王爍

摘 ?要：依據課程改革思路，為落實《義務教育數學課程標準（2011年版）》的基本要求，2021年全國各地中考試題結合數與代數學習領域，在考查數與式的相關內容上進行了積極探索，不僅有效地考查了數與式的基礎知識、基本技能、基本思想方法，還注重培養(yǎng)學生的思維能力和創(chuàng)新能力.結合2021年全國部分中考試題中數與式部分試題，對主要考點和解題方法進行總結，欣賞部分試題的精彩解法，對常見的錯解進行分析，并給出教學建議.

關鍵詞：數與式;解法分析;中考試題;教學建議

一、試題分析

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）將初中數學分為四部分：數與代數、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐. 初中數學中數與代數的內容分為三部分：數與式、方程與不等式、函數. 數的概念是學生認識和理解數的開始，從自然數逐步擴充到有理數、實數，學生不斷增加數的理解和運用. 數的運算伴隨著數的形成與發(fā)展不斷豐富，從最基本的自然數的四則運算到有理數的乘方、開方運算. 字母的引入和代數式的出現，是數及其運算的進一步抽象. 代數式及其運算的考查要借助現實情境和簡單問題中數量關系的分析，理解用字母表示數的意義，形成整式、分式和根式的概念，建立數感和符號意識，能熟練、準確地進行各種運算，提升運算能力和推理能力. 下面選取2021年全國各地中考試題中關于數與式的部分試題的考查要求和解題特點加以分析.

1. 關注有理數的考查

初中階段引入負數，既是實際的需要，用以刻畫現實世界中具有相反意義的量，又是數學自身將數集擴充為有理數集的需要. 這部分知識點比較多，包括相反數、絕對值等概念，會用數軸上的點表示有理數，比較有理數的大小，掌握有理數加減、乘除和乘方運算法則和運算律，以及科學記數法，等等. 在2021年各地中考試題中，有理數的考查主要是以選擇題和填空題的形式出現，難度不大.

例1 （安徽卷）[-9]的絕對值是（ ? ?）.

（A）[9] （B）[-9]

（C）[19] （D）[-19]

答案：A.

【評析】此題主要考查絕對值的概念. 選項的設計考慮將絕對值、倒數、負倒數等易混淆的知識點編寫進來，正確理解絕對值的定義是關鍵，學生要明確一個負數的絕對值是它的相反數，即可得到[-9]的絕對值是9.

例2 （四川?涼山州卷）下列數軸表示正確的是（ ? ?）.

答案：D.

【評析】此題考查數軸的概念：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸. 數軸常見的錯誤：沒有正方向、沒有原點、單位長度不統(tǒng)一，數字排列順序錯誤等. 選項A和選項B都不符合數軸右邊的數總比左邊的數大的特點，屬于數字排列順序錯誤，選項C沒有原點，選項D符合數軸的定義，滿足數軸的三要素.

例3 （山東?泰安卷）下列各數：[-4]，[-2.8]，0，[-4]，其中比[-3]小的數是（ ?）.

（A）[-4] （B）[-4]

（C）0 （D）[-2.8]

答案：A.

【評析】此題主要考查比較有理數的大小，熟知有理數的比較大小的法則是解答的關鍵. 根據正數大于負數，正數大于0，負數小于0，兩個負數比較大小，絕對值大的反而小. 可得[-4<-3<-2.8<0<-4]. 故比[-3]小的數為[-4].

例4 （云南卷）某地區(qū)2021年元旦的最高氣溫為[9℃]，最低氣溫為[-2℃]，那么該地區(qū)這天的最低氣溫比最高氣溫低（ ? ?）.

（A）[7℃] （B）[-7℃]

（C）[11℃] （D）[-11℃]

答案：C.

【評析】此題考查有理數的減法，用最高溫度減去最低溫度，再利用減去一個數等于加上這個數的相反數進行計算，將[9--2]轉化為[9+2]即可得出結果.

例5 （天津卷）計算[-5×3]的結果等于（ ? ?）.

（A）[-2] （B）[2]

（C）[-15] （D）[15]

答案：C.

【評析】此題考查有理數的乘法，兩數相乘，同號得正，異號得負，再把絕對值相乘. 有理數的乘法運算步驟第一步先確定積的符號，第二步再把[-5]的絕對值與[3]的絕對值相乘，結果等于[-15].

例6 （甘肅?武威卷）中國疫苗撐起全球抗疫“生命線”！中國外交部數據顯示，截至2021年3月底，我國已無償向80個國家和3個國際組織提供疫苗援助. 預計2022年中國新冠疫苗產能有望達到50億劑，約占全球產能的一半，必將為全球抗疫做出重大貢獻. 數據“50億”用科學記數法表示為（ ? ?）.

（A） [5×108] （B） [5×109]

（C） [5×1010] （D） [50×108]

答案：B.

例7 （浙江?嘉興卷）2021年5月22日，我國自主研發(fā)的“祝融號”火星車成功到達火星表面. 已知火星與地球的最近距離約為55 000 000千米，數據55 000 000用科學記數法表示為（ ? ?）.

（A） [55×106] （B） [5.5×107]

（C） [5.5×108] （D） [0.55×108]

答案：B.

【評析】這兩道題主要考查科學記數法，題目的設計關注實際背景，讓學生體會到數學與現實生活的緊密聯系. 這兩道題知識難度不大，但從一個側面考查學生思維的全面性、縝密性. 科學記數法的表達形式為a × 10n的形式，其中1 ≤[a]< 10，n為整數. 確定n的值一般有兩種方法：方法1，利用整數的位數來求n，n等于原數的整數位數減1;方法2，要看把原數變成a時，小數點移動的位數，小數點向左（或右）移動了幾位，n就等于幾.

2. 關注實數的考查

初中階段引入算術平方根、平方根、立方根等概念，數的范圍從有理數擴充到實數，學生要知道有理數的運算，以及運算律、運算性質在實數范圍內仍然成立. 2021年各地中考試題關于實數的考查內容包括無理數與實數的含義，乘方與開方互為逆運算的關系，立方與開立方互為逆運算的關系，會用有理數估計一個無理數的大致范圍，了解近似數，進一步建立數感與符號意識. 各地中考試題中，實數的考查形式有選擇題、填空題和解答題，難度不大.

例8 （浙江?金華卷）實數[-12]，[-5]，2，[-3]中，為負整數的是（ ? ?）.

（A） [-12] （B） [-5]

（C）2 （D） [-3]

答案：D.

【評析】此題考查實數的分類，實數的分類通常有兩種：一種是按概念分類，有理數和無理數統(tǒng)稱為實數;另一種是按性質分類，實數包括正實數、0、負實數. 負整數屬于整數，整數屬于有理數. [-12]是負分數不是整數;[-5]是負無理數不是有理數;2是正整數不是負數;[-3]是負數且是整數，所以[-3]為負整數.

例9 （北京卷）已知432 = 1 849，442 = 1 936，452 = 2 025，462 = 2 116. 若n為整數，且n <[2 021]< n + 1，則n的值為（ ?）.

（A）43 ? （B）44

（C）45 ? ? （D）46

答案：B.

【評析】此題考查對無理數的估算，根據乘方與開方互為逆運算的關系，將[2 021]平方后，觀察2 021的范圍. 求[2 021]在哪兩個相鄰的整數之間，轉化為估計2 021在哪兩個相鄰整數的完全平方數之間. 根據已知條件中的信息，可得1 936 < 2 021 < 2 025. 開方可得[44<2 021<45].

例10 （四川·資陽卷）若[a=73]，[b=5]，[c=2]，則a，b，c的大小關系為（ ? ?）.

（A）[b<c<a] （B）[b<a<c]

（C）[a<c<b] （D）[a<b<c]

答案：C.

【評析】此題考查對無理數的估算，并進行無理數與有理數的大小比較. 根據立方根和平方根的概念，可得[83=2]，[4=2]. 把2作為比較大小的橋梁，根據[73<83]，[5>4]，可得[73<2<5].

例11 （安徽卷）計算：[4+-10=]______.

答案：3.

例12 （重慶卷）計算：[9-π-10=]________.

答案：2.

【評析】這兩道題考查算數平方根的概念和零指數冪的性質. 根據算數平方根的定義，可得4的算術平方根等于2，9的算術平方根等于3. 根據零指數冪的性質，可得任何一個非0數的零次冪等于1，可得[4+-10=2+1=3]，[9-π-10=3-1=2].

例13 （江蘇·連云港卷）計算：[83+-6-22].

答案：4.

例14 （浙江·溫州卷）（1）計算：[4×-3+][-8-9+70].

（2）化簡：[a-52+12a2a+8].

答案：（1） [-6].

（2）略.

【評析】這兩道題考查實數的混合運算，題目簡潔，難度不大，卻內涵豐富. 每道題都包含多種運算，解題時需要明確每一種運算的方法和運算順序，先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減.

3. 關注代數式的考查

在初中階段用字母表示數是建立數感與符號意識的重要過程，是學習和認識數學的一次飛躍. 形成代數式、整式、分式和根式的一系列概念，學會各類運算，貫穿于學習數與代數的始終. 在2021年各地的中考試題中，代數式的運算是重點考查的內容. 按照對字母進行的運算，把代數式進行分類：整式中，對字母只實施加法、減法、乘法和乘方運算;分式中，除對字母實施加法、減法、乘法和乘方運算外，以對字母實施除法運算（形式上表現為分母含有字母）為主要特征;根式中，除了對字母實施加法、減法、乘法、除法和乘方運算外，還對字母實施開方運算（形式上表現為根號下含有字母）為主要特征.

代數式的運算考查內容包括代數式的化簡與求值;整式的加法、減法、乘法運算;因式分解是整式的一種恒等變形，將整式變換成乘積的形式，提取公因式法和公式法是實施因式分解的基本方法;分式與二次根式的加、減、乘、除運算，其本質是恒等變形. 這部分試題有利于培養(yǎng)學生的分類思想、轉化思想、整體思想，有利于培養(yǎng)學生的數感與符號意識，提高學生的運算能力.

例15 （天津卷）計算[4a+2a-a]的結果等于

.

答案：[5a].

例16 （山東?泰安卷）下列運算正確的是

（ ?）.

（A） [2x2+3x3=5x5]

（B） [-2x3=-6x3]

（C） [x+y2=x2+y2]

（D） [3x+22-3x=4-9x2]

答案：D.

【評析】這兩道題考查整式的加減、積的乘方、完全平方公式和平方差公式. 例15考查整式的加減，整式的加減實質上是合并同類項，合并同類項的要點：一是“系數相加”;二是“字母連同它的指數不變”. 例16的選項A，根據同類項的概念，可知x2和x3不是同類項，不能合并. 例16的選項B，根據積的乘方運算法則：積的乘方等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，可知[-23=-8]，[-2x3=-8x3]. 例16的選項C，根據完全平方公式，可知[x+y2=x2+2xy+y2]. 例16的選項D，先把第一個括號內的多項式根據加法交換律進行變形，再根據平方差公式，得[3x+22-3x=][2+3x2-3x=4-9x2]，最后進行判斷即可.

例17 （云南卷）按一定規(guī)律排列的單項式： [a2，][4a3，9a4，16a5，25a6，] …，第n個單項式是（ ? ?）.

（A） [n2an+1] （B） [n2an-1]

（C） [nnan+1] （D） [n+12an]

答案：A.

【評析】此題屬于單項式規(guī)律探索型問題，考查學生觀察、歸納、計算的能力. 解答此題的關鍵是發(fā)現單項式中系數和字母的指數的變化規(guī)律. 根據題目中給出的前五個單項式的特征可以發(fā)現：單項式的系數是從1開始的正整數的平方，可得系數的規(guī)律為[n2]. 字母的指數是從2開始依次加1，可得指數的規(guī)律為[n+1]，即可寫出第n個單項式為[n2an+1].

例18 （四川?瀘州卷）已知[10a=20]，[100b=50]，則[12a+b+32]的值是（ ? ?）.

（A）2 （B） [52]

（C）3 （D） [92]

答案：C.

【評析】此題考查冪的乘方、同底數冪的乘法、代數式求值和整體思想. 根據冪的乘方法則和同底數冪的乘法法則，可得[10a ? 100b=10a ? 102b=10a+2b=20×]

[50=1 000=103]. 得到[a+2b=3]. 將所求代數式先提取系數[12]，再整體代入，可得[12a+b+32=a+2b+32=][3+32=3].

例19 （山東·臨沂卷）分解因式：[2a3-8a=]________.

答案：[2aa+2a-2].

例20 （廣西·賀州卷）多項式[2x3-4x2+2x]因式分解為（ ? ?）.

（A） [2xx-12] （B） [2xx+12]

（C） [x2x-12] （D） [x2x+12]

答案：A.

【評析】這兩道題考查多項式的分解因式，分解因式的一般步驟是一提、二套、三查. 一提：先看有無公因式，若有則提取公因式;二套：再看是否符合完全平方公式或平方差公式的特征;三查：檢查是否分解徹底，若沒有則繼續(xù)分解因式.

例21 （湖北?十堰卷）已知[xy=2，x-3y=3]，則[2x3y-12x2y2+18xy3=]_________.

答案：36.

【評析】此題考查因式分解中提公因式法和完全平方公式法，及在代數式求值的過程中應用整體思想. 正確應用數學思想方法往往可以收到事半功倍的效果. 先將所求多項式因式分解，得到[2x3y-12x2y2+18xy3=]

[2xyx-3y2]. 再將已知條件[xy=2，x-3y=3]整體代入，可得[2xyx-3y2=2×2×32=36].

例22 （天津卷）計算[3aa-b-3ba-b]的結果是（ ? ?）.

（A）3 ? ? ? ? ? ? ?（B） [3a+3b]

（C）1 ? ? ? ? ? ? ?（D） [6aa-b]

答案：A.

【評析】此題考查同分母分式的減法和提公因式法分解因式. 先根據分式的減法運算法則計算，再提取公因式，最后約分化簡即可. [3aa-b-3ba-b][=3a-ba-b][=3].

例23 （江蘇·蘇州卷）已知兩個不等于0的實數[a]，[b]滿足[a+b=0]，則[ba+ab]等于（ ? ?）.

（A）[-2] （B）[-1]

（C）1 （D）2

答案：A.

【評析】此題考查分式的化簡求值，主要有兩種方法. 方法1：先將[a+b=0]變形得[a=-b]. 然后將[a=-b]直接代入[ba+ab]中，可得[ba+ab=b-b+-bb=-1-1=-2]. 方法2：先將所求式子變形，得到[ba+ab=b2+a2ab]. 觀察已知條件，給出的是兩數的和的形式，觀察變形后的所求式子，分子是兩數的平方和的形式，分母是兩數的積的形式，可以考慮應用完全平方公式，得到[ba+ab=a+b2-2abab=0-2abab=-2]. 這種方法應用了異分母分式的加法、完全平方公式、整體代入思想. 靈活應用配方法是解題的關鍵.

例24 （浙江·麗水卷）要使式子[x-3]有意義，則x可取的一個數是__________.

答案：4（答案不唯一，[x≥3]）.

【評析】此題是一道開放性問題，答案不唯一，考查二次根式有意義的條件，解題的關鍵是要明確二次根式有意義的條件是被開方數為非負數，再結合一元一次不等式，可解得[x≥3.] 在此范圍內取一個數即可.

例25 （上海卷）下列實數中，有理數是（ ? ?）.

（A） [12] （B） [13]

（C） [14] （D） [15]

答案：C.

【評析】此題考查二次根式的化簡、無理數和有理數的定義. 化簡二次根式，使被開方數不含分母，被開方數不含能開得盡方的因數或因式，再根據有理數的定義進行判斷. 根據分式的基本性質，分子與分母同時乘一個適當的數或式，可得[1a=aa2=aaa>0]. 所以[12=22]，[13=33]，[15=55]，[14=12]，其中只有[14]是有理數.

例26 （甘肅·武威卷）下列運算正確的是（ ? ?）.

（A） [3+3=3] ? （B） [45-5=4]

（C） [3×2=6] （D） [32÷8=4]

答案：C.

例27 （重慶A卷）計算[14×7-2]的結果是（ ? ?）.

（A）7 ? （B） [62]

（C） [72] （D） [27]

答案：B.

例28 （浙江·杭州卷）下列計算正確的是（ ? ?）.

（A） [22=2] （B） [-22=-2]

（C） [22=±2] （D） [-22=±2]

答案：A.

例29 （山東·臨沂卷）計算[-2+2-122-]

[2+122].

答案：[-2].

【評析】這四道題考查二次根式的加、減、乘、除運算，以及[a2]的化簡. 要求熟練掌握運算法則，二次根式加減法的關鍵步驟是合并被開方數相同的二次根式，將系數相加減，結果仍為系數，根指數和被開方數保持不變. 二次根式乘除法的關鍵步驟是把被開方數相乘除，結果化為最簡二次根式. [a2=a=aa≥0，-aa<0][a2]的化簡過程把二次根式的問題轉化成去絕對值符號的問題. 例29根據算式的結構特征可以逆用平方差公式簡化運算，[-2+2-122-2+122=2+]

[2-12+2+122-12-2+12=2+22×][-1=-2].

二、解法分析

例30 （四川?涼山州卷）[81]的平方根是（ ? ?）.

（A） [±3] （B）3

（C） [±9] （D）9

答案：A.

典型解法：因為[81]= 9，

所以求[81]的平方根就是求9的平方根，

結果為[±3]，

故選A.

【評析】這是一道易錯題，這道題出錯的主要原因是學生沒有準確理解題意，這道題需要進行兩步運算，首先計算81的算術平方根，得到結果為9;再計算9的平方根，得到結果為[±3].

有的學生誤認為[81]的平方根就是81的平方根，選擇了選項C. 有的學生誤認為[81]的平方根就是81的算術平方根，選擇了選項D. 有的學生計算的是[81]的算術平方根，選擇了選項B.

有的學生對[a]，[-a]，[±a][a≥0]這三個符號認識不清，混淆了平方根和算術平方根的概念. [a]表示一個非負數的算術平方根;[-a]表示一個非負數的算術平方根的相反數;[±a]表示一個非負數的平方根.

教學建議：對于平方根的討論，在復習過程中教師可以從一些具體的數入手，結合數學符號與文字語言進行相關變式訓練，注意調動學生思考的積極性，給學生留出時間總結歸納，幫助學生準確理解算術平方根和平方根的概念，進一步認識算術平方根和平方根的聯系與區(qū)別，并能熟練運算.

例31 （四川?自貢卷）已知[x2-3x-12=0]，則代數式[-3x2+9x+5]的值是（ ?）.

（A） 31 （B） [-31]

（C） 41 （D） [-41]

答案：B.

典型解法：

（方法1）因為[-3x2+9x+5=-3x2-3x-12-31]，

因為[x2-3x-12=0]，

所以[-3x2+9x+5=-3×0-31=-31].

（方法2）因為[x2-3x-12=0]，

所以[x2-3x=12].

因為[-3x2+9x+5=-3x2-3x+5]，

所以[-3x2+9x+5=-3×12+5=-31].

（方法3）因為[x2-3x-12=0]，

所以[x2=3x+12].

所以[-3x2+9x+5=-33x+12+9x+5=-9x-36+][9x+5=-31].

【評析】有的學生看到已知條件[x2-3x-12=0]，會想到用求根公式解出[x=3±572]，然后再將x的值代入所求的代數式中，但是這種方法計算煩瑣，容易出錯. 我們知道當已知條件中不易求出字母的值，或者求出的字母的值較為復雜時，可以考慮把含有字母的等式整體代入所求代數式中求值.

這道題主要考查整體代入思想，這里給出了三種解法，可以將[x2-3x-12=0]整體代入所求代數式，或者將已知條件變形為[x2-3x=12]或[x2=3x+12]再整體代入. 代入過程中，可以將所求代數式[-3x2+9x+5]整體提取系數[-3]，也可以只將二次項和一次項局部提取系數[-3]，要特別注意在變形過程中常數項的變化. 無論選擇哪種方法，計算過程中保持恒等變形尤為關鍵.

例32 （浙江·臺州卷）已知[a+b2=49]，[a2+b2=25]，則[ab]的值為（ ? ?）.

（A）24 （B）48

（C）12 （D） [26]

答案：C.

典型解法：（方法1）因為[a+b2=a2+b2+2ab]，

因為[a+b2=49]，[a2+b2=25]，

所以[49=25+2ab].

所以[ab=12].

（方法2）因為[a+b2=a2+b2+2ab]，

所以[ab=12a+b2-a2+b2].

因為[a+b2=49]，[a2+b2=25]，

所以[ab=49-252=12].

【評析】此題考查利用完全平方公式和整體代入法求代數式的值，牢記完全平方公式是關鍵. 這道題可以選擇直接代入法，也可以選擇將完全平方公式進行恒等變形，再整體代入求值. 在計算過程中，有的學生漏掉了公式中[2ab]的系數2，錯選選項A. 有的學生記錯了公式中[2ab]前面的符號，無法選出正確答案.

教學建議：教師在復習完全平方公式時，提醒學生要牢記兩個公式的特征，[a+b2=a2+2ab+b2]，[a-b2=a2-2ab+b2]，公式的左邊是二項式的平方，公式的右邊是一個三項式，首尾兩項分別是二項式兩項的平方，中間一項是二項式兩項積的2倍. 如果公式的左邊是兩個數的和，那么右邊是它們的平方和加上它們的積的2倍;如果公式的左邊是兩個數的差，那么右邊是它們的平方和減去它們的積的2倍. 可通過口訣巧記此公式：首平方，尾平方，積的2倍在中央.

例33 （重慶卷）計算：（1）（x - y）2 + x（x + 2y）;

（2）[1-aa+2÷a2-4a2+4a+4].

答案：（1）略;

（2）[2a-2].

典型解法：（1）略.

（2）（方法1）[1-aa+2÷a2-4a2+4a+4]

=[a+2a+2-aa+2÷a+2a-2a+22]

=[2a+2 ? a+22a+2a-2]

=[2a-2].

（方法2）[1-aa+2÷a2-4a2+4a+4]

=[a+2a+2-aa+2÷a+2a-2a+22]

=[2a+2 ? a+2a-2]

=[2a-2].

（方法3）[1-aa+2÷a2-4a2+4a+4]

=[1-aa+2÷a+2a-2a+22]

=[1-aa+2 ? a+2a-2]

=[a+2a-2-aa-2]

=[2a-2].

【評析】此題考查分式的混合運算，計算過程中常見的錯誤有：在計算括號內的減法時，通分的過程中1應該轉化為[a+2a+2]，有的學生誤寫成[1a+2];在計算除法運算時，應該將除法轉化為乘法運算，把除式的分子、分母顛倒位置與被除式相乘，有的學生沒有顛倒分子、分母的位置造成計算錯誤;有的學生沒記牢平方差和完全平方公式，在計算的過程中出現錯誤.

教學建議：教師在復習分式混合運算的過程中，強化學生的四種意識.（1）順序意識：含有加、減、乘、除、乘方的混合運算，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的.（2）轉化意識：分式的除法運算要轉化成乘法運算，異分母分式相加減轉化為同分母分式相加減.（3）因式分解意識：若分子、分母中有多項式，應先因式分解.（4）約分意識：若分子、分母中有公因式，應先約分，最后結果要化為最簡分式或整式.

三、試題解法欣賞

例34 （四川·眉山卷）觀察下列等式：

[x1=1+112+122=32=1+11×2];

[x2=1+122+132=76=1+12×3];

[x3=1+132+142=1312=1+13×4];

……

根據以上規(guī)律，計算[x1+x2+x3+…+ x2 020-2 021=]的值為______.

答案：[-12 021].

分析：此題設計精巧，題目呈現形式由特殊到一般，內容涉及分數、分式、二次根式、有理數運算、分式運算、二次根式的運算，考查學生綜合運用所學知識解決問題的能力. 解題的關鍵是根據已知條件中數的特征找到規(guī)律，計算過程中需將[1nn+1]進行裂項，然后再求和，實際上考查了學生逆向思維的能力.

解：觀察所給等式的特征，總結規(guī)律，可得[xn=1+1n2+1n+12=nn+1+1nn+1=1+1nn+1].

所以[x2 020=1+12 020×2 021].

所以[x1+x2+x3+…+x2 020-2 021=1+11×2+1+][12×3+1+13×4+…+1+12 020×2 021-2 021=2 020+][1-12+12-13+13-14+…+12 020-12 021-2 021=2 020+]

[1-12 021-2 021=-12 021.]

例35 （安徽卷）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列.

【觀察思考】

當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）;當正方形地磚有2塊時，等腰直角三角形地磚有8塊（如圖3）;……;依此類推.

【規(guī)律總結】

（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加的塊數為 ? ? ? ;

（2）若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數為

（用含n的代數式表示）.

【問題解決】

（3）現有2 021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚的塊數為多少？

答案：（1）2;

（2） [ 2n+4];

（3）1 008.

分析：解決圖形變化規(guī)律的問題，可以從“形”和“數”兩個角度入手，逐一看圖，觀察、分析、歸納圖形或數字的變化規(guī)律.

解：（1）（方法1）通過觀察和計數的方法可知，

圖2中正方形地磚的塊數為1，等腰直角三角形地磚的塊數為6;

圖3中正方形地磚的塊數為2，等腰直角三角形地磚的塊數為8;

正方形地磚的塊數為3，等腰直角三角形地磚的塊數為10;

……

依此類推，每增加1塊正方形地磚，等腰直角三角形地磚增加2塊.

（方法2）通過觀察圖2和圖3中圖形的整體特征，

可得圖3比圖2增加1塊正方形地磚和2塊等腰直角三角形地磚，

依此類推，每增加1塊正方形地磚，等腰直角三角形地磚增加2塊.

（2）（方法1）當正方形地磚的塊數為1時，等腰直角三角形地磚的塊數為6.

由（1），可得規(guī)律：如表1，每增加一塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加2塊.

代數式[6+2n-1=2n+4].

所以當人行道有n塊正方形地磚時，等腰直角三角形地磚有[2n+4]塊.

（方法2）通過觀察圖2和圖3的圖形特征可知，

兩幅圖的左右兩側各有1塊等腰直角三角形地磚，這2塊地磚的數量不隨正方形地磚數量的增加而變化.

除了這2塊等腰直角三角形地磚以外，當圖中有1個正方形時，它的左右兩側共有2個8字形地磚（每個8字形地磚由上下2個等腰直角三角形地磚組成）.

當圖中有2個正方形時，它們的周圍共有3個8字形地磚.

如表2，依此類推，當圖中有n個正方形時，它們的周圍共有[n+1]個8字形地磚.

代數式[2+2n+1=2n+4].

所以當人行道有n塊正方形地磚時，等腰直角三角形地磚有[2n+4]塊.

（3）令[2n+4=2 021]，

得[n=1 008.5].

因為n是正整數，

所以當[n=1 008]時， [2n+4=2 020，] [2 021-2 020=1.]

此時剩下1塊等腰直角三角形地磚，等腰直角三角形地磚剩余最少.

答：需要正方形地磚1 008塊.

在2021年全國中考試題中，各地命題人員關注到“數與式”內容的思想性及可以引發(fā)深入思考的價值，設計了非常好的試題. 我們不僅通過測試結果關注學生答案的對錯，更重要的是判斷學生思維過程是否有道理，是否合乎邏輯. 我們研究全國各地中考試題的考點和解法，不僅是為了研究中考本身，更是探尋教學與評價的內涵，探索如何在教學中發(fā)揮數學的內在力量，挖掘數學內容所蘊含的育人資源，提高學生數學素養(yǎng)，發(fā)展思維能力，培育理性精神，讓學生在獲得數學知識的同時，學會思考，成為善于認識問題和解決問題的人，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力，使學生的智慧得到發(fā)展.

參考文獻：

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