率方式計算，但其表述方式并未展示和利用J陣對角元素的部分對稱關(guān)系。

為建立Jii子陣中元素的部分對稱關(guān)系，可拆分Jii子陣中以節(jié)點功率方式計算的各對角元素(j=i)計算式，拆分后的計算式如下

=Hij|i=j+Qi=H′ii+Qi

=Nij|i=j-Pi=N′ii-Pi

=Mij|i=j-Pi=M′ii-Pi=-N′ii-Pi

=Lij|i=j-Qi=L′ii-Qi=H′ii-Qi

(4)

式(4)中第一部分公式是絕大部分文獻中以節(jié)點電壓方式計算的傳統(tǒng)方法，均涉及疊加運算，但該部分計算實際上包含了對節(jié)點功率Pi、Qi的計算。由于在生成J陣之前求取不平衡量ΔPi、ΔQi時已經(jīng)求解了Pi、Qi，如果分別用式(4)中第一部分公式計算元素Hii、Nii、Mii、Lii，則意味著對節(jié)點功率Pi、Qi的重復(fù)計算。

上述分析表明，通過拆分J陣元素的計算過程，不但可實現(xiàn)J陣中Jij、Jji對稱子陣中元素的部分對稱計算，還可實現(xiàn)Jii子陣中元素的部分對稱計算，從而可大大加快J陣的形成速度。

3 極坐標J陣中元素的三角變換

極坐標牛頓法中J陣元素涉及大量三角函數(shù)計算，對其進行三角變換可極大地減少程序中三角函數(shù)計算，同時應(yīng)用極坐標牛頓法方程數(shù)較少的特點求解潮流，從而大大提升計算速度。

(5)

此時c1、d1、c2、d2的計算式分別如下

(6)

由于對角元素的計算可分為以非對角元方式計算對角元素，再用Pi、Qi進行修正兩步，第一步已在式(5)～(6)得到解決，而Pi、Qi的計算可通過直角坐標形式的式(7)～(8)完成。因此根據(jù)式(5)可完成極坐標非對角元素的直角坐標對稱計算，而通過式(4)～(8)可完成極坐標對角元素的直角坐標對稱計算。

(7)

(8)

4 極坐標J陣中消元計算的四角規(guī)則

傳統(tǒng)極坐標牛頓法潮流方程的求解均依賴消元計算公式，不利于對計算過程的理解和技巧的應(yīng)用，更不利于編程。實際上，對消元計算過程稍加分析可以發(fā)現(xiàn)，由于消元過程的分步計算，每次參加計算的相關(guān)元素均在其矩陣的四個角上。因此消元計算完全可以不用消元計算公式，直接根據(jù)參加消元計算的元素在矩陣中的位置進行消元計算。此外，傳統(tǒng)極坐標牛頓法在求解方程時和其它傳統(tǒng)方法一樣，也未考慮規(guī)格化因子對計算速度的影響。如果在消元計算過程中，將取倒后的對角元素作為規(guī)格化因子，可大大減少程序中的除法計算，因而提高計算速度。

(9)

傳統(tǒng)高斯消元計算公式可用文字表述為：對角元素為參考元素，計算元素新值=其前值-消元元素*規(guī)格化后交叉元素。據(jù)此表述可直接寫出各個計算元素的新值如下：

(10)

由于參與計算的四個相關(guān)元素均在矩形的四個角上，故稱四角規(guī)則。因此根據(jù)四角規(guī)則，即根據(jù)元素在矩陣中位置可直接寫出各元素的相應(yīng)消元計算式而無需消元計算公式，更無需考慮元素上下標等因素。

5 算例分析

用傳統(tǒng)極坐標牛頓法和本方法計算IEEE-14～-118節(jié)點系統(tǒng)潮流，收斂判據(jù)為ε≤10-5。兩種方法生成J陣的平均時間、潮流計算的平均時間、迭代次數(shù)及其比較見表1。

表1 傳統(tǒng)法與本方法對比

(注：tΣJ：生成J陣的平均時間；tpf：潮流計算的平均時間；INs：潮流計算迭代次數(shù)。)

以IEEE-118節(jié)點系統(tǒng)為例，本方法與傳統(tǒng)極坐標牛頓法相比，主要優(yōu)勢為：生成J陣速度大大提高，且隨著系統(tǒng)規(guī)模的增加而增加。如傳統(tǒng)法中生成J陣的平均時間約為潮流計算時間的14.35%，但本方法中約為2.21%；而本方法生成J陣的平均時間約為傳統(tǒng)法的10.66%。此外，在同樣收斂精度和迭代次數(shù)的情況下，本方法潮流計算的平均時間約為傳統(tǒng)法的70%。

6 總結(jié)

本方法綜合利用極坐標牛頓法中J陣元素少、方程數(shù)量少以及直角坐標牛頓法中沒有三角函數(shù)計算的特點，并克服極坐標J陣元素的不對稱使其計算速度不理想的情況，提出一種對稱極坐標牛頓-拉夫遜法潮流的直角坐標解法。其主要內(nèi)容為：將極坐標牛頓法J陣元素用子陣表示，以展示其對應(yīng)關(guān)系；按子陣拆分J陣元素的計算，建立J陣元素的部分對稱性，按“二行+二列”的對稱方式計算J陣元素，以大大提高J陣的形成效率；對J陣元素及其節(jié)點功率計算公式進行三角變化，以大大減少程序中的三角函數(shù)運算；消元計算中將取倒后的對角元素作為規(guī)格化因子，以大大減少程序中的除法計算。上述計算過程可快速形成J陣，較大幅度地提升潮流計算速度。此外，本方法應(yīng)用四角規(guī)則直接根據(jù)元素在矩陣中的位置完成消元計算，無需消元計算公式可簡化計算過程、并極利于程序編寫。