孫延洲 柯四清

摘 ?要：方程與不等式是刻畫數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)和解決幾何問題中數(shù)量關(guān)系的常用工具. 2021年全國(guó)各地中考試題對(duì)方程與不等式的命題設(shè)計(jì)緊扣《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求，強(qiáng)化方程與不等式的工具特征，注重在新的問題情境下，合理構(gòu)建方程或不等式模型，實(shí)現(xiàn)逐步轉(zhuǎn)化、解決實(shí)際問題的基本過程.

關(guān)鍵詞：方程與不等式;內(nèi)容分析;命題思路;復(fù)習(xí)建議

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，方程與不等式是刻畫數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)和解決幾何問題中數(shù)量關(guān)系的常用工具. 方程與不等式兩者相互聯(lián)系、相互滲透、相輔相成，是初中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容之一，也是分析和解決實(shí)際問題的重要方法. 2021年全國(guó)各地中考試題對(duì)方程與不等式的命題設(shè)計(jì)緊扣《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，進(jìn)一步強(qiáng)化方程與不等式的工具特征，注重在新的問題情境下，合理構(gòu)建方程或不等式模型，實(shí)現(xiàn)逐步轉(zhuǎn)化、解決實(shí)際問題的基本過程，同時(shí)更加關(guān)注數(shù)學(xué)文化的滲透.

一、考查內(nèi)容分析

方程與不等式是刻畫數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，方程用以表示數(shù)量之間的等量關(guān)系，是含有未知數(shù)的等式;不等式用以表示數(shù)量之間的不等關(guān)系，是含有未知數(shù)的不等關(guān)系式. 它們的學(xué)習(xí)目標(biāo)主要包含兩個(gè)方面：一是會(huì)解方程（組）和不等式（組）;二是會(huì)用方程（組）和不等式（組）解決數(shù)學(xué)問題，以及與生活實(shí)際相關(guān)的問題.

從2021年各地中考試題來看，各地普遍從不同側(cè)面、不同角度對(duì)方程（組）和不等式（組）知識(shí)進(jìn)行了比較全面、系統(tǒng)的考查，命題設(shè)計(jì)的主要特點(diǎn)是傳承創(chuàng)新、穩(wěn)中求變，立足基礎(chǔ)、考查四基，突出應(yīng)用、落實(shí)素養(yǎng). 各地中考試題中方程與不等式的知識(shí)點(diǎn)的考查很清晰，具體是：等式（不等式）的性質(zhì)，列方程（不等式），解方程（不等式），解二元一次方程組的消元法和加減法，解一元二次方程的配方法、公式法和因式分解法，分式方程的解法及應(yīng)用，用數(shù)軸表示不等式（組）的解集，一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，等等. 考查重點(diǎn)仍然放在解法和應(yīng)用上，與往年相比變化不大. 同時(shí)，又高度關(guān)注與其他知識(shí)的交叉融合，突出其工具性的特點(diǎn). 重視考查對(duì)方程（組）的解法的掌握，對(duì)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的理解;突出考查了在解決問題的過程中需要建立方程（組）和不等式（組）模型的意識(shí)和能力;通過對(duì)方程（組）和不等式（組）的意義與解法的考查，更加強(qiáng)調(diào)了對(duì)轉(zhuǎn)化方法的理解和把握;通過設(shè)計(jì)新的問題情境，考查了學(xué)生應(yīng)用方程與不等式工具解決實(shí)際問題的能力和水平. 另外，還有一些綜合性問題，特別是在研究函數(shù)、幾何圖形的過程中，需要以方程或不等式為工具，考查轉(zhuǎn)化、化歸、模型、數(shù)形結(jié)合等思想方法.

方程與不等式作為初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，在全國(guó)各地的中考試卷中，所占分值比例適中，絕大多數(shù)試卷中方程與不等式相關(guān)的題目分值占總分值的15%左右. 難度方面，容易題、中檔題、難題都有涉及，以容易題和中檔題為主，在難題中雖然也會(huì)出現(xiàn)，但是決定試題難易程度的因素不是方程和不等式，而是與之綜合的其他內(nèi)容. 題量方面，大多設(shè)計(jì)4道題左右. 題型方面，主要是選擇題、填空題和解答題，也有將填空題與解答題相結(jié)合的情況.

二、命題思路分析

1. 強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，考查“四基”

大多數(shù)方程與不等式的題目作為基礎(chǔ)題出現(xiàn)，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，考查“四基”. 作為基礎(chǔ)題考查，主要特點(diǎn)是穩(wěn)中求新，穩(wěn)中求變，立足教材，深挖教材，重視重點(diǎn)知識(shí)與核心知識(shí)的考查.

（1）立足教材，考查基礎(chǔ)知識(shí).

很多試題取材于人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”），注重基礎(chǔ)知識(shí)的考查.

例1 （河北卷）已知a > b，則一定有-4a□-4b，“□”中應(yīng)填的符號(hào)是（ ?）.

（A）> （B）<

（C）≥ ? &nbsp; （D）=

設(shè)計(jì)思路分析：此題取材于教材七年級(jí)下冊(cè)第117頁“9.1.2 不等式的性質(zhì)”練習(xí)（3），基本上是原題，主要考查不等式的性質(zhì)，要求學(xué)生理解和掌握不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變的基本性質(zhì). 此題難度不大，同時(shí)考查了學(xué)生的求解策略，無論從考查的內(nèi)容，還是從呈現(xiàn)形式上，都能較好地發(fā)揮學(xué)業(yè)水平考試的功能.

類似地，重慶A卷第15題、江蘇宿遷卷第14題、浙江金華卷第12題也都取材于教材，考查方程（組）的解的含義.

例2 （重慶A卷）不等式[x≤2]在數(shù)軸上表示正確的是（ ? ?）.

設(shè)計(jì)思路分析：《標(biāo)準(zhǔn)》明確要求能解含有數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集. 此題取材于教材七年級(jí)下冊(cè)“9.2 一元一次不等式”第122頁例1. [x≤2]是從數(shù)的角度表述不等式的解集，再要求從形的角度在數(shù)軸上表示出來，這樣的設(shè)計(jì)與《標(biāo)準(zhǔn)》要求的契合度很高.

類似地，浙江金華卷第4題、山東臨沂卷第7題、山東濟(jì)寧卷第6題、四川遂寧卷第7題、湖南衡陽卷第10題、湖南懷化卷第8題、貴州銅仁卷第7題等都取材于教材七年級(jí)下冊(cè)第122頁例1或第128頁例1，考查不等式（組）的解，并在數(shù)軸上表示其解集.

（2）穩(wěn)中求變，考查基本方法與技能.

對(duì)方程與方程組、不等式與不等式組解法的考查，是各地中考試題中一項(xiàng)重要的內(nèi)容. 從命題的角度，對(duì)這類問題的設(shè)計(jì)一般都比較直接，通常以解方程（組）或解不等式（組）的形式出現(xiàn)，也有一些題目形式新穎，靈活多變，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基本方法與基本技能的掌握情況.

例3 （北京卷）方程[2x+3=1x]的解為 ? ?.

設(shè)計(jì)思路分析：《標(biāo)準(zhǔn)》明確要求能解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程. 此題是解分式方程的基礎(chǔ)試題，題干簡(jiǎn)潔，沒有無效的表述和粉飾，取材于教材八年級(jí)上冊(cè)第151頁“15.3 分式方程”例1，主要考查分式方程的解法，即通過去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，最終化為最簡(jiǎn)形式x = a，這樣的設(shè)計(jì)是對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》要求的直觀展現(xiàn)，同時(shí)考查了解分式方程的常用技能和基本方法.

此類考查方程（組）的解法的基礎(chǔ)試題在每年的中考試題中都會(huì)出現(xiàn)，既考查學(xué)生對(duì)基本方法與基本技能的掌握，也給學(xué)生更多的得分機(jī)會(huì). 例如，江蘇南京卷第18題、四川成都卷第8題、江蘇連云港卷第19題、湖北恩施卷第8題考查分式方程的解法;浙江麗水卷第6題、海南卷第13題、山東臨沂卷第6題考查一元二次方程的解法;天津卷第7題考查二元一次方程組的解法.

例4 （湖南·邵陽卷）不等式組[5x-1>3x-4，-13x≤23-x]的整數(shù)解的和為（ ? ?）.

（A）1 （B）0

（C）-1 （D）-2

設(shè)計(jì)思路分析：《標(biāo)準(zhǔn)》明確要求會(huì)用數(shù)軸確定由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集. 此題取材于教材七年級(jí)下冊(cè)第129頁“9.3 一元一次不等式組”例2，主要考查用數(shù)軸確定不等式組解集的基本技能. 此題不是直接考查解不等式組，而是先解幾個(gè)不等式，再結(jié)合數(shù)軸找出這幾個(gè)不等式解集的公共部分，進(jìn)而找出其整數(shù)解，這樣的設(shè)計(jì)能夠有效考查學(xué)生對(duì)不等式組解集的理解和運(yùn)用水平.

類似地，北京卷第18題、江西卷第14題、陜西卷第15題、廣東卷第18題、福建卷第19題、湖北宜昌卷第17題考查不等式組的解法;江蘇南京卷第17題、安徽卷第15題考查不等式的解法.

（3）感悟過程，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2021年部分試題讓學(xué)生辨析求解方程（組）和不等式（組）過程的正確性，感悟過程，體會(huì)逐漸轉(zhuǎn)化的過程，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

例5 （浙江·嘉興卷）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程[3x-3=x-32]的過程如下：

你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確，在框內(nèi)打“√”;若錯(cuò)誤，在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過程.

設(shè)計(jì)思路分析：此題取材于教材九年級(jí)上冊(cè)第14頁“21.2 解一元二次方程”例3（1）. 題目的設(shè)計(jì)與單純的解一元二次方程不同，要求學(xué)生通過閱讀，對(duì)兩種解法進(jìn)行辨析，體驗(yàn)解一元二次方程的過程，這符合《標(biāo)準(zhǔn)》中能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的要求. 同時(shí)，考查了一元二次方程的解法、運(yùn)算能力，以及批判性思維能力.

類似地，湖北武漢卷第17題、浙江杭州卷第17題、山西卷第16題、天津卷第19題都是以學(xué)習(xí)任務(wù)的形式呈現(xiàn)，判斷解方程（組）或不等式（組）的解答過程是否有錯(cuò)誤，寫出錯(cuò)誤的原因或每步的理由，并寫出正確的解答.

2. 強(qiáng)調(diào)思維，發(fā)展能力

試題在考查基礎(chǔ)知識(shí)和發(fā)展技能的過程中，更加注重對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維品質(zhì)的考查，通過培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，不斷加強(qiáng)運(yùn)算能力、推理能力、觀察能力、分析能力、歸納和概括能力.

（1）考查數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

例6 （山東·泰安卷）已知關(guān)于[x]的一元二次方程[kx2-2k-1x+k-2=0]有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)[k]的取值范圍是（ ? ?）.

（A） [k>-14] ? （B） [k<14]

（C） [k>-14]，且[k≠0] （D） [k<14]，且[k≠0]

設(shè)計(jì)思路分析：會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)數(shù)根和兩個(gè)實(shí)數(shù)根是否相等是《標(biāo)準(zhǔn)》的要求. 此題取材于教材九年級(jí)上冊(cè)第17頁“21.2 解一元二次方程”習(xí)題21.2的第4題. 已知一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由根的判別式大于0，得到含有字母的式子大于0，即得到關(guān)于字母的不等式，進(jìn)而求得字母的取值范圍. 同時(shí)，還要考慮二次項(xiàng)系數(shù)不能為0. 這樣的設(shè)計(jì)既考查了一元二次方程根的判別式、不等式的解法和一元二次方程的概念，還注重考查學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

此類題根據(jù)不同的考查需求，設(shè)計(jì)參數(shù)出現(xiàn)的位置，若出現(xiàn)在常數(shù)項(xiàng)或一次項(xiàng)時(shí)，題目相對(duì)簡(jiǎn)單;若涉及的參數(shù)在二次項(xiàng)的位置出現(xiàn)，則需要考慮二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，這樣就又考查了一元二次方程的概念和思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

類似地，上海卷第12題、四川廣安卷第5題、湖北荊州卷第15題、四川涼山州卷第9題、黑龍江七臺(tái)河卷第6題、黑龍江齊齊哈爾卷第14題都是依托方程根的判別式，或根據(jù)分式方程的解的特征求字母的取值，考查了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

例7 （湖南·邵陽卷）在平面直角坐標(biāo)系中，若直線[y=-x+m]不經(jīng)過第一象限，則關(guān)于[x]的方程[mx2+x+1=0]的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（ ? ?）.

（A）0個(gè) （B）1個(gè)

（C）2個(gè) （D）1或2個(gè)

設(shè)計(jì)思路分析：此題考查了一次函數(shù)和方程根的判別，先由直線不經(jīng)過第一象限得到m ≤ 0，然后分m = 0和m < 0兩種情況進(jìn)行討論，分別得到一元一次方程和一元二次方程，再進(jìn)行判斷. 解題中需要對(duì)m的取值情況進(jìn)行分類討論，容易漏掉m = 0的情況，考查了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

（2）考查數(shù)學(xué)思維的靈活性.

根據(jù)新定義或閱讀材料，靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生觀察、分析問題，探索發(fā)現(xiàn)問題的能力.

例8 （湖北·荊州卷）定義新運(yùn)算“※”：對(duì)于實(shí)數(shù)m，n，p，q，有[m，p]※[q，n] = mn + pq，其中等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算. 例如，[2，3]※[4，5] = 2 × 5 + 3 × 4 = 22. 若關(guān)于x的方程[x2 + 1，x]※[5 - 2k，k] = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ? ）.

（A）k[<54]，且k ≠ 0 ? ?（B）k[≤54]

（C）k[≤54]，且k ≠ 0 ? ?（D）k[≥54]

設(shè)計(jì)思路分析：試題以閱讀材料的形式介紹新的定義，學(xué)生經(jīng)過觀察、分析、對(duì)比等一系列過程得出新結(jié)論是關(guān)鍵，讓學(xué)生把剛學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐，考查了觀察、分析問題的能力，體現(xiàn)了遷移、類比的數(shù)學(xué)思想方法，考查思維的靈活性.

類似地，湖南張家界卷第7題、湖北十堰卷第14題、湖南懷化卷第6題、廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)卷第12題都是新定義型試題.

例9 （湖南·永州卷）若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2 + bx + c = 0的兩個(gè)根，則x1 + x2 =[-ba]，x1·x2 =[ca]. 現(xiàn)已知一元二次方程px2 + 2x + q = 0的兩根分別為m，n.

（1）若m = 2，n = -4，求p，q的值;

（2）若p = 3，q = -1，求m + mn + n的值.

設(shè)計(jì)思路分析：關(guān)于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，《標(biāo)準(zhǔn)》中并未對(duì)考試做出要求，但在高中數(shù)學(xué)中卻有著廣泛的應(yīng)用，是必備的基礎(chǔ)知識(shí). 第（1）小題是已知方程的兩根求二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，第（2）小題則是已知方程求其兩根的和與積. 此題把一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系作為已知條件呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生利用新知識(shí)解決問題. 同時(shí)，解決問題的方法較多，這樣的設(shè)計(jì)考查了學(xué)生思維的靈活性，以及學(xué)生的理解能力和遷移能力.

（3）考查數(shù)學(xué)思維的邏輯性.

例10 （湖北·武漢卷）已知a，b是方程[x2-3x-][5=0]的兩根，則代數(shù)式[2a3-6a2+b2+7b+1]的值是

（ ? ?）.

（A）[-25] ? （B）[-24]

（C）35 ? （D）36

設(shè)計(jì)思路分析：由于方程的解的概念相對(duì)簡(jiǎn)單，所以相關(guān)知識(shí)點(diǎn)通常和其他知識(shí)點(diǎn)綜合考查. 此題在考查一元二次方程的解（根）的概念的同時(shí)考查整體思想. 解題關(guān)鍵是先根據(jù)方程根的概念和根與系數(shù)的關(guān)系得到[a2-3a-5=0]，[b2-3b-5=0]，[a+b=3]. 再觀察、分析代數(shù)式的特征，將代數(shù)式進(jìn)行變形，最后整體代換求解，考查數(shù)學(xué)思維的邏輯性.

類似的考法有四川自貢卷第7題、四川成都卷第22題、山東濟(jì)寧卷第8題、廣東卷第14題、湖北黃岡卷第12題.

例11 （重慶A卷）若關(guān)于[x]的一元一次不等式組[3x-2≥2x+2，a-2x<-5] 的解集為[x≥6]，且關(guān)于[y]的分式方程[y+2ay-1+3y-81-y=2]的解是正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)[a]的值之和是（ ? ?）.

（A）5 （B）8

（C）12 （D）15

設(shè)計(jì)思路分析：此題命制立意深遠(yuǎn)，有一定的難度，主要考查不等式組的解法和可化為一元一次方程的分式方程的解法等. 題中限制條件多：“解集為[x≥6]”“解是正整數(shù)”“整數(shù)”，隱含條件“分母不能為0”，考查學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力、解題程序，考查數(shù)學(xué)思維的邏輯性. 類似的考法有四川瀘州卷第15題、內(nèi)蒙古通遼卷第15題、湖北荊門卷第15題.

3. 注重聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用

能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型;能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡(jiǎn)單的問題，這是《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)方程與不等式內(nèi)容的基本要求. 各地中考試題，注重創(chuàng)設(shè)情境，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，凸顯應(yīng)用為導(dǎo)向，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與能力.

（1）挖掘生活素材，凸顯模型與應(yīng)用.

數(shù)學(xué)課程十分重視數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)在真實(shí)的背景下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解. 方程與不等式正是從大量的生活實(shí)際中抽象出來的數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活問題的過程，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活并為生活服務(wù)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

例12 （河北卷）已知訓(xùn)練場(chǎng)球筐中有A，B兩種品牌的乒乓球共101個(gè)，設(shè)A品牌乒乓球有x個(gè).

（1）淇淇說：“筐里B品牌球是A品牌球的兩倍.”嘉嘉根據(jù)她的說法列出了方程：101 - x = 2x. 試用嘉嘉所列方程分析淇淇的說法是否正確.

（2）據(jù)工作人員透露：B品牌球比A品牌球至少多28個(gè)，試通過列不等式的方法說明A品牌球最多有幾個(gè).

設(shè)計(jì)思路分析：此題考查了一元一次方程和一元一次不等式的應(yīng)用，突出考查符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力和應(yīng)用意識(shí)，要求學(xué)生根據(jù)語言文字的描述，列出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)題意找到等量或不等量關(guān)系，列出方程或不等式，并啟發(fā)學(xué)生從不同角度思考問題. 在解題中不僅經(jīng)歷了分析、計(jì)算、比較、判斷的過程，更培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，這樣的設(shè)計(jì)凸顯數(shù)學(xué)模型思想與應(yīng)用意識(shí).

例13 （江西卷）甲，乙兩人去市場(chǎng)采購(gòu)相同價(jià)格的同一種商品，甲用2 400元購(gòu)買的商品數(shù)量比乙用3 000元購(gòu)買的商品數(shù)量少10件.

（1）求這種商品的單價(jià).

（2）甲、乙兩人第二次再去采購(gòu)該商品時(shí)，單價(jià)比上次少了20元[/]件，甲購(gòu)買商品的總價(jià)與上次相同，乙購(gòu)買商品的數(shù)量與上次相同，則甲兩次購(gòu)買這種商品的平均單價(jià)是_______，乙兩次購(gòu)買這種商品的平均單價(jià)是_______.

（3）生活中，無論油價(jià)如何變化，有人總按相同金額加油，有人總按相同油量加油，結(jié)合（2）的計(jì)算結(jié)果，建議按相同_______加油更合算（填“金額”或“油量”）.

設(shè)計(jì)思路分析：此題較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活的理念，以學(xué)生熟悉的生活題材為背景，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的意識(shí).題目設(shè)計(jì)從日常生活出發(fā)，讓學(xué)生從具體問題中獲取信息、發(fā)現(xiàn)問題情境中的數(shù)量關(guān)系;考查了方程的應(yīng)用，找到題目中商品數(shù)量的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，計(jì)算平均單價(jià)的關(guān)鍵是能夠正確得出總價(jià)和數(shù)量，再思考從特殊到一般的規(guī)律. 考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、提煉數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、解決實(shí)際問題的能力.

2021年各地中考試題大多數(shù)體現(xiàn)了地域特色和時(shí)代特點(diǎn)，凸顯模型思想和應(yīng)用意識(shí). 例如，重慶B卷第23題（重慶小面）、廣西柳州卷第22題（螺螄粉）、河南卷第21題（獼猴玩偶）;山西卷第18題（太原機(jī)場(chǎng)）、四川成都卷第26題（垃圾分類）、廣西玉林卷第24題（焚燒垃圾產(chǎn)生的熱能發(fā)電）、廣西賀州卷第23題（節(jié)約用水）、山東泰安卷第22題（疫苗）、江蘇揚(yáng)州卷第23題（疫苗）、吉林長(zhǎng)春卷第17題（網(wǎng)購(gòu)）.

（2）與函數(shù)相結(jié)合，突出知識(shí)聯(lián)系.

方程、不等式與函數(shù)之間的廣泛聯(lián)系有助于學(xué)生建立起數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)間的網(wǎng)絡(luò)體系. 近年來，中考對(duì)應(yīng)用題的考查，在同一問題中趨向于對(duì)多個(gè)數(shù)學(xué)模型（方程、不等式與函數(shù)）的綜合考查，促進(jìn)了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)與技能分析問題、解決問題能力的提升.

例14 （浙江·溫州卷）某公司生產(chǎn)的一種營(yíng)養(yǎng)品信息如下表所示. 已知甲食材每千克的進(jìn)價(jià)是乙食材的2倍，用80元購(gòu)買的甲食材比用20元購(gòu)買的乙食材多1千克.

[營(yíng)養(yǎng)品信息表 營(yíng)養(yǎng)成分 每千克含鐵42毫克 配料表 原料 每千克含鐵 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 規(guī)格 每包食材含量 每包單價(jià) A包裝 1千克 45元 B包裝 0.25千克 12元 ]

（1）問甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價(jià)分別是多少.

（2）該公司每日用18 000元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種食材，并恰好全部用完.

① 問每日購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種食材各多少.

② 已知每日其他費(fèi)用為2 000元，且生產(chǎn)的營(yíng)養(yǎng)品當(dāng)日全部售出. 若A的數(shù)量不低于B的數(shù)量，則A為多少包時(shí)，每日所獲總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)為多少？

設(shè)計(jì)思路分析：此題是在實(shí)際情境下考查一次函數(shù)、分式方程、一元一次不等式的應(yīng)用題，解答此題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程和一次函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答，注意分式方程要檢驗(yàn). 每一問在結(jié)果上有連續(xù)性，求解第（2）小題的食材數(shù)量和利潤(rùn)需要用到第（1）小題的食材單價(jià)，后一問以前一問為基礎(chǔ)，層層遞進(jìn)、由易到難. 需要從銷售問題的具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立實(shí)際背景下的函數(shù)模型，求出一次函數(shù)解析式，解決最值問題，并討論結(jié)果的意義.

例15 （福建卷）如圖1，一次函數(shù)y = kx + b（k > 0）的圖象過點(diǎn)（-1，0），則不等式k（x - 1） + b > 0的解集是（ ?）.

（A）x > -2 （B）x > -1

（C）x > 0 （D）x > 1

設(shè)計(jì)思路分析：一次函數(shù)的概念是通過一元一次方程、二元一次方程組和一元一次不等式等數(shù)學(xué)模型的研究和討論，從變化和對(duì)應(yīng)的函數(shù)觀點(diǎn)引入的. 因此，這些知識(shí)之間有著廣泛的聯(lián)系. 此題從方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系入手，展示了函數(shù)及其圖象與方程、不等式之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，為學(xué)生提供了一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效方法.

此題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，既可以把點(diǎn)（-1，0）代入解析式求得k = b的關(guān)系，然后解不等式求解;也可以觀察一次函數(shù)的圖象，將直線沿x軸向右平移1個(gè)單位得到直線y = k（x - 1） + b，再觀察圖象得解. 利用直觀的函數(shù)圖象尋求方程的解和不等式的解集，考查了學(xué)生觀察與分析問題的能力，更凸顯了數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系，關(guān)注了數(shù)形結(jié)合的思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的廣泛應(yīng)用.

類似地，以方程為工具，可以解決反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式的問題. 例如，天津卷第12題、浙江嘉興卷第10題、四川涼山州卷第12題、四川達(dá)州卷第10題、四川遂寧卷第10題、山東泰安卷第15題、山東濟(jì)寧卷第15題、江蘇宿遷卷第8題、廣西賀州卷第11題.

（3）解決幾何問題，體現(xiàn)工具特征.

結(jié)合幾何圖形中字母所代表的某些幾何要素之間的關(guān)系，借助方程（組）或不等式（組）解決問題，這樣的設(shè)計(jì)很好地體現(xiàn)出方程與不等式的工具特征，能夠有效評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和遷移能力.

例16 （青海卷）已知a，b是等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，且a，b滿足[2a-3b+5+2a+3b-132=0]，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（ ? ?）.

（A）8 ? （B）6或8

（C）7 ? （D）7或8

設(shè)計(jì)思路分析：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系定理、二元一次方程組. 首先，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程組，求得a = 2，b = 3. 其次，根據(jù)2，3分別作為腰分類討論，由三邊關(guān)系定理，確定第三邊，從而求得等腰三角形的周長(zhǎng).

類似的考法有四川廣安卷第13題、廣西柳州卷第16題.

例17 （湖北·襄陽卷）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問題：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊. 問水深幾何.”（丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈 = 10尺）其大意為：如圖2，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的

正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺. 如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面. 水的深度是多少？則水深為（ ?）.

（A）10尺 （B）11尺

（C）12尺 （D）13尺

設(shè)計(jì)思路分析：此題取材于《九章算術(shù)》“引葭赴岸”問題，兼顧數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)建模，是近年來出現(xiàn)的一類有特色的應(yīng)用問題，這樣的設(shè)計(jì)使得試題的內(nèi)容和形式更豐富、鮮活、吸引人. 此題是利用方程思想解決幾何問題的典型題目. 解答時(shí)需要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，如設(shè)水深為x尺，其他線段用含有x的式子表示，再利用勾股定理建立含有x的等量關(guān)系，得到一元二次方程求解.

類似的考法有江蘇宿遷卷第15題.

4. 強(qiáng)調(diào)價(jià)值，關(guān)注素養(yǎng)

試題追求知識(shí)、能力與素養(yǎng)的融會(huì)貫通，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值，加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生文化品格的考查，引導(dǎo)教師更好地落實(shí)學(xué)科素養(yǎng).

（1）傳承優(yōu)秀文化，增強(qiáng)民族自豪感.

此類試題取材于專著中的相關(guān)問題，注重文化熏陶，學(xué)生從中不但可以讀出中華文化的悠久歷史和博大精深，還可以感受到作為中國(guó)人的自豪和驕傲.

例18 （湖北·武漢卷）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有共買物，人出八，盈三;人出七，不足四. 問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”意思是：現(xiàn)有幾個(gè)人共買一件物品，每人出8錢，多出3錢;每人出7錢，還差4錢. 問人數(shù)、物價(jià)各是多少？若設(shè)共有[x]人，物價(jià)是[y]錢，則下列方程正確的是（ ? ?）.

（A） [8x-3=7x+4] （B） [8x+3=7x-4]

（C） [y-38=y+47] （D） [y+38=y-47]

設(shè)計(jì)思路分析：此題選自中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的“盈不足術(shù)”. 以中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化作為試題素材，將基礎(chǔ)題與“數(shù)學(xué)文化”相結(jié)合，展現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的優(yōu)秀成果，能夠讓學(xué)生了解中國(guó)偉大的數(shù)學(xué)成就和數(shù)學(xué)發(fā)展，感受數(shù)學(xué)魅力，體現(xiàn)試題的育人功能. 為了便于學(xué)生理解，題干將原題的文言文翻譯成現(xiàn)代文大意，保障了考試的公平性. 這樣的設(shè)計(jì)，不僅使學(xué)生看到以方程為工具解決實(shí)際問題在我國(guó)由來已久，同時(shí)更加感受到數(shù)學(xué)文化的熏陶.

此類題型在2021年各地中考試題中出現(xiàn)較多. 例如，選題同樣選自《九章算術(shù)》的有浙江衢州卷第8題、四川成都卷第9題、山東泰安卷第14題、湖北宜昌卷第8題、廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)卷第10題、湖南邵陽卷第17題;甘肅白銀卷第8題、湖北荊門卷第6題取材于《孫子算經(jīng)》;浙江寧波卷第8題選題出自《張邱建算經(jīng)》;浙江紹興卷第12題選題出自《算法統(tǒng)宗》.

例19 （山東·棗莊卷）幻方是古老的數(shù)學(xué)問

題，我國(guó)古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮圖. 將數(shù)字1～9分別填入如圖3所示的幻方中，要求每一橫行、每一豎行以及兩條斜對(duì)角線上的數(shù)字之和都是15，則m的值為 ? .

設(shè)計(jì)思路分析：此題用九宮圖為背景，情境描述精煉，數(shù)學(xué)關(guān)系明確，考查學(xué)生的理解能力、獲取信息能力、分析問題和解決問題能力，以及模型思想. 此題既可以根據(jù)條件“每一橫行、每一豎行以及兩條斜對(duì)角線上的數(shù)字之和都是15”，建立等量關(guān)系，列出方程求解，也可以通過觀察分析得出結(jié)論，設(shè)計(jì)具有開放性，有利于考查學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力. 在滲透數(shù)學(xué)文化的同時(shí)，潛移默化地發(fā)揮了育人功能.

類似的考法有陜西卷第11題.

（2）聚焦社會(huì)熱點(diǎn)，關(guān)注學(xué)科育人.

立德樹人是教育的根本任務(wù)，2021年各地中考試題選材內(nèi)容新穎、題材廣泛，聚焦社會(huì)熱點(diǎn)，關(guān)注了材料的思想性、人文性、多樣性和時(shí)代性，所選材料貼近學(xué)生的生活實(shí)際，注重對(duì)學(xué)生情感、態(tài)度、價(jià)值觀的正向引導(dǎo).

例20 （江蘇·鹽城卷）勞動(dòng)教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學(xué)校加大投入，建設(shè)校園農(nóng)場(chǎng)，該農(nóng)場(chǎng)一種作物的產(chǎn)量?jī)赡陜?nèi)從300千克增加到363千克. 設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為x，則可列方程為_______.

設(shè)計(jì)思路分析：此題考查的知識(shí)點(diǎn)主要是一元二次方程的應(yīng)用——增長(zhǎng)率問題，屬于基礎(chǔ)題，但題目以勞動(dòng)教育為背景，選材主題鮮明，彰顯了立德樹人的學(xué)科教育價(jià)值.

類似的考法有四川眉山卷第23題（五育教育）、山東東營(yíng)卷第22題（雜交水稻之父袁隆平）、廣東卷第22題（端午節(jié)）、云南卷第18題（“30天無理由退貨”“誠(chéng)信旅游”，良好環(huán)境）.

2021年恰逢中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，題目以建黨100周年為現(xiàn)實(shí)情境，突出了時(shí)代性和教育性的特點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)熱情. 例如，山西卷第17題、浙江嘉興卷第8題、海南卷第18題、黑龍江綏化卷第17題都是以建黨100周年為背景，考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題列方程解應(yīng)用題的能力，情境創(chuàng)設(shè)新穎，在考查學(xué)生解決實(shí)際問題能力的同時(shí)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義教育.

綜觀全國(guó)各地中考試題，大部分試題的命制從方程與不等式的內(nèi)涵和本質(zhì)出發(fā)，以“解”和“列”為支撐，對(duì)基本概念、基本性質(zhì)和基本方法進(jìn)行全面考查. 有的試題關(guān)注了轉(zhuǎn)化思想、模型思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想方法的落實(shí);部分試題在形式上進(jìn)行了創(chuàng)新;很多試題注重了對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查，在解決函數(shù)問題中突出了對(duì)方程與不等式的應(yīng)用，凸顯了其工具特征，強(qiáng)化了應(yīng)用意識(shí).

三、復(fù)習(xí)建議

1. 研讀標(biāo)準(zhǔn)，立足教材，落實(shí)基礎(chǔ)

取消了考試說明，《標(biāo)準(zhǔn)》就是中考命題和復(fù)習(xí)備考的依據(jù)，教師應(yīng)該認(rèn)真研讀，進(jìn)一步明確《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)方程與不等式的學(xué)習(xí)要求，準(zhǔn)確把握復(fù)習(xí)內(nèi)容的深度和難度. 例如，《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)不等式與不等式組降低了要求，對(duì)不等式組的應(yīng)用考查不再做要求. 又如，《標(biāo)準(zhǔn)》明確要求了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（不要求應(yīng)用這個(gè)關(guān)系解決其他問題）.

教材是教學(xué)與評(píng)價(jià)的主要載體，也是命題的主要素材，很多中考試題都取材于教材或根據(jù)教材的例題、習(xí)題進(jìn)行改編. 所以，復(fù)習(xí)備考時(shí)要立足教材、深挖教材，通過挖掘與變式，充分發(fā)揮教材例題、習(xí)題的功效，加強(qiáng)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，重構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò).中考命題注重基礎(chǔ)，復(fù)習(xí)時(shí)要做到每一節(jié)課的目標(biāo)定位準(zhǔn)確，夯實(shí)基礎(chǔ)，注意解方程與不等式基本方法的掌握和基本技能的訓(xùn)練.

2. 重視應(yīng)用，感悟思想，培養(yǎng)能力

數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活. 每年全國(guó)各地中考試題中以社會(huì)熱點(diǎn)問題或?qū)W生身邊熟悉的場(chǎng)景為素材的試題較多，這類試題閱讀量較大，題材新穎，題型靈活，復(fù)習(xí)時(shí)要多關(guān)注身邊的生活，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)，注重培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)學(xué)建模能力.

在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中，函數(shù)、方程與不等式之間存在著本質(zhì)的聯(lián)系，關(guān)注它們之間的聯(lián)系仍然會(huì)成為后續(xù)各地中考命題的必然. 對(duì)方程與不等式核心知識(shí)的復(fù)習(xí)，要在不同層次、不同角度引導(dǎo)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程中積累經(jīng)驗(yàn)，感悟基本思想，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力，注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

3. 弘揚(yáng)文化，彰顯價(jià)值，關(guān)注素養(yǎng)

滲透數(shù)學(xué)文化，突出學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的獨(dú)特育人價(jià)值，試題將從能力立意轉(zhuǎn)變到素養(yǎng)導(dǎo)向. 融入中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)成就及直接呈現(xiàn)原著中的相關(guān)問題，對(duì)于促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展、形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要意義，也會(huì)繼續(xù)成為中考命題的亮點(diǎn)之一.

教學(xué)中要弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 同時(shí)，增加數(shù)學(xué)問題的探究性，體現(xiàn)深刻性與拓展性，滲透數(shù)學(xué)精神，彰顯學(xué)科的育人價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)教育在培養(yǎng)人的思維能力方面的作用.

四、模擬題欣賞

1. 如果m > n，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ? ?）.

（A）m + 2 > n + 2 （B）m - 2 > n - 2

（C）2m > 2n （D）-2m > -2n

解析：因?yàn)閙 > n，

根據(jù)不等式的性質(zhì)“不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變”，

得-2m < -2n.

故選D.

2. 用加減消元法解二元一次方程組[x+3y=4，①2x-y=1 ? ? ②]時(shí)，下列方法中無法消元的是（ ? ?）.

（A）①[× 2-]② （B）②[× -3-]①

（C）①[× -2+]② （D）①[-]②[× 3]

解析：能用加減消元法解方程組的條件是相同未知數(shù)的系數(shù)相同或相反.

選項(xiàng)D中不能消去其中的任何一個(gè)未知數(shù)，

故選D.

3. 如圖4，在編寫數(shù)學(xué)謎題時(shí)，“□”內(nèi)要求填寫同一個(gè)數(shù)字，若設(shè)“□”內(nèi)的數(shù)字為[x]. 則列出方程正確的是（ ? ?）.

<C：＼Users＼Administrator＼Desktop＼中數(shù)1-x＼Image＼image70.png>[圖4]

（A） [3×2x+5=2x]

（B） [3×20x+5=10x×2]

（C） [3×20+x+5=20x]

（D） [3×20+x+5=10x+2]

解析：注意“□”內(nèi)的數(shù)字在兩位數(shù)的個(gè)位還是十位，

設(shè)“□”內(nèi)的數(shù)字為x，

可得3 × （20 + x） + 5 = 10x + 2.

故選D.

4. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知3匹小馬能拉1片瓦，1匹大馬能拉3片瓦，求小馬、大馬各有多少匹. 若設(shè)小馬有x匹，大馬有y匹，則下列方程組中正確的是（ ? ?）.

（A） [x+y=100，y=3x] （B） [x+y=100，x=3y]

（C） [x+y=100，13x+3y=100] （D） [x+y=100，13y+3x=100]

解析：根據(jù)“小馬 + 大馬 = 100匹”及“小馬拉瓦的片數(shù) + 大馬拉瓦的片數(shù) = 100片”得解，故選C.

5. 若菱形[ABCD]的一條對(duì)角線長(zhǎng)為8，邊[CD]的長(zhǎng)是方程[x2-10x+24=0]的一個(gè)根，則該菱形[ABCD]的周長(zhǎng)為（ ? ?）.

（A）16 ? （B）24

（C）16或24 ? （D）48

解析：先求得方程的兩解為4，6.

再根據(jù)三角形三邊關(guān)系，

得CD = 6.

故選B.

6. 不等式組[5x-1>3x+1，12x-1≤4-13x]的解集為_______.

解析：分別求出兩個(gè)不等式的解，得不等式組的解集為[2<x≤6].

7. 如果關(guān)于[x]的方程[x2-4x+m=0]有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么m的值是______.

解析：由題意，得Δ = 0.

求得m = 4.

故填4.

8. 如圖5，直線y = kx + b（k，b是常數(shù)，且k ≠ 0）與直線y = 2交于點(diǎn)A（4， 2），則關(guān)于x的不等式kx + b < 2的解集為_________.

解析：由圖象得，y = 2是一條位于x軸上方且與x軸平行的直線.

直線y = 2與直線y = kx + b交于點(diǎn)A（4，2），

kx + b < 2表示直線y = kx + b的圖象在直線y = 2的下方，

對(duì)應(yīng)的自變量是x < 4.

故填x < 4.

9. 若關(guān)于x的分式方程[3xx-2=m2-x+5]的解為正數(shù)，則m的取值范圍為_______.

解析：分式方程去分母化為整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解為正數(shù)，求出m的范圍即可.

去分母，得3x = -m + 5（x - 2）.

解得x =[m+102].

由方程的解為正數(shù)，得到m + 10 > 0，且m + 10 ≠ 4.

則m的取值范圍為m > -10，且m ≠ -6.

故填m > -10，且m ≠ -6.

10. 以下是圓圓解方程[x+12-x-33=1]的解答過程.

解：去分母，得[3x+1-2x-3=1].

去括號(hào)，得[3x+1-2x+3=1].

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得[x=-3].

圓圓的解答過程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，寫出正確的解答過程.

解析：圓圓的解答過程有錯(cuò)誤.

正確的解答過程如下：

方程兩邊乘6，得[3x+1-2x-3=6].

去括號(hào)，得[3x+3-2x+6=6].

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得[x=-3].

11. 隨著人們“節(jié)能環(huán)保，綠色出行”意識(shí)的增強(qiáng)，越來越多的人喜歡騎自行車出行，也給自行車商家?guī)砩虣C(jī). 某自行車行經(jīng)營(yíng)的[A]型自行車去年銷售總額為8萬元. 今年該型號(hào)自行車每輛售價(jià)預(yù)計(jì)比去年降低200元. 若該型號(hào)自行車的銷售數(shù)量與去年相同，那么今年的銷售總額將比去年減少[10%]，求：

（1）A型自行車去年每輛售價(jià)為多少？

（2）該車行今年計(jì)劃新進(jìn)一批A型車和新款B型車共60輛，且B型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍. 已知A型車和B型車的進(jìn)貨價(jià)格分別為1 500元和1 800元，計(jì)劃B型車銷售價(jià)格為2 400元，應(yīng)如何組織進(jìn)貨才能使這批自行車銷售獲利最多？

解析：（1）設(shè)去年A型車每輛售價(jià)[x]元，

則今年每輛售價(jià)為[x-200]元.

由題意，得[80 000x=80 0001-10%x-200].

解得[x=2 000].

經(jīng)檢驗(yàn)，[x=2 000]是原方程的根.

答：A型自行車去年每輛售價(jià)為2 000元.

（2）設(shè)今年新進(jìn)A型車[a]輛，則B型車為[60-a]輛，獲利[y]元，

由題意，得

[y=1 800-1 500a+2 400-1 80060-a].

解得[y=-300a+36 000].

因?yàn)锽型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍，

所以[60-a≤2a].

所以a ≥ 20.

因?yàn)閇y=-300a+36 000]，

所以[k=-300<0].

所以[y]隨[a]的增大而減小.

所以當(dāng)[a=20]時(shí)，[y]有最大值.

所以B型車的數(shù)量為[60-20=40]（輛）.

所以當(dāng)新進(jìn)A型車20輛，B型車40輛時(shí)，這批車獲利最大.

參考文獻(xiàn)：

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[4]肖文記，孫延洲. 內(nèi)外關(guān)聯(lián)，潛移默化：2019年中考“方程與不等式”專題命題分析[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2020（1 / 2）：42-49.