張東元

圓錐曲線最值問(wèn)題通常具有較強(qiáng)的抽象性，一般 難度較大，且解題過(guò)程中的運(yùn)算量也較大.其中，求圓 錐曲線上一點(diǎn)到直線的最短距離問(wèn)題比較常見(jiàn).由于 圓錐曲線的方程較為復(fù)雜，且很難確定圓錐曲線上的 點(diǎn)到直線的最短距離，所以很多同學(xué)在解題時(shí)不知該 如何下手，找不到解題的思路.下面結(jié)合一道例題探討 一下如何求圓錐曲線上一點(diǎn)到直線的最短距離.

題目：已知橢圓 C： x 2 16 + y2 9 = 1上存在一點(diǎn) P ，求 P 點(diǎn)到直線 l：2x - y + 8 = 0 的最短距離.

本題主要考查了橢圓的方程、幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直 線的距離公式的應(yīng)用.要求動(dòng)點(diǎn) P 到直線的最短距 離，需先根據(jù)題意和圖形明確動(dòng)點(diǎn) P 的可能位置；然 后設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式.可采 用下列兩種方法求解.

一、構(gòu)造函數(shù)法

構(gòu)造函數(shù)法是求解最值問(wèn)題的常用方法.運(yùn)用構(gòu) 造函數(shù)法求解圓錐曲線上一點(diǎn)到直線的最短距離問(wèn) 題，需先根據(jù)題意設(shè)出圓錐曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)；然后 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求得該點(diǎn)到直線的距離的 表達(dá)式；再將其看作關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的函 數(shù)式；接著根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，或 者函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，這樣就 能快速求得函數(shù)的最值，進(jìn)而求得圓錐曲線上一點(diǎn)到 直線的最短距離.

解答本題，需先求得目標(biāo)式；然后將其看作關(guān)于 y0 的函數(shù)式，通過(guò)討論導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系來(lái)判斷 出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最值，求得最小距 離.運(yùn)用此方法解題的思路比較簡(jiǎn)單，但解題的過(guò)程比 較繁瑣.

二、參數(shù)法

參數(shù)法是指通過(guò)引入?yún)?shù)，求得問(wèn)題的答案.我們 知道每一條直線、曲線都有其對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程，在求 解圓錐曲線上一點(diǎn)到直線的最短距離問(wèn)題時(shí)，可根據(jù) 題意引入合適的參數(shù)，如角α、圓錐曲線方程中的參數(shù) a、b，設(shè)出圓錐曲線的參數(shù)方程，并將圓錐曲線上一點(diǎn) 的坐標(biāo)用參數(shù)表示出來(lái)；再利用點(diǎn)到直線的距離公式 求出圓錐曲線上一點(diǎn)到直線的距離，便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 三角函數(shù)最值問(wèn)題，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得最 小距離.

我們根據(jù)橢圓 x 2 a2 + y2 b 2 = 1（a > b > 0） 的參數(shù)方程為 ì í ? x = a cos φ， y = b sin φ， φ 為參數(shù)，設(shè)出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，并將其代入 點(diǎn)到直線的距離公式中，得到關(guān)于參數(shù)的三角函數(shù) 式，便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問(wèn)題.

由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)中的各個(gè)模塊并不是孤立的，很多 知識(shí)點(diǎn)之間存在一定的聯(lián)系.在解圓錐曲線最值問(wèn)題 時(shí)，同學(xué)們要學(xué)會(huì)聯(lián)想，將問(wèn)題與函數(shù)、參數(shù)方程關(guān)聯(lián) 起來(lái)，靈活運(yùn)用函數(shù)模塊、參數(shù)方程模塊的相關(guān)知識(shí).

（作者單位：甘肅省武山縣第一高級(jí)中學(xué)）