張博聞， 王學(xué)濱，2， 董 偉

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 阜新 123000；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 計(jì)算力學(xué)研究所，遼寧 阜新 123000)

1 引 言

剪切帶是狹窄的具有高應(yīng)變梯度的帶狀區(qū)域，是材料破壞的一種重要前兆。剪切帶幾乎可以在各種材料破壞過(guò)程中被觀測(cè)到，例如，巖土、金屬、陶瓷、復(fù)合材料和合金等。對(duì)剪切帶的研究可以深化了解材料的破壞過(guò)程，有助于揭示材料變形破壞機(jī)理。目前，數(shù)字圖像相關(guān)(digital image correlation，DIC)方法已成為剪切帶研究的最經(jīng)濟(jì)有效的方法[1～4]。剪切帶寬度是剪切帶的重要特征之一，其準(zhǔn)確測(cè)量一直得到密切關(guān)注。Nübel K[5]利用高斯擬合方法測(cè)量了剪切帶寬度，認(rèn)為剪切帶寬度是正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)偏差的2倍。王學(xué)濱等[6]提出了基于背景值方法的剪切帶寬度測(cè)量方法，對(duì)黏土的剪切帶寬度隨縱向應(yīng)變的演化演變規(guī)律進(jìn)行了測(cè)量，并認(rèn)為Nübel的高斯擬合方法不能準(zhǔn)確測(cè)量含應(yīng)變梯度的虛擬剪切帶和真實(shí)剪切帶的寬度。事實(shí)上，無(wú)論采用何種剪切帶寬度測(cè)量方法，要得到比較準(zhǔn)確的剪切帶寬度，其根本在于準(zhǔn)確測(cè)量剪切帶邊界附近的應(yīng)變。在利用DIC方法測(cè)量剪切帶的應(yīng)變時(shí)會(huì)存在較大的誤差，為此，學(xué)者們對(duì)DIC方法進(jìn)行了各種修正[7～11]。其中，有代表性的方法是Poissant J等[10]提出的子區(qū)分割方法。在該方法中，利用對(duì)非連續(xù)變形位置線性擬合出的分割線將樣本子區(qū)分割為主、副2個(gè)子代子區(qū)，以主子區(qū)的位移和應(yīng)變作為結(jié)果，從而改善了裂紋附近的結(jié)果，但對(duì)剪切帶邊界附近的應(yīng)變計(jì)算誤差較大。為此，杜亞志等[11]提出了一種修正的子區(qū)分割方法。在該方法中，利用過(guò)子區(qū)中心點(diǎn)且傾角為剪切帶傾角的分割線將子區(qū)分割成2個(gè)子代子區(qū)，將相關(guān)性好的子代子區(qū)的位移作為結(jié)果，從而改善了剪切帶附近位移的結(jié)果。但是，在多條剪切帶相交區(qū)域，由于準(zhǔn)確測(cè)量剪切帶傾角較為困難，從而難以確定該方法的子區(qū)分割線。這2種方法的實(shí)質(zhì)都是將子區(qū)分割成不同形狀的區(qū)域，計(jì)算過(guò)程相對(duì)較復(fù)雜。

本文提出了環(huán)繞測(cè)點(diǎn)子區(qū)分割一階DIC方法，以提高剪切帶應(yīng)變測(cè)量精度，通過(guò)虛擬剪切帶寬度測(cè)量驗(yàn)證了提出方法的有效性。在剪切帶寬度測(cè)量中，將基于本文方法的結(jié)果與基于粒子群優(yōu)化和Newton-Raphson迭代的粗-細(xì)方法的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,并從理論上分析了剪切帶寬度的測(cè)量誤差。

2 環(huán)繞測(cè)點(diǎn)子區(qū)分割一階DIC方法

2.1 DIC方法的基本原理

圖1 DIC方法的基本原理

樣本子區(qū)與目標(biāo)子區(qū)的相關(guān)性用相關(guān)函數(shù)來(lái)表示。零均值歸一化互相關(guān)函數(shù)CZNCC對(duì)圖像灰度的波動(dòng)和線性變化不敏感，被廣泛使用[12]。CZNCC可以表示為：

(1)

子區(qū)內(nèi)任意一點(diǎn)的位移表達(dá)式稱為形函數(shù)(或位移模式)，常用的一階形函數(shù)為：

(2)

在傳統(tǒng)DIC方法中，當(dāng)測(cè)點(diǎn)遠(yuǎn)離剪切帶時(shí)，一階形函數(shù)可以較準(zhǔn)確描述子區(qū)變形。但是，當(dāng)測(cè)點(diǎn)位于剪切帶邊界附近時(shí)，由于剪切帶內(nèi)、外的變形差異較大，子區(qū)可能覆蓋兩種及以上的變形，從而影響計(jì)算精度。

2.2 環(huán)繞測(cè)點(diǎn)子區(qū)分割一階DIC方法

鑒于傳統(tǒng)DIC方法在剪切帶邊界附近測(cè)量精度較低和現(xiàn)有子區(qū)分割方法分割線不易確定的缺點(diǎn)[10～11]，本文提出了環(huán)繞測(cè)點(diǎn)子區(qū)分割一階DIC方法(改進(jìn)子區(qū)分割方法)。該方法的基本原理是通過(guò)對(duì)選定測(cè)點(diǎn)(相關(guān)性不好)的原始子區(qū)進(jìn)行有限分割，保證后代子區(qū)環(huán)繞在測(cè)點(diǎn)周?chē)?，使一些后代子區(qū)位于簡(jiǎn)單變形區(qū)域，從而可以搜索到較好結(jié)果，并將其中的最佳結(jié)果作為選中測(cè)點(diǎn)的結(jié)果。其具體流程圖如圖2所示。

圖2 改進(jìn)子區(qū)分割方法的計(jì)算流程圖

1)確定第0代子區(qū)。在傳統(tǒng)DIC方法中，剪切帶邊界附近及帶內(nèi)測(cè)點(diǎn)的CZNCC較小(相關(guān)性不好)。因此，根據(jù)CZNCC的總體分布和子區(qū)尺寸，選取合適的閾值Cst。若CZNCC

2)分割子區(qū)并計(jì)算下一代子區(qū)的位移。將子區(qū)的水平和垂直對(duì)稱線作為子區(qū)分割線，將第0代子區(qū)分割為4個(gè)第1代的后代子區(qū)，將選中測(cè)點(diǎn)的位移取整后作為變形初值，利用擬牛頓方法重新計(jì)算位移。一旦滿足CZNCC≥Cst，則將最大CZNCC對(duì)應(yīng)的位移作為選中測(cè)點(diǎn)的最終位移。否則，對(duì)后代子區(qū)繼續(xù)分割，選擇分割后子區(qū)中包含測(cè)點(diǎn)的4個(gè)，以構(gòu)造第2代后代子區(qū)，計(jì)算并進(jìn)行上述比較，以此類(lèi)推。若始終沒(méi)有滿足上述條件，則將最終子區(qū)中最大CZNCC對(duì)應(yīng)的位移作為選中測(cè)點(diǎn)的最終位移。應(yīng)當(dāng)指出，代數(shù)越大，后代子區(qū)的尺寸越?。贿x取的最大分割次數(shù)N不應(yīng)太大，否則，分割后的子區(qū)包含的灰度信息會(huì)過(guò)少，導(dǎo)致相關(guān)搜索困難。經(jīng)驗(yàn)表明，最終子區(qū)尺寸應(yīng)大于3×3像素。此外，在分割后，各代子區(qū)擁有共同的中心點(diǎn)，這可以確保選中測(cè)點(diǎn)所在行、列的灰度信息參與各代子區(qū)的計(jì)算。

3)對(duì)于下一個(gè)測(cè)點(diǎn)，若CZNCC

3 虛擬剪切帶的制作及寬度測(cè)量

3.1 虛擬剪切帶的制作

根據(jù)Zhou方法[11]制作模擬散斑圖(圖3(a))，其尺寸為256×512pixel，散斑數(shù)量為5 000，散斑半徑為3pixel，并建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系。以圖3(a)為參考圖像，根據(jù)塑性梯度理論[13]，利用仿射變換技術(shù)制作含應(yīng)變梯度的水平虛擬剪切帶的圖像(圖3(b))。

圖3 參考圖像與含水平虛擬剪切帶的圖像

在剪切帶外，塑性剪切應(yīng)變?chǔ)肞(y)≡0；在剪切帶內(nèi)，其理論值為：

(3)

在制作剪切帶的過(guò)程中，只允許剪切帶發(fā)生簡(jiǎn)單剪切變形。此外，由于剪切帶內(nèi)只有塑性剪切應(yīng)變，而無(wú)彈性剪切應(yīng)變，所以，面內(nèi)剪切應(yīng)變?chǔ)脁y的理論值可以表示為：

γxy=γP(y)

(4)

3.2 虛擬剪切帶寬度測(cè)量

選取基于粒子群優(yōu)化和Newton-Raphson迭代的粗-細(xì)方法(粗-細(xì)方法)與改進(jìn)子區(qū)分割方法進(jìn)行對(duì)比，分別計(jì)算圖3(a)變形至圖3(b)時(shí)的位移，計(jì)算區(qū)域如圖3(a)所示。在計(jì)算時(shí)，子區(qū)尺寸和測(cè)點(diǎn)間隔是粗-細(xì)方法和改進(jìn)子區(qū)分割方法共有的計(jì)算參數(shù)，Cst和N為后者獨(dú)有的計(jì)算參數(shù)。由于最小一乘擬合方法[14]可以較好抑制計(jì)算窗口內(nèi)“異常值”的影響，從而可以較準(zhǔn)確獲得剪切帶邊界附近的非均勻應(yīng)變。因此，本文利用最小一乘擬合方法分別獲得γxy，其中，擬合窗口尺寸為5×5個(gè)測(cè)點(diǎn)。由于剪切帶外的γxy理論值為0，因此剪切帶實(shí)測(cè)寬度w應(yīng)該為測(cè)線上γxy>0區(qū)域的寬度?？紤]到應(yīng)變測(cè)量的誤差[15]，將γxy>0.001的區(qū)域認(rèn)為是剪切帶區(qū)域。

圖4 不同子區(qū)尺寸時(shí)2種方法的分布

由圖4可以發(fā)現(xiàn)，隨著子區(qū)尺寸的增加，粗-細(xì)方法的w逐漸變大；改進(jìn)子區(qū)分割法的w變化不大，比粗-細(xì)法的更接近w0。當(dāng)子區(qū)尺寸由31×31pixel增加到61×61pixel時(shí)，粗-細(xì)方法的w的相對(duì)誤差分別為66.7%、88.9%、111.1%和133.3%，而改進(jìn)子區(qū)分割方法的分別為11.1%、22.2%、0.0%和22.2%。由此可見(jiàn)，子區(qū)尺寸對(duì)粗-細(xì)方法的w影響較大，而對(duì)改進(jìn)子區(qū)分割方法的影響較小。為了研究測(cè)點(diǎn)間隔對(duì)w的影響，分別選擇測(cè)點(diǎn)間隔為2和3pixel，子區(qū)尺寸為61×61pixel，Cst=0.999，N=1進(jìn)行計(jì)算。

圖5 不同測(cè)點(diǎn)間隔時(shí)兩種方法的分布

圖6 不同Cst時(shí)改進(jìn)子區(qū)分割方法的分布

由圖6可以發(fā)現(xiàn)，隨著Cst的增加，改進(jìn)子區(qū)分割方法的w變化不大，當(dāng)Cst分別為0.9、0.99和0.999 9時(shí)，改進(jìn)子區(qū)分割方法的w均為44pixel，w的相對(duì)誤差均為22.2%。由此可見(jiàn)，Cst對(duì)w的影響可以忽略不計(jì)。

圖7 不同N及子區(qū)尺寸時(shí)改進(jìn)子區(qū)分割方法的分布

由圖7可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)子區(qū)尺寸確定時(shí)，隨著N的增加，改進(jìn)子區(qū)分割方法的w逐漸變大；當(dāng)子區(qū)尺寸較大時(shí)，與子區(qū)較小時(shí)的情況相比，較大N的結(jié)果更精確。例如，當(dāng)子區(qū)尺寸為41×41pixel時(shí)，N=1、2和3時(shí)的w分別為44、60和68pixel，w的相對(duì)誤差分別為22.2%、66.7%和88.9%，顯然，N=1時(shí)的最接近理論值；當(dāng)子區(qū)尺寸為61×61pixel時(shí)，N=1、2和3時(shí)的w分別為44、52和84pixel，w的相對(duì)誤差分別為22.2%、44.4%和133.3%，顯然，N=1時(shí)的最接近理論值；當(dāng)子區(qū)尺寸為81×81pixel時(shí)，N=1、2 和3時(shí)的w分別為32、44和80pixel，w的相對(duì)誤差分別為-11.1%、22.2%和122.2%，顯然，N=1時(shí)的w相對(duì)誤差限最小且w誤差為負(fù)，而理論上使用DIC方法和最小一乘擬合方法會(huì)高估剪切帶寬度(具體分析見(jiàn)第4節(jié))，w誤差不應(yīng)小于0，所以，N=2時(shí)的w更精確。綜上所述，N對(duì)w的影響較大，當(dāng)子區(qū)尺寸適中時(shí)，例如，當(dāng)子區(qū)尺寸為41×41或61×61pixel時(shí)，選擇N=1即可；當(dāng)子區(qū)尺寸較大時(shí)，例如，當(dāng)子區(qū)尺寸為81×81pixel時(shí)，選擇N=2即可。

4 剪切帶實(shí)測(cè)寬度理論誤差分析

4.1 測(cè)點(diǎn)不同位置時(shí)粗-細(xì)方法的剪切帶實(shí)測(cè)寬度理論誤差分析

剪切帶一般較窄，而子區(qū)尺寸一般為幾十pixel。所以，通常剪切帶寬度小于子區(qū)尺寸。當(dāng)測(cè)點(diǎn)在剪切帶邊界附近時(shí)，子區(qū)會(huì)包含剪切帶和帶外區(qū)域。對(duì)于下列情形，即測(cè)點(diǎn)在剪切帶外(圖8(a))和測(cè)點(diǎn)在剪切帶內(nèi)(圖8(b))，分別進(jìn)行討論。對(duì)于測(cè)點(diǎn)在剪切帶外的情形，和帶內(nèi)的γxy相比，測(cè)點(diǎn)的本應(yīng)較低。對(duì)于測(cè)點(diǎn)在剪切帶內(nèi)的情形，和帶外的γxy相比，測(cè)點(diǎn)的本應(yīng)較高。但是，在測(cè)量時(shí)，測(cè)點(diǎn)的γxy是子區(qū)的γxy的平均效果。對(duì)于測(cè)點(diǎn)在剪切帶外的情形，測(cè)點(diǎn)的γxy將被高估，而對(duì)于測(cè)點(diǎn)在剪切帶內(nèi)的情形，測(cè)點(diǎn)的γxy將被低估。

圖8 測(cè)點(diǎn)與剪切帶的相對(duì)位置

4.2 不同子區(qū)尺寸及測(cè)點(diǎn)間隔時(shí)的剪切帶實(shí)測(cè)寬度理論誤差分析

設(shè)子區(qū)尺寸為(2M+1)×(2M+1)pixel，以剪切帶上邊界附近的子區(qū)為例進(jìn)行分析。設(shè)子區(qū)中心點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A垂直于剪切帶建立y軸，向下為正，y軸與剪切帶上邊界交于B點(diǎn)(圖9)。

對(duì)于粗-細(xì)方法，當(dāng)點(diǎn)A距離剪切帶上邊界的距離為M時(shí)，由于點(diǎn)A的子區(qū)全部在剪切帶外，所以，有γxy=0(圖9(a))。當(dāng)上述距離小于M時(shí)，由于子區(qū)包含部分剪切帶，所以，有γxy≠0。因此，圖9(a)的情形應(yīng)為一種臨界情形。此時(shí)，w將被高估至w0與2M之和，即由子區(qū)尺寸引入的剪切帶實(shí)測(cè)寬度理論誤差wt為2M。

圖9 子區(qū)尺寸對(duì)w影響示意圖

對(duì)于改進(jìn)子區(qū)分割方法，當(dāng)點(diǎn)A在剪切帶上邊界上時(shí)，點(diǎn)A的1個(gè)后代子區(qū)在剪切帶外總存在，所以，有γxy=0(圖9(a))。因此，w與w0相等，由子區(qū)尺寸引入的wt為0，這充分體現(xiàn)了改進(jìn)子區(qū)分割方法的優(yōu)勢(shì)。

應(yīng)當(dāng)指出，當(dāng)有兩個(gè)測(cè)點(diǎn)恰巧被分別布置在點(diǎn)A(圖9(a))和點(diǎn)B(圖9(b))時(shí)，測(cè)點(diǎn)間隔引入的wt為0。實(shí)際上，除了測(cè)點(diǎn)間隔為1pixel時(shí)之外，上述情形不容易出現(xiàn)。所以，通常w將被高估。測(cè)點(diǎn)間隔不應(yīng)過(guò)大，以增加測(cè)點(diǎn)距離剪切帶邊界更近的可能性，從而減小由測(cè)點(diǎn)間隔引入的wt。

4.3 最小一乘擬合方法引入的剪切帶實(shí)測(cè)寬度理論誤差分析

設(shè)最小一乘擬合窗口尺寸為(2K+1)×(2K+1)個(gè)測(cè)點(diǎn)，以剪切帶上邊界附近的子區(qū)為例進(jìn)行分析(圖10)。設(shè)最小一乘擬合窗口中心點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)C垂直于剪切帶建立y軸，向下為正。y軸分別交擬合窗口下邊界和剪切帶上邊界于點(diǎn)D、E(圖9(a))。應(yīng)當(dāng)指出，圖10(b)中點(diǎn)D、E重合。

圖10 最小一乘擬合窗口對(duì)w影響示意圖

對(duì)于改進(jìn)子區(qū)分割方法，當(dāng)點(diǎn)D在剪切帶上邊界上時(shí)，點(diǎn)C的γxy=0(圖10(b))，此時(shí)，剪切帶寬度將被高估值至理論寬度與2K×測(cè)點(diǎn)間隔之和，即最小一乘擬合方法引入的wt為2K×測(cè)點(diǎn)間隔。

4.4 w的修正及檢驗(yàn)

由第4.2節(jié)和4.3節(jié)可知，DIC方法和最小一乘擬合方法都會(huì)引入wt。這里，將修正后剪切帶實(shí)測(cè)寬度w1定義為w與wt之差；通過(guò)對(duì)比兩種方法的w1，以進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)子區(qū)分割方法的優(yōu)勢(shì)。對(duì)于測(cè)點(diǎn)間隔為4pixel、最小一乘擬合窗口為5×5個(gè)測(cè)點(diǎn)的情形，此時(shí)，剪切帶的上、下邊界上恰好被布置了測(cè)點(diǎn)。根據(jù)第4.2節(jié)和第4.3節(jié)，由改進(jìn)子區(qū)分割方法和最小一乘擬合方法引入的wt分別為0和16pixel，即wt為16pixel。

表1給出了不同子區(qū)尺寸時(shí)2種方法的wt、w和w1。由此可以發(fā)現(xiàn)，粗-細(xì)方法的w1與w0相差較大，而子區(qū)分割方法的w1更接近w0，這表明改進(jìn)子區(qū)分割方法更適于剪切帶寬度測(cè)量。例如，當(dāng)子區(qū)尺寸分別為31×31、41×41、51×51和61×61pixel時(shí)，粗-細(xì)方法的w1與w0相差分別為-22、-24、-26和-28pixel，而修正后改進(jìn)子區(qū)分割方法的分別為-12、-8、-16和-8pixel。

表1 不同子區(qū)尺寸時(shí)2種方法的wt、w和w1

5 結(jié) 論

對(duì)于狹窄且具有高度應(yīng)變梯度的剪切帶，傳統(tǒng)數(shù)字圖像相關(guān)方法很難精確測(cè)量其寬度，提出了一種環(huán)繞測(cè)點(diǎn)子區(qū)分割數(shù)字圖像相關(guān)方法，通過(guò)對(duì)制作的虛擬剪切帶進(jìn)行寬度測(cè)量驗(yàn)證了提出方法的有效性?；诹Ｗ尤簝?yōu)化和Newton-Raphson迭代的粗-細(xì)方法的剪切帶寬度誤差與子區(qū)尺寸密切相關(guān)，其剪切帶寬度理論誤差接近子區(qū)尺寸，而環(huán)繞測(cè)點(diǎn)子區(qū)分割方法的剪切帶寬度理論上不受子區(qū)尺寸的影響。對(duì)于環(huán)繞測(cè)點(diǎn)子區(qū)分割方法，其最大子區(qū)分割次數(shù)依賴于測(cè)點(diǎn)的原始子區(qū)尺寸，常用的子區(qū)尺寸分割1次即可獲得較好結(jié)果；測(cè)點(diǎn)分割相關(guān)系數(shù)閾值的影響微乎其微；但測(cè)點(diǎn)間隔不應(yīng)過(guò)大，以減小測(cè)量誤差。