鄭毓信

摘 ?要：數(shù)學(xué)教學(xué)必須超越“碎片化教學(xué)”，幫助學(xué)生建構(gòu)起整體性的認(rèn)識(shí)，包括很好地掌握知識(shí)的整體性結(jié)構(gòu)，并能逐步學(xué)會(huì)從層次的角度進(jìn)行分析和思考.“分清主次，突出重點(diǎn)，以主帶次”和“分清層次，居高臨下，走向深刻”可以被看成這方面工作的關(guān)鍵;我們還應(yīng)特別重視“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”的工作.

關(guān)鍵詞：整體性教學(xué);“辨”與“帶”;“統(tǒng)整”與“提升”;結(jié)構(gòu)化教學(xué)

強(qiáng)調(diào)“整體性教學(xué)”與“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”，主要是因?yàn)槲覀兊慕虒W(xué)是一節(jié)課一節(jié)課地進(jìn)行的，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)顯然不應(yīng)被等同于各個(gè)具體數(shù)學(xué)知識(shí)和基本技能的簡(jiǎn)單積累（這是“碎片化教學(xué)”的主要特征和最大弊端），而應(yīng)超越細(xì)節(jié)建構(gòu)起整體性的認(rèn)識(shí)，包括很好地掌握知識(shí)的整體性結(jié)構(gòu)，并能逐步學(xué)會(huì)從層次的角度進(jìn)行分析和思考.

依據(jù)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)我們可以更好地認(rèn)識(shí)“整體性教學(xué)”與“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”的重要性.

具體地說(shuō)，“由少到多，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜”，可以被看成數(shù)學(xué)發(fā)展（包括數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)）十分明顯的一個(gè)特點(diǎn);但這又應(yīng)看成認(rèn)識(shí)發(fā)展的關(guān)鍵所在，即我們?nèi)绾文軌蚝芎玫貙?shí)現(xiàn)“化多為少，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”. 再者，這顯然也就直接關(guān)系到了數(shù)學(xué)抽象的基本性質(zhì)：不同于一般所謂的“經(jīng)驗(yàn)抽象”，數(shù)學(xué)抽象主要應(yīng)被看成是一種“自反抽象”，也即如何能以已建立的概念或命題為對(duì)象實(shí)現(xiàn)更高層次的抽象，從而達(dá)到更大的認(rèn)識(shí)深度. 顯然，后者也可被看成為前面所提到的思維的“層次性”或“結(jié)構(gòu)性”提供了具體說(shuō)明.

進(jìn)而，又如華羅庚先生的以下論述所表明的，所說(shuō)的認(rèn)識(shí)活動(dòng)具有超出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的普遍意義，盡管他使用的詞語(yǔ)并不完全相同：由薄到厚是學(xué)習(xí)、接受的過(guò)程，由厚到薄是消化、提煉的過(guò)程;經(jīng)過(guò)“由薄到厚”和“由厚到薄”的過(guò)程，對(duì)所學(xué)的東西做到懂，徹底懂，經(jīng)過(guò)消化的懂，我們的基礎(chǔ)就算是真正打好了.

還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，所說(shuō)的工作具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，特別是我們?nèi)绾文軌蛘嬲龊谩皽p負(fù)增效”，而不是單純地強(qiáng)調(diào)“減少課程深度，拓寬課程廣度”，或是僅僅從“應(yīng)試”的角度對(duì)此做出不恰當(dāng)?shù)慕庾x.

以下則是這一方面的教學(xué)工作所應(yīng)特別重視的一些問(wèn)題.

一、“辨”與“帶”

所謂“辨”，就是指我們應(yīng)當(dāng)跳出細(xì)節(jié)（也即各個(gè)具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容與每一節(jié)課），從更大的范圍進(jìn)行分析、思考，從而很好地弄清什么是重要的和不那么重要的，并在教學(xué)中真正做好“分清主次，突出重點(diǎn)”.

這就是我們應(yīng)當(dāng)特別重視“研讀教材”的主要原因：教學(xué)要有“長(zhǎng)遠(yuǎn)的眼光”，應(yīng)該把教學(xué)過(guò)程的每個(gè)環(huán)節(jié)看作是這節(jié)課的一個(gè)局部，把每節(jié)課看作是整個(gè)單元或者教學(xué)階段的一個(gè)局部，把每個(gè)教學(xué)單元或者教學(xué)階段看作是整個(gè)小學(xué)階段的一個(gè)局部. 我們給教師發(fā)整套教材，讓每位教師先把整套教材的邏輯編排體系和編者的意圖弄清楚，然后以章節(jié)為單位進(jìn)行備課，逐步樹立教師的整體觀念，最后具體到每一節(jié)的備課.

與單純地強(qiáng)調(diào)“減”不同，我們又應(yīng)十分重視“帶”這樣一個(gè)關(guān)鍵字，即應(yīng)當(dāng)用“重點(diǎn)內(nèi)容”帶動(dòng)“非重點(diǎn)內(nèi)容”的教學(xué)，而不是簡(jiǎn)單地“一放了之”.

應(yīng)當(dāng)指出，小學(xué)教師在這一方面也已積累起了很多很好的經(jīng)驗(yàn). 例如，由于小學(xué)數(shù)學(xué)有很多內(nèi)容十分相似或密切相關(guān). 因此，我們就應(yīng)很好地確定何者可以被看成這一方面的“種子課”，并應(yīng)通過(guò)“種子課”的教學(xué)帶動(dòng)其他內(nèi)容的教學(xué)，而不應(yīng)將它們看成互不相干的，乃至一再地重復(fù)相應(yīng)的過(guò)程. 進(jìn)一步說(shuō)，我們還應(yīng)努力做到“以發(fā)展代替重復(fù)，以深刻促成簡(jiǎn)約”（俞正強(qiáng)語(yǔ)）. 后者也正是我們要強(qiáng)調(diào)的第二組關(guān)鍵詞.

二、“統(tǒng)整”與“提升”

“統(tǒng)整”與“提升”的主要含義是：我們應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生超出各個(gè)具體內(nèi)容建立起整體性、結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí)，從而不僅能夠真正做到“化多為少，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”，而且能超越具體知識(shí)的學(xué)習(xí)，在思想方法與情感、態(tài)度和價(jià)值觀的提升上都能有較大的收獲. 顯然，這意味著我們已經(jīng)超出單純的“減負(fù)”，走向了更高層次的“增效”.

由于學(xué)生在這一方面顯然具有很大的局限性（這可被看成諸多“以學(xué)為主”的教學(xué)模式的主要局限性），因此，這也就是教師發(fā)揮引領(lǐng)作用十分重要的一個(gè)方面. 就中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，筆者以為，我們應(yīng)特別重視幫助學(xué)生建立結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí).

但應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，對(duì)于所說(shuō)的“結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)”我們不應(yīng)從純數(shù)學(xué)的角度去理解. 特別地，即是認(rèn)為我們應(yīng)當(dāng)完全切斷相關(guān)內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系，并從純形式的角度進(jìn)行分析，乃至從更高層面揭示各種數(shù)學(xué)理論的整體性結(jié)構(gòu)，因?yàn)檫@顯然已經(jīng)超出了中小學(xué)學(xué)生的認(rèn)知水平. 總之，所謂的“教結(jié)構(gòu)，用結(jié)構(gòu)”應(yīng)當(dāng)被看成一個(gè)過(guò)高的要求;與此相對(duì)照，我們應(yīng)當(dāng)更加重視“結(jié)構(gòu)性觀念”的指導(dǎo)與滲透，也即應(yīng)當(dāng)切實(shí)做好這樣一個(gè)工作：分清層次，居高臨下，走向深刻.

例如，從實(shí)踐的角度來(lái)看，這是特別重要的一項(xiàng)工作，即“特殊化方法”與“一般化方法”的學(xué)習(xí)和應(yīng)用. 特別地，我們應(yīng)從這一角度幫助學(xué)生很好地認(rèn)識(shí)不同對(duì)象（包括結(jié)論和理論等）之間的聯(lián)系，特別是如何對(duì)此做出必要的層次區(qū)分.

由以下分析，讀者即可更好地認(rèn)識(shí)切實(shí)做好上述工作的重要性：由于現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材采取了“混編”的方法，因此，有不少內(nèi)容之間的聯(lián)系被完全切斷了，如各種方程（組）之間、方程與不等式之間的層次關(guān)系，以及各種三角形之間、三角形與四邊形之間的重要聯(lián)系，等等.

進(jìn)而，從同一角度相信讀者也可以很好地理解以下建議的重要性：我們不僅應(yīng)當(dāng)在教學(xué)中很好地使用“畫圖”這樣一個(gè)方法，也應(yīng)要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中積極地畫圖——畫出自己的想法，畫出自己的理解……（劉善娜語(yǔ)）. 當(dāng)然，相對(duì)于一般所謂的“直觀圖形”而言，我們又應(yīng)更加重視“流程圖”與“概念圖”的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，因?yàn)?，借助于后者我們可清楚地認(rèn)識(shí)不同對(duì)象之間的聯(lián)系，包括如何對(duì)此做出一定的層次區(qū)分.

三、對(duì)于“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”的高度重視

無(wú)論先前所談及的“自反抽象”，或是由“局部性認(rèn)識(shí)”向“整體性認(rèn)識(shí)、結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)”的過(guò)渡，都不可能單純依靠知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)的簡(jiǎn)單積累就能實(shí)現(xiàn)，而是主要依賴“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”的工作. 對(duì)此，我們?cè)诮虒W(xué)中也應(yīng)當(dāng)予以特別重視.

當(dāng)然，從教學(xué)實(shí)踐的角度來(lái)看，相關(guān)工作又可說(shuō)涉及更多的方面. 以下就是相關(guān)的兩項(xiàng)研究.

案例1：“統(tǒng)整式單元教學(xué)”之簡(jiǎn)析.

所說(shuō)的“統(tǒng)整式單元教學(xué)”，共包括這樣六個(gè)相繼的步驟或環(huán)節(jié).

（1）單元開啟課：以“陌生的情境任務(wù)”開啟新單元的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從內(nèi)容、學(xué)法上“鳥瞰”整個(gè)單元，激發(fā)單元學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)行整體架構(gòu)，形成基本學(xué)法.

（2）主題活動(dòng)課：將學(xué)習(xí)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)為活動(dòng)主題，學(xué)生以小組形式學(xué)習(xí)，各自擔(dān)當(dāng)一定的角色，共同完成某一任務(wù)或解決某一問(wèn)題.

（3）史料交流課：利用課前收集到的數(shù)學(xué)史料，在課堂上共享學(xué)習(xí)資料，重新進(jìn)行意義建構(gòu)，獲得對(duì)數(shù)學(xué)史料的重新認(rèn)知和對(duì)新問(wèn)題的思考.

（4）專題練習(xí)課：設(shè)計(jì)新穎、有趣、富有挑戰(zhàn)性的專題性練習(xí)任務(wù)，啟發(fā)學(xué)生反思的練習(xí)過(guò)程和方法，變換問(wèn)題角度與方式，將結(jié)論遷移運(yùn)用于不同的場(chǎng)合，以達(dá)到更完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

（5）自主整理課：指導(dǎo)學(xué)生有序地整理學(xué)習(xí)任務(wù)，自主地預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)、鞏固，建立符合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的學(xué)習(xí)習(xí)慣與整理方法.

（6）長(zhǎng)作業(yè)：建立在大跨度時(shí)間基礎(chǔ)上的，能夠體現(xiàn)知識(shí)與技能、思想與方法的綜合的“長(zhǎng)周期作業(yè)”，學(xué)生需要經(jīng)歷一段時(shí)間去完成.

筆者的看法是：如果集中于“整體性教學(xué)”和“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”，那么，在上述六個(gè)環(huán)節(jié)中，我們就應(yīng)特別重視“自主整理”這個(gè)環(huán)節(jié). 當(dāng)然，相對(duì)于由學(xué)生自己進(jìn)行整理和總結(jié)而言，我們又應(yīng)更加重視教師在這方面的引領(lǐng)作用，這就對(duì)教師的專業(yè)水平提出了更高的要求. 其次，盡管“單元開啟課”也很重要，但要真正實(shí)現(xiàn)“讓學(xué)生從內(nèi)容、學(xué)法上‘鳥瞰整個(gè)單元……進(jìn)行整體架構(gòu)，形成基本學(xué)法”恐怕并不容易. 毋寧說(shuō)，在“單元教學(xué)”的開始階段我們應(yīng)當(dāng)更加重視通過(guò)“核心問(wèn)題的提煉與加工”很好地激發(fā)學(xué)生的“單元學(xué)習(xí)興趣”，包括通過(guò)“種子課”的適當(dāng)選擇與教學(xué)為后續(xù)教學(xué)做好必要的準(zhǔn)備. 最后，這是“單元教學(xué)”在中間階段應(yīng)當(dāng)特別重視的一個(gè)問(wèn)題，即我們應(yīng)當(dāng)如何做好“以發(fā)展代替重復(fù)”，也即應(yīng)當(dāng)集中通過(guò)新的學(xué)習(xí)促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)的發(fā)展和深化.

案例2：聚焦“學(xué)習(xí)路徑研究”.

“學(xué)習(xí)路徑研究”是近年來(lái)在數(shù)學(xué)教育乃至整個(gè)教育領(lǐng)域中出現(xiàn)的一個(gè)新的研究方向. 例如，由全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)（NCTM）組織出版的《數(shù)學(xué)教育研究手冊(cè)》（人民教育出版社，2021）就曾用了整整一章對(duì)此進(jìn)行分析介紹，國(guó)內(nèi)也有學(xué)者以此為指導(dǎo)開展了相應(yīng)的教學(xué)實(shí)踐：基于學(xué)習(xí)路徑分析的數(shù)學(xué)教學(xué).

我們應(yīng)當(dāng)如何看待上述工作？筆者的看法：相關(guān)研究有一定的合理性，特別是，從總體上說(shuō)，這可被看成對(duì)于先前的一些片面性認(rèn)識(shí)的必要糾正. 這也就是指，我們不僅應(yīng)由單純強(qiáng)調(diào)“過(guò)程”轉(zhuǎn)向“目標(biāo)為本”，也應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)到這樣一點(diǎn)：除去對(duì)教學(xué)目標(biāo)的清楚界定以外，我們也應(yīng)注意研究在學(xué)習(xí)過(guò)程中什么是學(xué)生為了達(dá)到相應(yīng)目標(biāo)必須經(jīng)歷的實(shí)際“路徑”.

進(jìn)而，這里所說(shuō)的“整體性認(rèn)識(shí)”與“結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)”又可被看成為我們很好地把握“學(xué)習(xí)路徑”提供了必要的理論工具. 相對(duì)于一般所謂的“學(xué)習(xí)路徑”，特別是這一方面的細(xì)化分析而言，我們應(yīng)當(dāng)更加強(qiáng)調(diào)這樣一點(diǎn)：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必定有一個(gè)逐步發(fā)展、不斷深化的過(guò)程，對(duì)此往往還可區(qū)分出一定的“層次”或“階段”，后者可被看成強(qiáng)調(diào)“學(xué)習(xí)路徑研究”的主要意義所在，也即“對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)或探索一個(gè)長(zhǎng)時(shí)間跨度的主題過(guò)程中逐漸形成復(fù)雜思維方式的描述”（NRC）.

最后，相對(duì)于單純強(qiáng)調(diào)理論學(xué)習(xí)和應(yīng)用而言，我們又應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)到相關(guān)理論的假設(shè)性質(zhì)，從而事實(shí)上也可被看成從又一角度更清楚地表明了加強(qiáng)“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”的重要性. 盡管在此所涉及的主要是教師和相關(guān)的研究者：先驗(yàn)學(xué)習(xí)軌跡總是假設(shè)性的……在兒童參與數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師必須根據(jù)他們的互動(dòng)創(chuàng)建兒童數(shù)學(xué)的新模型. 這也就是指，在教學(xué)和分析之前，教師或者研究者已經(jīng)計(jì)劃了一個(gè)假定的學(xué)習(xí)軌跡. 然而，實(shí)際學(xué)習(xí)軌跡就是在教學(xué)中共同產(chǎn)生的數(shù)學(xué)知識(shí)或者是研究人員回顧性分析的結(jié)果.

綜上可見(jiàn)，“整體性教學(xué)”與“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”可被看成對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了更高的要求，特別是，我們應(yīng)努力做好這樣幾個(gè)工作.

第一，理清發(fā)展線索，突出“核心問(wèn)題”. 應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，我們既不應(yīng)將數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展等同于學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，也不應(yīng)將“日常認(rèn)知”混同于邏輯分析，而應(yīng)更加重視“數(shù)學(xué)史的理性重建”，以及由“日常認(rèn)知”向邏輯分析的過(guò)渡.

第二，概念的梳理與“核心概念”的提煉. 例如，小學(xué)數(shù)學(xué)就應(yīng)很好地突出“比較”和“度量”這樣兩個(gè)核心概念. 當(dāng)然，正如前面所提及的，概念的梳理事實(shí)上也可被看成我們幫助學(xué)生建立“結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)”的關(guān)鍵.

第三，重要數(shù)學(xué)思想的梳理，即與學(xué)習(xí)內(nèi)容密切相關(guān)的“概念上很強(qiáng)大的思想”與普遍性的數(shù)學(xué)思想方法. 正如中國(guó)旅美學(xué)者馬立平博士所指出的，這意味著達(dá)到了更大的認(rèn)識(shí)深度.

第四，突出“大道理”，真正做好“以大馭小”. 相對(duì)于前面所提到的核心問(wèn)題、核心概念與重要數(shù)學(xué)思想，這里所說(shuō)的“大道理”應(yīng)當(dāng)更加突出“大”這樣一個(gè)關(guān)鍵字，也即應(yīng)從更廣泛的視角、更高的層面進(jìn)行分析思考.

以下就是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)最基本的兩個(gè)“大道理”.

小學(xué)關(guān)于“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”的教學(xué)不僅應(yīng)當(dāng)突出“比較”這樣一個(gè)核心概念，從而幫助學(xué)生很好地掌握大小、倍數(shù)、分?jǐn)?shù)、比等概念，也應(yīng)幫助學(xué)生初步建立關(guān)于“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的整體性認(rèn)識(shí)，特別是清楚地認(rèn)識(shí)它的豐富性與層次性、開放性與統(tǒng)一性，并能真正做好“化多為少、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”，包括很好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的關(guān)系.

小學(xué)幾何的教學(xué)不僅應(yīng)當(dāng)突出“度量”這一核心概念，很好地發(fā)揮直觀認(rèn)知的作用，也應(yīng)努力實(shí)現(xiàn)對(duì)于“度量幾何”與“直觀幾何”的必要超越，即應(yīng)當(dāng)對(duì)圖形的特征、性質(zhì)及其相互關(guān)系的邏輯分析予以足夠重視.

顯然，我們也應(yīng)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容做出相應(yīng)的分析.

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