周澤軍 周靜

摘 ?要：方程與不等式是“數(shù)與代數(shù)”的核心知識(shí)，是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，在實(shí)際問(wèn)題的解決中起著極其重要的“工具”作用. 結(jié)合2021年全國(guó)部分地區(qū)中考試卷中“方程與不等式”專題的相關(guān)內(nèi)容，從試題分析、解法分析、解法賞析、思考啟示四個(gè)方面進(jìn)行解題分析.

關(guān)鍵詞：方程與不等式;解題分析;中考數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)素養(yǎng)

方程與不等式是“數(shù)與代數(shù)”的核心知識(shí)，是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，在實(shí)際問(wèn)題的解決中起著極其重要的“工具”作用，一直是中考數(shù)學(xué)考查的重要內(nèi)容. 2021年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)關(guān)于方程與不等式的試題很好地體現(xiàn)了立足“四基”“四能”的考查，關(guān)注在新的問(wèn)題情境下，合理構(gòu)建方程或不等式模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力和水平的考查. 符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的基本理念與要求，指明了數(shù)學(xué)育人的發(fā)展方向. 現(xiàn)圍繞“方程與不等式”專題，從試題分析、解法分析、解法賞析、思考啟示四個(gè)方面進(jìn)行解題分析.

一、試題分析

綜觀2021年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)“方程與不等式”的試題命制，遵循《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，以“解”和“列”為支點(diǎn)，撬動(dòng)對(duì)“四基”的考查;以“實(shí)際問(wèn)題背景題”為支撐，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，突出了試題的基礎(chǔ)性、時(shí)代性和發(fā)展性.

1. 立足核心知識(shí)，注重基礎(chǔ)考查

（1）考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能.

例1 （山東·聊城卷）關(guān)于x的方程x2 + 4kx + 2k2 = 4的一個(gè)解是-2，則k值為（ ? ?）.

（A）2或4 （B）0或4

（C）-2或0 （D）-2或2

解析：此題考查了方程解的概念，能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解.

把x = -2代入方程x2 + 4kx + 2k2 = 4，得

4 - 8k + 2k2 = 4.

解得k1 = 0，k2 = 4.

故選B.

例2 （湖南·常德卷）若a > b，下列不等式不一定成立的是（ ?）.

（A）a - 5 &gt; b - 5 （B）-5a < -5b

（C）[ac]>[bc] （D）a + c > b + c

解析：此題考查了不等式的性質(zhì)，熟記不等式的三條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

選項(xiàng)A，由不等式的性質(zhì)1，可知a - 5 > b - 5. 故選項(xiàng)A不符合題意.

選項(xiàng)B，由不等式的性質(zhì)3，可知-5a < -5b. 故選項(xiàng)B不符合題意.

選項(xiàng)C，由不等式的性質(zhì)2、性質(zhì)3，可知當(dāng)c > 0時(shí)，[ac>bc];當(dāng)c < 0時(shí)，[ac<bc];當(dāng)c = 0時(shí)，式子不成立. 故選項(xiàng)C符合題意.

選項(xiàng)D，由不等式的性質(zhì)1，可知a + c > b + c. 故選項(xiàng)D不符合題意.

故選C.

例3 （湖南·懷化卷）對(duì)于一元二次方程2x2 - 3x + 4 = 0，則它的根的情況為（ ? ?）.

（A）沒(méi)有實(shí)數(shù)根

（B）兩根之和是3

（C）兩根之積是-2

（D）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

解析：此題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系. 應(yīng)注意：只有在一元二次方程有實(shí)數(shù)根的前提條件下，才能研究方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

因?yàn)棣?= b2 - 4ac = -23 < 0，

所以一元二次方程2x2 - 3x + 4 = 0沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

故選A.

例4 （重慶B卷）不等式x > 5的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ?）.

解析：此題考查了不等式的解集在數(shù)軸上的表示.

不等式x > 5的解集在數(shù)軸上表示為5右邊的部分，不包括5.

故選A.

例5 （四川·瀘州卷）關(guān)于x的不等式組[2x-3>0，x-2a<3]恰好有2個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ? ? ? ?.

解析：此題考查一元一次不等式組的整數(shù)解. 解題的關(guān)鍵是熟練掌握解不等式組，并根據(jù)不等式組的整數(shù)解個(gè)數(shù)得出關(guān)于a的不等式組.

解不等式組，得1.5 < x < 2a + 3.

根據(jù)“不等式組恰好有2個(gè)整數(shù)解”，可得

3 < 2a + 3 ≤ 4.

解得0 < a ≤ 0.5.

故填0 < a ≤ 0.5.

例6 （黑龍江·齊齊哈爾卷）若關(guān)于x的分式方程[3xx-1=m1-x+2]的解為正數(shù)，則m的取值范圍是

.

解析：此題考查了解分式方程和解一元一次不等式. 需要注意的是，分式方程的解應(yīng)使得分母不為0.

將原分式方程去分母，得3x = -m + 2（x - 1）.

去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得x = -m - 2.

根據(jù)方程的解為正數(shù)，可得

-m - 2 > 0，且-m - 2 ≠ 1.

解得m < -2，且m ≠ -3.

故填m < -2，且m ≠ -3.

例7 （江蘇·揚(yáng)州卷）已知方程組[2x+y=7，x=y-1] 的解是關(guān)于x，y的方程ax + y = 4的一個(gè)解，求a的值.

解析：此題考查了二元一次方程組的解及二元一次方程的解的概念，方程組的解即為能使方程組中每個(gè)方程都成立的未知數(shù)的值.

解方程組，得[x=2，y=3.]

代入方程ax + y = 4，得2a + 3 = 4.

解得a =[12].

例8 （貴州·貴陽(yáng)卷）有三個(gè)不等式2x + 3 < -1，

-5x > 15，3（x - 1） > 6，試在其中任選兩個(gè)不等式，組成一個(gè)不等式組，并求出它的解集.

解析：此題考查了解一元一次不等式組，確定不等式組的解集可遵循的規(guī)律是：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小沒(méi)有解.

第一種組合[2x+3<-1，-5x>15，] 解得x < -3.

第二種組合[2x+3<-1，3x-1>6，] 不等式組無(wú)解.

第三種組合[-5x>15，3x-1>6，] 不等式組無(wú)解.

答案不唯一，任選其中一種組合即可.

【評(píng)析】對(duì)方程與不等式的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查，主要涉及方程與不等式的概念、性質(zhì)及解法，基本上是以直接考查為主要方式，各地中考試卷中以填空題或選擇題出現(xiàn)居多，這種考法體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的關(guān)注. 大多數(shù)試卷對(duì)這些考點(diǎn)是單獨(dú)命題，如例2、例4、例5、例8，也有一些試卷將幾個(gè)考點(diǎn)綜合起來(lái)進(jìn)行命題，如例1、例3、例6、例7，既有對(duì)方程與不等式多個(gè)概念、性質(zhì)的考查，也有將概念、性質(zhì)與解法結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查. 各地中考試卷中對(duì)方程與不等式解法的直接考查還體現(xiàn)在計(jì)算題中，這一考查形式與往年相同，為常規(guī)基礎(chǔ)題，難度與教材中的例題和習(xí)題相當(dāng). 由此可見(jiàn)，立足《標(biāo)準(zhǔn)》和教材，關(guān)注核心概念仍是中考命題的重點(diǎn)，對(duì)運(yùn)算技能的考查必然要以基本概念和性質(zhì)的理解為前提，在此基礎(chǔ)上還應(yīng)注意加強(qiáng)對(duì)運(yùn)算過(guò)程的規(guī)范性書寫，以及對(duì)運(yùn)算方法的比較和選擇.

（2）考查基本思想.

例9 （山東·菏澤卷）關(guān)于x的方程（k - 1）2x2 +（2k + 1）x + 1 = 0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ? ?）.

（A）k >[14]，且k ≠ 1 （B）k ≥[14]，且k ≠ 1

（C）k >[14] （D）k ≥[14]

解析：此題的方程是一個(gè)含參數(shù)方程，二次項(xiàng)和一次項(xiàng)的系數(shù)都含有參數(shù)，參數(shù)的取值決定方程的類型，故有必要對(duì)k進(jìn)行分類討論.

當(dāng)k - 1 ≠ 0，即k ≠ 1時(shí)，此方程為一元二次方程.

根據(jù)Δ ≥ 0，解得k ≥[14];

當(dāng)k - 1 = 0，即k = 1時(shí)，此方程為一元一次方程3x + 1 = 0，顯然有解.

綜上，k的取值范圍是k ≥[14].

故選D.

例10 （四川·宜賓卷）若m，n是一元二次方程x2 + 3x - 9 = 0的兩個(gè)根，則m2 + 4m + n的值是（ ? ?）.

（A）4 ? ? ? （B）5

（C）6 （D）12

解析：根據(jù)方程根的定義，得到m2 + 3m = 9.

再利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到m + n = -3.

然后用整體代入的方法，可得m2 + 4m + n = 6.

解答此題的關(guān)鍵是將代數(shù)式m2 + 4m + n轉(zhuǎn)化為式子m2 + 3m與m + n的和，實(shí)現(xiàn)知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化，考查了化歸思想，以及整體代換的思想.

例11 （湖北·鄂州卷）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的思想方法. 如圖1，直線y = 2x - 1與直線y =kx + b（k ≠ 0）相交于點(diǎn)P（2，3）. 根據(jù)圖象可知，關(guān)于x的不等式2x - 1 > kx + b的解集是（ ? ?）.

[圖1][O][x][y][y = kx + b][y = 2x - 1][P（2，3）]

（A）x < 2 （B）x < 3

（C）x > 2 （D）x > 3

解析：此題主要考查數(shù)形結(jié)合思想.

以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)分界，觀察圖象可知，當(dāng)直線y = kx + b（k ≠ 0）在直線y = 2x - 1下方時(shí)，即2x - 1 > kx + b，x的取值范圍是x > 2.

故選C.

例12 （山東·臨沂卷）某工廠生產(chǎn)A，B兩種型號(hào)的掃地機(jī)器人. B型機(jī)器人比A型機(jī)器人每小時(shí)的清掃面積多50%;清掃100 m2所用的時(shí)間A型機(jī)器人比B型機(jī)器人多用40分鐘. 兩種型號(hào)的掃地機(jī)器人每小時(shí)分別清掃多少面積？若設(shè)A型掃地機(jī)器人每小時(shí)清掃面積為x m2，根據(jù)題意可列方程為（ ? ?）.

（A） [1000.5x=100x+23] （B） [1000.5x+23=100x]

（C） [100x+23=1001.5x] （D） [100x=1001.5x+23]

解析：若設(shè)A型掃地機(jī)器人每小時(shí)清掃面積為x m2，

則B型掃地機(jī)器人每小時(shí)清掃面積為（1 + 50%）x m2.

根據(jù)“清掃100 m2所用的時(shí)間A型機(jī)器人比B型機(jī)器人多用40分鐘”可列方程[100x=1001.5x+23].

故選D.

此題主要考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想.

例13 （山西卷）2021年7月1日是建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用一個(gè)方框圈出4個(gè)數(shù)（如圖2），若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65，求這個(gè)最小數(shù)（試用方程知識(shí)解答）.

解析：設(shè)這個(gè)最小數(shù)為x，

則最大數(shù)為（x + 8）.

根據(jù)“最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65”，

可得方程x（x + 8） = 65.

解得x1 = 5，x2 = -13.

取兩個(gè)解中的正值，這個(gè)最小數(shù)為5.

此題考查了數(shù)學(xué)建模思想和方程思想.

【評(píng)析】方程與不等式涉及的數(shù)學(xué)思想主要有兩個(gè)：一個(gè)是由實(shí)際問(wèn)題抽象為方程或不等式這一過(guò)程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)建模思想;另一個(gè)是解方程或解不等式（組）的過(guò)程中蘊(yùn)含的化歸思想. 這兩大數(shù)學(xué)思想是中考命題的考查重點(diǎn)，在各地中考試卷中所占比重較大.例如，例12、例13主要考查的就是數(shù)學(xué)建模的思想，在從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型時(shí)，應(yīng)從分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，再利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型——方程或不等式. 此外，中考試題對(duì)方程與不等式的考查還體現(xiàn)了一些其他數(shù)學(xué)思想. 例如，例9考查分類討論的思想，例10在求代數(shù)式的值時(shí)涉及整體代換和化歸的思想，例11考查數(shù)形結(jié)合的思想. 與上述例題類似的試題在各地中考試卷中出現(xiàn)頻次較高.

（3）考查基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

例14 （浙江·麗水卷）如圖3，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式求值問(wèn)題：

[ ? ?已知實(shí)數(shù)a，b同時(shí)滿足a2 + 2a = b + 2，b2 + 2b = a + 2，求代數(shù)式[ba+ab]的值. ]

<C：＼Users＼Administrator＼Desktop＼中數(shù)1-x＼Image＼a8899ebc7630623efff0a546f8e7fc9.png>[圖3][ ? ?哈哈！a = b，結(jié)果為2][a，b不一定相等哦][小云][小王]

結(jié)合他們的對(duì)話，解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)a = b時(shí)，a的值是______.

（2）當(dāng)a ≠ b時(shí)，代數(shù)式[ba+ab]的值是______.

解析：（1）當(dāng)a = b時(shí)，a2 + 2a = a + 2.

解得a = -2或a = 1.

（2）聯(lián)立方程組[a2+2a=b+2，①b2+2b=a+2，②]

可得a + b = -3，a2 + b2 = 7，ab = 1.

故[ba+ab=b2+a2ab]= 7.

例15 （山西卷）（1）計(jì)算：[-14×-8+-23×][122].

（2）下面是小明同學(xué)解不等式的過(guò)程，認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

[2x-13>3x-22-1].

解：2（2x - 1） > 3（3x - 2） - 6 ……第一步

4x - 2 > 9x - 6 - 6 ……第二步

4x - 9x > -6 - 6 + 2 ……第三步

-5x > -10 ……第四步

x > 2 ……第五步

任務(wù)1：填空：① 以上解題過(guò)程中，第二步是依據(jù) ? ? ? ? ? ? ?（運(yùn)算律）進(jìn)行變形的;

② 第 ? ? 步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;

任務(wù)2：直接寫出該不等式的正確解集.

解析：（1）略.

（2）此題主要考查解一元一次不等式.

第二步是依據(jù)乘法分配律（運(yùn)算律）進(jìn)行變形的.

第五步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是不等式兩邊都除以-5，不等號(hào)的方向沒(méi)有改變.

該不等式的正確解集是x < 2.

例16 （浙江·嘉興卷）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x - 3） = （x - 3）2的過(guò)程如下框：

[小敏：

兩邊同除以[x-3]，得

[3=x-3].

則[x=6]. 小霞：

移項(xiàng)，得

[3x-3-x-32=0].

提取公因式，得

[x-33-x-3=0].

則[x-3=0]或[3-x-3=0].

解得[x1=3]， [x2=0]. ]

你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確，在框內(nèi)打“√”;若錯(cuò)誤，在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過(guò)程.

解析：小敏：×;小霞：×. 正確的解答過(guò)程如下：

移項(xiàng)，得3（x - 3） - （x - 3）2 = 0.

提取公因式，得（x - 3）（3 - x + 3） = 0.

則x - 3 = 0或3 - x + 3 = 0.

解得x1 = 3，x2 = 6.

例17 （湖南·永州卷）若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2 + bx + c = 0的兩個(gè)根，則x1 + x2 =[-ba]，x1·x2 =[ca]. 現(xiàn)已知一元二次方程px2 + 2x + q = 0的兩根分別為m，n.

（1）若m = 2，n = -4，求p，q的值;

（2）若p = 3，q = -1，求m + mn + n的值.

解析：（1）根據(jù)題意，得[2-4=-2p]，[2×-4=qp].

所以p = 1，q = -8.

（2）因?yàn)閇m+n=-2p=-23]，[mn=qp=-13]，

所以[m+mn+n=m+n+mn=-23-13=-1].

【評(píng)析】上述例題通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 例14模擬數(shù)學(xué)課堂場(chǎng)景，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，通過(guò)小云、小王的對(duì)話提示學(xué)生分析問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意思維的嚴(yán)密性，并結(jié)合第（1）小題和第（2）小題幫助學(xué)生理清思路. 例15、例16通過(guò)對(duì)“解答過(guò)程的糾錯(cuò)”考查學(xué)生的思辨思維. 通過(guò)此類問(wèn)題的解答能反映出學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中是否具有良好的糾錯(cuò)習(xí)慣和反思意識(shí). 例17通過(guò)題干信息給出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，再將這一知識(shí)應(yīng)用到不同的問(wèn)題解答中，考查學(xué)生對(duì)文字信息的閱讀理解能力，以及對(duì)知識(shí)的遷移能力. 這些試題的考查形式讓學(xué)生仿佛置身于真實(shí)的數(shù)學(xué)課堂，參與到真正的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)之中，聯(lián)系到以往的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，既考查了學(xué)生的能力、態(tài)度和習(xí)慣，又減輕了考試的壓力.

2. 關(guān)注綜合應(yīng)用，聚焦關(guān)鍵能力

例18 （山東·日照卷）如圖4，在矩形ABCD中，AB = 8 cm，AD = 12 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2 cm / s的速度沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C停止. 同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以v cm / s的速度沿CD邊向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D停止，規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng). 當(dāng)v為 ? ? ? ? 時(shí)，△ABP與△PCQ全等.

[圖4][B][A][C][D][Q][P]

解析：此題主要考查全等三角形的判定及方程思想.

設(shè)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，

△ABP與△PCQ全等可分為兩種情況.

① △ABP ≌ △PCQ.

則需BP = CQ，AB = PC，可得方程2t = 4.

解得t = 2.

進(jìn)而得到v = 2.

② △ABP ≌ △QCP.

則需BA = CQ，PB = PC，可得方程2t = 6.

解得t = 3.

進(jìn)而得到v =[83].

綜上，v = 2或v =[83].

故填2或[83].

例19 （江蘇·揚(yáng)州卷）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y = x2 + bx + c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C.

（1）b = ? ? ? ? ，c = ? ? ? ? ;

（2）若點(diǎn)D在該二次函數(shù)的圖象上，且S△ABD = 2S△ABC，求點(diǎn)D的坐標(biāo);

（3）若點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖象上位于x軸上方的一點(diǎn)，且S△APC = S△APB，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析：此題為二次函數(shù)與幾何的綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，以及圖形與幾何的相關(guān)知識(shí)，在三個(gè)問(wèn)題的解答中都體現(xiàn)了方程思想.

第（1）小題是應(yīng)用方程思想求解函數(shù)解析式，可得b = -2，c = -3.

第（2）小題先求出△ABC的面積，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（m，m2 - 2m - 3），再根據(jù)S△ABD = 2S△ABC列出方程，求得m = 1 +[10]或m = 1 -[10]. 進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（1 +[10]，6）或D（1 -[10]，6）.

第（3）小題分兩種情況：點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)，再結(jié)合平行線之間的距離，可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（4，5）.

【評(píng)析】數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)邏輯性決定了知識(shí)之間具有網(wǎng)狀聯(lián)系. 近年來(lái)各地中考常在知識(shí)的交會(huì)點(diǎn)處命題，考查學(xué)生理性思維的深度和廣度，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決問(wèn)題的素養(yǎng)與能力. 例如，例18是方程思想在幾何中的應(yīng)用，例19是方程思想在函數(shù)中的應(yīng)用. 類似地，還有方程思想在統(tǒng)計(jì)、概率中的應(yīng)用等在各地中考試題中也多次出現(xiàn). 由此可見(jiàn)，在日常教學(xué)中尤其是中考的復(fù)習(xí)備考中要注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，多設(shè)計(jì)綜合性問(wèn)題，拓寬學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

3. 創(chuàng)新問(wèn)題形式，發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)

例20 （陜西卷）幻方，最早源于我國(guó)，古人稱之為縱橫圖. 如圖6所示的幻方中，各行、各列及各條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和均相等，則圖中a的值為 ? ? ?.

解析：此題以幻方為問(wèn)題情境，考查一元一次方程的應(yīng)用及求解.

根據(jù)“各行、各列及各條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和均相等”，

可列方程-1 - 6 + 1 = 0 + a - 4，

解得a = -2.

故填-2.

例21 （湖北·十堰卷）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義一種運(yùn)算：[a?b=a2+b2-ab]，若[x?x-1=3]，則x的值為_(kāi)_______.

解析：此題為新定義題.

根據(jù)新定義的運(yùn)算規(guī)則，將方程轉(zhuǎn)化為常規(guī)方程x2 + （x - 1）2 - x（x - 1） = 3，

整理，得x2 - x - 2 = 0.

解得x1 = -1，x2 = 2.

故答案為-1或2.

例22 （四川·南充卷）已知關(guān)于x的一元二次方程x2 - （2k + 1）x + k2 + k = 0.

（1）求證：無(wú)論k取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且k與[x1x2]都為整數(shù)，求k所有可能的值.

解析：此題考查一元二次方程根的判別式、解一元二次方程.

第（1）小題為常規(guī)題，可得Δ = 1 > 0.

進(jìn)而可證出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

第（2）小題是一道探究題，需求出k的所有可能的整數(shù)值.

解答此題的關(guān)鍵是將[x1x2]轉(zhuǎn)化為用k表示，轉(zhuǎn)化的方法是求解方程，得兩根分別為k和k + 1.

則[x1x2=1+1k]或[x1x2=1-1k+1].

根據(jù)“k與[x1x2]都為整數(shù)”，

可得整數(shù)k的所有可能值為±1，0，-2.

例23 （臺(tái)灣卷）碳足跡標(biāo)簽是一種碳排放量的標(biāo)示方式，讓大眾了解某一產(chǎn)品或服務(wù)所產(chǎn)生的碳排放量多寡，如圖7所示.碳足跡標(biāo)簽的數(shù)據(jù)標(biāo)示有其

規(guī)定，以碳排放量大于20公克，且不超過(guò)40公克為例，此范圍內(nèi)的碳足跡數(shù)據(jù)標(biāo)示只有20，22，24，…，38，40公克等11個(gè)偶數(shù);碳足跡數(shù)據(jù)標(biāo)示決定于碳排放量與這11個(gè)偶數(shù)之中的哪一個(gè)差距最小，兩者對(duì)應(yīng)標(biāo)示的范例如表1所示.

根據(jù)上述資訊，回答下列問(wèn)題，并詳細(xì)解釋或完整寫出你的解題過(guò)程.

（1）若有一個(gè)產(chǎn)品的碳足跡數(shù)據(jù)標(biāo)示為38公克，則它可能的碳排放量之最小值與最大值分別為多少？

（2）承（1），當(dāng)此產(chǎn)品的碳排放量減少為原本的90%時(shí)，試求出此產(chǎn)品碳足跡數(shù)據(jù)標(biāo)示的所有可能情形.

解析：此題是一道開(kāi)放性試題，考查了不等式的相關(guān)知識(shí)，將現(xiàn)實(shí)生活中的情境與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來(lái)，需要理解題目所給的信息，并分析出各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系.

第（1）小題根據(jù)題干中關(guān)鍵語(yǔ)句“碳足跡數(shù)據(jù)標(biāo)示決定于碳排放量與這11個(gè)偶數(shù)之中的哪一個(gè)差距最小”，可得碳排放量之最小值與最大值分別為37.0公克和39.0公克.

第（2）小題由第（1）小題的最大值和最小值乘以90%，分別得到33.3公克和35.1公克. 進(jìn)而求出此產(chǎn)品碳足跡數(shù)據(jù)標(biāo)示的所有可能情形為34公克，36公克.

【評(píng)析】上述試題的設(shè)計(jì)不同于常規(guī)試題，它們大多創(chuàng)設(shè)一定情境，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，問(wèn)題的情境可能是數(shù)學(xué)內(nèi)部情境，如例20、例21、例22;也可能是實(shí)際生活情境，如例23. 此外，例22、例23開(kāi)放式的問(wèn)題設(shè)計(jì)打破了傳統(tǒng)命題思維的束縛，需要學(xué)生自己探索解決問(wèn)題的方法，相比封閉式問(wèn)題而言，對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)科能力有更高的要求.解答此類題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析題目的文字信息，從問(wèn)題情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)關(guān)鍵語(yǔ)句建立數(shù)學(xué)模型，然后再求解即可.

二、解法分析

中考命題一般注重考查初中數(shù)學(xué)主干知識(shí)、核心內(nèi)容. 在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的同時(shí)，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)科素養(yǎng)的滲透與提升. 2021年中考數(shù)學(xué)方程與不等式的命題很好地遵循了這一原則，這就要求教師在中考復(fù)習(xí)中要注重基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò);立足基本技能的訓(xùn)練，凸顯解題技能的培養(yǎng);著眼數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，強(qiáng)化綜合運(yùn)用的能力.

1. 夯實(shí)基礎(chǔ)，強(qiáng)化技能

例24 （廣東卷）二元一次方程組[x+2y=-2，2x+y=2] 的解為 ? ? ? .

解：[x+2y=-2 ，①2x+y=2 ? . ? ? ?②]

（方法1）由①，得[x=-2-2y]. ③

將③代入②，解得[y=-2].

把[y=-2]代入③，解得[x=2].

則方程組的解為[x=2 ，y=-2. ]

（方法2）由②，得[y=2-2x]. ③

將③代入①，解得[x=2].

把[x=2]代入③，解得[y=-2].

則方程組的解為[x=2， y=-2 .]

（方法3）① × 2，得[2x+4y=-4]. ③

③ - ②，解得[y=-2].

把[y=-2]代入①，解得[x=2].

則方程組的解為[x=2， y=-2. ]

（方法4）② × 2，得[4x+2y=4]. ③

③ - ①，解得[x=2].

把[x=2]代入②，解得[y=-2].

則方程組的解為[x=2， y=-2. ]

【評(píng)析】此題是中考試題中較為常見(jiàn)的基礎(chǔ)計(jì)算題，解二元一次方程組的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用“代入消元”或“加減消元”的方法將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解. 數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是中考重點(diǎn)考查的能力之一，在日常教學(xué)中，教師可以通過(guò)“一題多法”的訓(xùn)練，幫助學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上提高運(yùn)算能力.

例25 （重慶A卷）某工廠有甲、乙兩個(gè)車間，甲車間生產(chǎn)A產(chǎn)品，乙車間生產(chǎn)B產(chǎn)品，去年兩個(gè)車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量相同，且全部售出. 已知A產(chǎn)品的銷售單價(jià)比B產(chǎn)品的銷售單價(jià)高100元，1件A產(chǎn)品與1件B產(chǎn)品售價(jià)和為500元.

（1）A，B兩種產(chǎn)品的銷售單價(jià)分別是多少？

（2）隨著5G時(shí)代的到來(lái)，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)入了快速發(fā)展時(shí)期. 今年，該工廠計(jì)劃依托工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)將乙車間改造為專供用戶定制B產(chǎn)品的生產(chǎn)車間. 預(yù)計(jì)A產(chǎn)品在售價(jià)不變的情況下產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上增加a%;B產(chǎn)品產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上減少a%，但B產(chǎn)品的銷售單價(jià)將提高3a%. 則今年A，B兩種產(chǎn)品全部售出后總銷售額將在去年的基礎(chǔ)上增加[2925a%.] 求a的值.

解析：（1）設(shè)B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為x元，則A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為（x + 100）元.

依題意，得x + 100 + x = 500.

解得x = 200.

所以x + 100 = 300.

答：A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為300元，B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為200元.

（2）設(shè)去年每個(gè)車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量為t件，

依題意，得300（1 + a%）t + 200（1 + 3a%）（1 - a%）t = 500t[1+2925a%].

設(shè)a% = m，則原方程可化簡(jiǎn)為5m2 - m = 0.

解得m1 =[15]，m2 = 0（不合題意，舍去）.

所以a = 20.

答：a的值為20.

【評(píng)析】此題考查一元一次方程和一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，其中第（2）小題涉及增長(zhǎng)率的計(jì)算，所列方程形式復(fù)雜，計(jì)算難度較大.近年來(lái)，各地中考試題都出現(xiàn)了類似的應(yīng)用題，由于未知數(shù)帶有百分號(hào)，化簡(jiǎn)時(shí)有一定的難度，因此求解比較困難.解此類方程的關(guān)鍵是先將“a%”進(jìn)行換元，再將方程化簡(jiǎn)，求解換元之后的方程，進(jìn)而求出a的值.在中考復(fù)習(xí)時(shí)，可以讓學(xué)生進(jìn)行一些相應(yīng)的訓(xùn)練，掌握化簡(jiǎn)方程的方法，提高運(yùn)算能力.

2. 著眼本質(zhì)，理解概念

例26 （四川·雅安卷）若關(guān)于x的分式方程[2-1-kx-2=12-x]的解是正數(shù)，則k的取值范圍是 ? .

解析：原方程去分母，得[2x-2-1-k=-1].

解得[x=4-k2].

因?yàn)榉质椒匠痰慕鉃檎龜?shù)，且x ≠ 2，

所以[4-k2>0]，且[4-k2≠2].

解得k < 4，且k ≠ 0.

故答案為k < 4，且k ≠ 0.

【評(píng)析】此題主要考查解分式方程，以及分式方程的解的概念，解題時(shí)需要注意兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是解分式方程就是運(yùn)用化歸思想，通過(guò)去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)求解;二是求出整式方程的解后，一定要檢驗(yàn)最簡(jiǎn)公分母是否為0.在實(shí)際解題時(shí)，學(xué)生往往會(huì)忘記驗(yàn)根，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.

例27 （湖北·荊門卷）已知關(guān)于x的一元二次方程x2 - 6x + 2m - 1 = 0有x1，x2兩實(shí)數(shù)根.

（1）若x1 = 1，求x2及m的值;

（2）是否存在實(shí)數(shù)m，滿足（x1 - 1）（x2 - 1） =[6m-5]？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值;若不存在，說(shuō)明理由.

解析：（1）根據(jù)題意，得Δ = （-6）2 - 4（2m - 1） ≥ 0.

解得m ≤ 5.

由根與系數(shù)關(guān)系，可得x1 + x2 = 6，x1x2 = 2m - 1.

因?yàn)閤1 = 1，所以1 + x2 = 6，x2 = 2m - 1.

解得x2 = 5，m = 3.

（2）存在.

因?yàn)椋▁1 - 1）（x2 - 1） =[6m-5]，

所以x1x2 - （x1 + x2） + 1 =[6m-5]，

即2m - 1 - 6 + 1 =[6m-5].

整理，得m2 - 8m + 12 = 0.

解得m1 = 2，m2 = 6.

經(jīng)檢驗(yàn)，m1 = 2，m2 = 6是原方程的解.

又因?yàn)閙 ≤ 5，且m ≠ 5，所以m = 2.

【評(píng)析】此題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，還綜合一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概念，以及分式方程的解的概念，是多個(gè)概念的綜合應(yīng)用，在解題時(shí)應(yīng)深刻認(rèn)識(shí)各個(gè)概念的內(nèi)涵，尤其是概念適用的條件. 例如，在應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，必須基于方程有實(shí)數(shù)根的前提條件，在求出參數(shù)m的值后，應(yīng)綜合考慮m需滿足的所有限定條件，既要滿足第（1）小題中所求出的m的范圍，還應(yīng)滿足第（2）小題中的分式方程的分母不能為0，學(xué)生只有在領(lǐng)悟概念本質(zhì)的基礎(chǔ)上才能正確解答.

例28 （北京卷）已知關(guān)于x的一元二次方程x2 - 4mx + 3m2 = 0.

（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

（2）若m > 0，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，求m的值.

解析：（1）因?yàn)棣?= （-4m）2 - 4 × 1 × 3m2 =4m2 ≥ 0，

所以該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（2）（方法1）因?yàn)閤2 - 4mx + 3m2 = 0，

即（x - m）（x - 3m） = 0，

所以x1 = m，x2 = 3m.

因?yàn)閙 > 0，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，

所以3m - m = 2.

解得m = 1.

（方法2）因?yàn)樵摲匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，

不妨設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，且x1 > x2，

所以x1 - x2 = 2.

所以（x1 - x2）2 = 4.

所以（x1 + x2）2 - 4x1x2 = 4.

因?yàn)閤1 + x2 = 4m，x1x2 = 3m2，

所以16m2 - 12m2 = 4.

解得m = 1或m = -1.

因?yàn)閙 > 0，所以m = 1.

【評(píng)析】此題第（2）小題考查的是根據(jù)方程兩根的數(shù)量關(guān)系求參數(shù)m的值，方法2是大多數(shù)學(xué)生容易想到的方法，運(yùn)用等式（x1 - x2）2 = （x1 + x2）2 - 4x1x2將方程兩根的差轉(zhuǎn)化為兩根之和及兩根之積，再運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解. 實(shí)際上，此題用因式分解的方法求出方程的根，直接代入條件之中，同樣是用化歸的方法，但計(jì)算更為簡(jiǎn)便. 可見(jiàn)，在解題時(shí)應(yīng)避免形成固定的思維模式，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用多種方法解題，通過(guò)對(duì)比感受不同解法的特點(diǎn)，在反思提煉中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生更深的理解.

三、解法賞析

中考試題除了具備考查、選拔的功能外，還為學(xué)生提供了展示思維與能力的平臺(tái). 2021年全國(guó)各地中考試題在重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同時(shí)，關(guān)注學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，在試題命制上不斷推陳出新，很好地體現(xiàn)了能力立意、素養(yǎng)導(dǎo)向的科學(xué)評(píng)價(jià)觀.

例29 （重慶A卷）某銷售商五月份銷售A，B，C三種飲料的數(shù)量之比為3∶2∶4，A，B，C三種飲料的單價(jià)之比為1∶2∶1. 六月份該銷售商加大了宣傳力度，并根據(jù)季節(jié)對(duì)三種飲料的價(jià)格做了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，預(yù)計(jì)六月份三種飲料的銷售總額將比五月份有所增加，A飲料增加的銷售額占六月份銷售總額的[115]，B，C飲料增加的銷售額之比為2∶1. 六月份A飲料單價(jià)上調(diào)20%，且A飲料的銷售額與B飲料的銷售額之比為2∶3，則A飲料五月份的銷售數(shù)量與六月份預(yù)計(jì)的銷售數(shù)量之比為_(kāi)_____.

解析：由題意，可設(shè)五月份A，B，C三種飲料的銷售量為3a，2a，4a，單價(jià)為b，2b，b，六月份A的銷售量為x，

所以A飲料六月份銷售額為b（1 + 20%）x = 1.2bx，

B飲料六月份銷售額為1.2bx ÷ 2 × 3 = 1.8bx.

所以A，B飲料增加的銷售額分別為1.2bx - 3ab，1.8bx - 4ab.

又因?yàn)锽，C飲料增加的銷售額之比為2∶1，

所以C飲料增加的銷售額為（1.8bx - 4ab） ÷ 2 = 0.9bx - 2ab.

所以C飲料六月份銷售額為0.9bx - 2ab + 4ab =0.9bx + 2ab.

因?yàn)锳飲料增加的銷售額占六月份銷售總額的[115]，

所以（1.2bx - 3ab） ÷[115]= 1.2bx + 1.8bx + 0.9bx + 2ab.

所以18bx - 45ab = 3.9bx + 2ab.

因?yàn)閎 ≠ 0，所以18x - 45a = 3.9x + 2a.

化簡(jiǎn)，得14.1x = 47a.

所以[ax=310].

則[3ax=910]，

即A飲料五月份的銷售數(shù)量與六月份預(yù)計(jì)的銷售數(shù)量之比為9∶10.

【評(píng)析】此題考查的是二元一次方程的應(yīng)用，條件中沒(méi)有給出具體的數(shù)量，而是給出若干個(gè)數(shù)量關(guān)系. 解題的關(guān)鍵就在于選取合適的量設(shè)未知數(shù)，然后用代數(shù)式表示出所有的量，再列出方程進(jìn)行計(jì)算. 此題解答的亮點(diǎn)在于根據(jù)三種飲料的數(shù)量比、單價(jià)比，將五月份A，B，C三種飲料的銷售數(shù)量和單價(jià)分別表示為3a，2a，4a;b，2b，b. 再設(shè)六月份A的銷售量為x，對(duì)這些量設(shè)而不求，而是運(yùn)用化歸的思想消去參數(shù)b，再運(yùn)用整體思想求出[ax]的值. 此題很好地考查了學(xué)生在建立方程模型時(shí)是否具有必備的符號(hào)意識(shí)，以及能否熟練進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算.

例30 （湖南·衡陽(yáng)卷）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點(diǎn)為“雁點(diǎn)”. 例如，（1，1），（2 021，2 021），…都是“雁點(diǎn)”.

（1）求函數(shù)y =[4x]圖象上的“雁點(diǎn)”坐標(biāo).

（2）若拋物線y = ax2 + 5x + c上有且只有一個(gè)“雁點(diǎn)”E，該拋物線與x軸交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）. 當(dāng)a > 1時(shí)，① 求c的取值范圍;② 求∠EMN的度數(shù).

（3）略.

解析：（1）由題意，得x =[4x]. 解得x = ±2.

所以y = ±2.

故“雁點(diǎn)”坐標(biāo)為（2，2）或（-2，-2）.

（2）① 因?yàn)閽佄锞€y = ax2 + 5x + c上有且只有一個(gè)“雁點(diǎn)”E，

所以ax2 + 5x + c = x.

所以Δ = 16 - 4ac = 0，即ac = 4.

因?yàn)閍 > 1，故0 < c < 4.

② 由ac = 4，得c =[4a].

代入方程ax2 + 5x + c = 0中，解得x =[-4a]或x =[-1a].

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為[-4a，0].

再將c =[4a]代入方程ax2 + 5x + c = x中，

解得x =[-2a].

則點(diǎn)E的坐標(biāo)為[-2a，-2a].

過(guò)點(diǎn)E作EH⊥Ox于點(diǎn)H（如圖8），

則HE =[2a]，MH =[2a]= HE.

故∠EMN的度數(shù)為45°.

[圖8][E][M][H][O][N][x][y]

【評(píng)析】此題是一道二次函數(shù)壓軸題，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題目所給的條件建立方程模型求解，充分體現(xiàn)了方程思想在解答函數(shù)問(wèn)題時(shí)的重要性. 此題的亮點(diǎn)在于構(gòu)造了一個(gè)與“雁點(diǎn)”有關(guān)的問(wèn)題情境，解答時(shí)先將“雁點(diǎn)”的坐標(biāo)所具有的特殊關(guān)系代入到函數(shù)關(guān)系式中，即可得到一元二次方程，再根據(jù)“拋物線y = ax2 + 5x + c上有且只有一個(gè)‘雁點(diǎn)’E”，得到一元二次方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，從而得到a，c的關(guān)系式. 通過(guò)此題的解答，能很好地考查出學(xué)生在方程的學(xué)習(xí)中是否真正掌握了建模的思想，能否靈活運(yùn)用方程思想解答一些數(shù)學(xué)綜合題.

四、思考啟示

方程與不等式在初中代數(shù)中具有承上啟下的作用，既是數(shù)與式的延續(xù)，又是后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)與方法的基礎(chǔ)，也是中考的重要考查內(nèi)容，所以在平時(shí)的教學(xué)與復(fù)習(xí)中，應(yīng)該理解教材、《標(biāo)準(zhǔn)》，夯基礎(chǔ)構(gòu)網(wǎng)絡(luò);關(guān)注應(yīng)用創(chuàng)新，重思想提素養(yǎng)，讓方程與不等式的“橋梁”作用得到真正體現(xiàn).

1. 理解教材、《標(biāo)準(zhǔn)》，夯基礎(chǔ)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)

《標(biāo)準(zhǔn)》是中考命題的依據(jù)與“航向標(biāo)”，教材是學(xué)生獲取知識(shí)的“根”，也是最好的題“源”. 教師只有認(rèn)真研讀教材與《標(biāo)準(zhǔn)》，重視教材上例題、習(xí)題的挖掘與變式，才能明確目標(biāo)，把握方向，掌控深度與難度. 更有利于學(xué)生夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，熟悉基本方法，以不變應(yīng)萬(wàn)變的能力迎接學(xué)習(xí)與挑戰(zhàn).

2. 關(guān)注應(yīng)用創(chuàng)新，重思想提素養(yǎng)

數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活.《標(biāo)準(zhǔn)》中指出，有意識(shí)地利用方程與不等式模型解釋現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題;認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量相關(guān)的問(wèn)題，可以抽象成方程與不等式問(wèn)題，在用方程與不等式的思想方法解決問(wèn)題的過(guò)程中積累發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)方程與不等式的工具性作用，發(fā)展學(xué)生的思維能力、實(shí)踐創(chuàng)新能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，達(dá)成學(xué)以致用、提升素養(yǎng)的目的.

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