樊博璇， 陳桂明， 林洪濤

(1.火箭軍工程大學(xué), 陜西 西安 710025; 2. 31004部隊(duì)， 北京 100091)

0 引言

彈道導(dǎo)彈面臨的威脅主要在其飛行中段。美國(guó)、俄羅斯、以色列等國(guó)已成功實(shí)施中段飛行反導(dǎo)攔截試驗(yàn)，相關(guān)技術(shù)仍在不斷改進(jìn)完善，未來(lái)將對(duì)彈道導(dǎo)彈中段飛行安全構(gòu)成更大威脅。面對(duì)不斷發(fā)展強(qiáng)大的彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)，要想提高彈道導(dǎo)彈的生存能力，就必須尋求全新的機(jī)動(dòng)突防手段，研究大氣層外彈道導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)變軌突防策略是確保彈道導(dǎo)彈生存以及增強(qiáng)突防能力的有效途徑。

機(jī)動(dòng)突防已由最初的程序式機(jī)動(dòng)突防方式發(fā)展出短時(shí)大幅對(duì)抗規(guī)避式機(jī)動(dòng)突防等新型突防方式。程序式機(jī)動(dòng)突防的魯棒性較差，針對(duì)性強(qiáng)但適用性不廣，對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)和控制系統(tǒng)性能要求較高。而短時(shí)大幅對(duì)抗規(guī)避式機(jī)動(dòng)突防則是根據(jù)交戰(zhàn)狀態(tài)靈活機(jī)動(dòng)，大大提高了彈道導(dǎo)彈突防的適用性和成功率。

對(duì)于以攔截脫靶量作為評(píng)價(jià)指標(biāo)的追蹤逃逸問(wèn)題，有一些研究成果，但短時(shí)大幅對(duì)抗規(guī)避式機(jī)動(dòng)突防問(wèn)題有其特殊性，主要表現(xiàn)在關(guān)注機(jī)動(dòng)能力的同時(shí)，還要根據(jù)探測(cè)的攔截彈飛行狀態(tài)，決定使彈道導(dǎo)彈成功突防且攔截脫靶量最小的機(jī)動(dòng)規(guī)避方向和時(shí)機(jī)。Yavin考慮了一個(gè)隨機(jī)的追蹤逃逸微分對(duì)策，在信息完全和信息不完全的情況下，建立攻防雙方的非線性偏微分方程，通過(guò)數(shù)值求解相應(yīng)的方程，計(jì)算出最優(yōu)規(guī)避策略。孫守明等在雙方信息感知完全的設(shè)定下建立攻防對(duì)抗模型，以雙方可用過(guò)載有限為約束進(jìn)行分析，得到在突防彈特征角給定的條件下，在某一相對(duì)距離進(jìn)行規(guī)定機(jī)動(dòng)可產(chǎn)生最大脫靶量的結(jié)論。但在實(shí)際交戰(zhàn)環(huán)境下，由于探測(cè)載荷能力有限，信息無(wú)法完全感知，因此，從完全信息設(shè)定出發(fā)的研究結(jié)論無(wú)法應(yīng)用于實(shí)際交戰(zhàn)中。趙秀娜等將突防彈頭的機(jī)動(dòng)方式設(shè)定為瞬時(shí)單次大脈沖機(jī)動(dòng)，機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)通過(guò)仿真分析設(shè)定為相遇前某時(shí)刻，機(jī)動(dòng)方向的確定使用了計(jì)算量較大的智能搜索算法，因此實(shí)用性較差。吳啟星等在瞬時(shí)沖量假設(shè)下研究機(jī)動(dòng)加速度增量大小、機(jī)動(dòng)方向和機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)3個(gè)因素對(duì)零控脫靶量以及落點(diǎn)偏移的影響，具備一定的參考價(jià)值。但瞬時(shí)沖量假設(shè)認(rèn)為彈道導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)時(shí)只產(chǎn)生瞬時(shí)速度增量，忽略了機(jī)動(dòng)的時(shí)間長(zhǎng)度，導(dǎo)致無(wú)法分析攻防雙方關(guān)鍵的博弈過(guò)程。鮮勇等將微分對(duì)策理論應(yīng)用于機(jī)動(dòng)規(guī)避策略研究，并嘗試建立博弈策略集，但只考慮正向機(jī)動(dòng)、負(fù)向機(jī)動(dòng)以及不機(jī)動(dòng)3種策略，設(shè)定過(guò)于簡(jiǎn)化而使實(shí)用價(jià)值不高。楊濤使用推力固定、總工作時(shí)間有限的大推力軌控發(fā)動(dòng)機(jī)，以節(jié)省機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)為目標(biāo)，建立突防彈與攔截彈的非線性微分對(duì)策模型，設(shè)置突防彈以不同的機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)和機(jī)動(dòng)加速度進(jìn)行機(jī)動(dòng)，并對(duì)攔截彈的攔截脫靶量進(jìn)行數(shù)值仿真。

在彈道導(dǎo)彈對(duì)抗規(guī)避 式機(jī)動(dòng)突防問(wèn)題現(xiàn)有的研究成果中，對(duì)機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)機(jī)與方向的選擇仍缺乏全面的理論分析，研究工作多是基于仿真的探索性分析。雖然可以從仿真結(jié)果中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，但無(wú)法得到具備實(shí)用性的結(jié)論，且設(shè)定的對(duì)抗參數(shù)大多不夠全面，未考慮真實(shí)對(duì)抗場(chǎng)景下的動(dòng)態(tài)特性等因素，使得突防策略的適用條件受到限制。這些研究工作均未對(duì)所獲得的機(jī)動(dòng)規(guī)避方向和時(shí)機(jī)進(jìn)行清晰表述，無(wú)法轉(zhuǎn)化成適用于真實(shí)戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境、行之有效的技術(shù)手段。

本文建立并求解攻防雙方相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程獲得彈道導(dǎo)彈短時(shí)大幅機(jī)動(dòng)突防規(guī)避的最優(yōu)策略通過(guò)合理的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析和模型簡(jiǎn)化，得到假設(shè)對(duì)抗場(chǎng)景下的最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避方向。建立視線角速度多階段1階線性微分方程模型，分析得到脫靶量與機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)的關(guān)系，得出最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)機(jī)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。仿真校核驗(yàn)證所提出的機(jī)動(dòng)規(guī)避策略，并分析參數(shù)有效性。

1 運(yùn)動(dòng)模型及相關(guān)設(shè)定

本文研究的是一個(gè)典型的追蹤—逃逸問(wèn)題。為得到通用可靠的機(jī)動(dòng)規(guī)避策略，將實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化為在無(wú)外力作用三維空間中的機(jī)動(dòng)規(guī)避問(wèn)題，建立慣性運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，使簡(jiǎn)化后的空間具有各向同性。假設(shè)動(dòng)能攔截器(EKV)機(jī)動(dòng)采用的是無(wú)延遲、無(wú)噪聲的比例導(dǎo)引律，彈道導(dǎo)彈突防時(shí)采用單次瞬時(shí)大脈沖機(jī)動(dòng)。

1.1 模型初始狀態(tài)設(shè)定

真實(shí)的對(duì)抗場(chǎng)景在大氣層外，所受空氣阻力可忽略不計(jì)，在彈道導(dǎo)彈與EKV距離較近的情況下，二者所受重力加速度大小和方向可認(rèn)為近似相同，重力對(duì)二者相對(duì)位置和相對(duì)速度的影響也可忽略。首先給出坐標(biāo)系的定義：以彈道導(dǎo)彈發(fā)現(xiàn)來(lái)襲EKV時(shí)刻彈道導(dǎo)彈質(zhì)心位置作為坐標(biāo)系原點(diǎn)，建立與彈道導(dǎo)彈相對(duì)靜止的三維坐標(biāo)系，如圖1所示。坐標(biāo)系加速度與彈道導(dǎo)彈所受重力加速度相同，軸在該時(shí)刻EKV質(zhì)心矢徑方向，軸與相對(duì)速度在軸法平面內(nèi)的分量方向一致，軸由右手定則確定?？烧J(rèn)為在此坐標(biāo)系中，彈道導(dǎo)彈與EKV不受外力作用。

以彈道導(dǎo)彈發(fā)現(xiàn)來(lái)襲的EKV時(shí)刻為初始時(shí)刻，彈道導(dǎo)彈的位置向量=(0 m,0 m,0 m)，速度向量=(0 m/s,0 m/s,0 m/s)。EKV初始時(shí)刻位置向量=(,0 m,0 m)，表示初始時(shí)刻彈道導(dǎo)彈與EKV之間的相對(duì)距離，速度向量=(E0,E0,0 m/s)，E0、E0分別為初始時(shí)刻EKV軸和軸方向的速度。

圖1 初始時(shí)刻坐標(biāo)系Fig.1 Initial time coordinate system

1.2 EKV機(jī)動(dòng)設(shè)定

世界各國(guó)通用的反導(dǎo)基本流程，是當(dāng)彈道導(dǎo)彈預(yù)警衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)進(jìn)攻彈道導(dǎo)彈后，地面反導(dǎo)指控中心立刻根據(jù)目標(biāo)跟蹤數(shù)據(jù)制定攔截方案，并指揮發(fā)射攔截彈。攔截彈發(fā)射后，由地面反導(dǎo)指控中心導(dǎo)引，由助推火箭推動(dòng)攔截彈向預(yù)定攔截點(diǎn)飛行，當(dāng)飛行到預(yù)定位置后，釋放EKV.

在EKV制導(dǎo)過(guò)程中，導(dǎo)引頭測(cè)量視線角速度，并通過(guò)控制姿軌控發(fā)動(dòng)機(jī)調(diào)整飛行方向，瞄準(zhǔn)預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)，最后高速撞擊并摧毀進(jìn)攻彈道導(dǎo)彈。但是，EKV感知到的視線角速度并不準(zhǔn)確，包含噪聲和延時(shí)以及各類誤差源(航向估計(jì)誤差、飛行控制系統(tǒng)延遲、隨機(jī)目標(biāo)機(jī)動(dòng)、自身機(jī)動(dòng)能力不確定性等)，都將對(duì)EKV的攔截率產(chǎn)生影響。

為得出性能最佳的彈道導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)規(guī)避策略，設(shè)定EKV的制導(dǎo)系統(tǒng)為無(wú)噪聲無(wú)延遲的理想狀態(tài)，即導(dǎo)引頭、噪聲濾波器、制導(dǎo)和飛行控制系統(tǒng)被認(rèn)為是完美的，EKV總是能夠擊中目標(biāo)，脫靶量總是為0 m，該系統(tǒng)被稱為零滯后制導(dǎo)系統(tǒng)。

假設(shè)EKV服從比例導(dǎo)航制導(dǎo)律：

=，

(1)

式中：為垂直于視線的EKV加速命令；為有效導(dǎo)航比，通常在3～5 rad的范圍內(nèi)；為相對(duì)速度；為視線角速度。比例導(dǎo)航的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單穩(wěn)定，在不存在加速度飽和效應(yīng)的情況下，如果尋的回路中不存在延遲，脫靶量為0 m

(2)

EKV導(dǎo)引頭的探測(cè)能力會(huì)受到噪聲、像素化、采樣率等因素的限制。因此，存在一個(gè)制導(dǎo)臨界范圍，在真實(shí)對(duì)抗場(chǎng)景中，當(dāng)攻防雙方的相對(duì)位置在制導(dǎo)臨界范圍內(nèi)時(shí)(≤)，視線角速度測(cè)量不確定性的動(dòng)態(tài)增長(zhǎng)開(kāi)始變得不可控，導(dǎo)致EKV的制導(dǎo)失效。因此，一般采取使EKV制導(dǎo)系統(tǒng)在未進(jìn)入臨界范圍的指定距離關(guān)機(jī)策略應(yīng)對(duì)。假設(shè)關(guān)機(jī)距離為>，當(dāng)>時(shí)，認(rèn)為EKV制導(dǎo)系統(tǒng)為理想狀態(tài)，EKV能精確感知彈道導(dǎo)彈的視線角速度；當(dāng)≤時(shí)，EKV將不再機(jī)動(dòng)。圖2為相對(duì)距離變化時(shí)零控脫靶量的變化規(guī)律。

圖2 脫靶量演化的不確定性Fig.2 Uncertainty of miss distance evolution

1.3 彈道導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)設(shè)定

彈道導(dǎo)彈質(zhì)量遠(yuǎn)大于EKV，因此彈道導(dǎo)彈需產(chǎn)生遠(yuǎn)大于EKV的機(jī)動(dòng)推力，才能有與之同等大小的加速度。假設(shè)彈道導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)類型為單次短時(shí)大脈沖機(jī)動(dòng)，忽略軌控發(fā)動(dòng)機(jī)燃料消耗所帶來(lái)的質(zhì)量變化以及發(fā)動(dòng)機(jī)推力的不確定性，突防的機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)設(shè)為最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)刻，在大氣層外飛行的任何地方都有可能發(fā)生。單次短時(shí)大脈沖機(jī)動(dòng)的推力持續(xù)時(shí)長(zhǎng)較短且相對(duì)固定，推力大小不可調(diào)整，只能做一次方向不變且時(shí)間長(zhǎng)度確定的連續(xù)機(jī)動(dòng)，即

(3)

式中：為機(jī)動(dòng)加速度；為額定規(guī)避機(jī)動(dòng)加速度；為機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)。在彈道導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)內(nèi)，機(jī)動(dòng)加速度大小恒為，且方向一致。

圖3給出了一個(gè)彈道導(dǎo)彈以10正向加速度、機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)1 s的短時(shí)大脈沖機(jī)動(dòng)加速示例。

圖3 正向瞬時(shí)大脈沖機(jī)動(dòng)Fig.3 Forward instantaneous large pulse maneuver

假設(shè)彈道導(dǎo)彈開(kāi)始機(jī)動(dòng)前，通過(guò)姿控發(fā)動(dòng)機(jī)先對(duì)機(jī)動(dòng)方向進(jìn)行調(diào)整，以保證機(jī)動(dòng)方向可任意指定，本文不討論姿控發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)方向進(jìn)行調(diào)整時(shí)的具體工作流程。為確保EKV無(wú)法在導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)規(guī)避后再次制導(dǎo)攔截，彈道導(dǎo)彈選在與EKV臨近相遇時(shí)開(kāi)始機(jī)動(dòng)。此外，假設(shè)彈道導(dǎo)彈能及時(shí)感知來(lái)襲EKV的位置與速度信息，有充分的時(shí)間進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整并向指定方向機(jī)動(dòng)規(guī)避。

2 機(jī)動(dòng)規(guī)避策略分析

在攔截中，EKV根據(jù)其探測(cè)到的目標(biāo)信息，通過(guò)機(jī)動(dòng)調(diào)整實(shí)現(xiàn)對(duì)零控脫靶量的平穩(wěn)控制。因此，進(jìn)攻彈道導(dǎo)彈的最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避策略是能夠使零控脫靶量最大化的策略。

2.1 最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避方向

在彈道導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)規(guī)避前，彈道導(dǎo)彈與EKV的相對(duì)位置都由圖1表示，對(duì)應(yīng)的零控脫靶量表示為

=+E0，

(4)

式中：為距交會(huì)剩余飛行時(shí)間，=E0

彈道導(dǎo)彈的突防時(shí)刻選在EKV實(shí)施攔截的前幾秒，根據(jù)EKV的末制導(dǎo)工作機(jī)制以及比例導(dǎo)引律特性，在彈道導(dǎo)彈開(kāi)始機(jī)動(dòng)時(shí)，EKV已經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的末制導(dǎo)控制將視線角速度修正到趨近于0 rad/s的狀態(tài)，可認(rèn)為機(jī)動(dòng)突防前二者相對(duì)位置方向和相對(duì)速度方向近似在同一方向上，即此時(shí)刻EKV一定能命中目標(biāo)，E0=0 m/s

彈道導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)規(guī)避方向如圖4所示，加速度大小恒定為，飛行路徑角為，機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)為，機(jī)動(dòng)突防帶來(lái)的脫靶量為

(5)

式中：M=cos則(5)式變換為

(6)

圖4 彈道導(dǎo)彈加速度飛行路徑示意Fig.4 Schematic diagram of missile acceleration flight path

由(6)式可知，當(dāng)為0 rad或π rad時(shí)，是使脫靶量最大的最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避方向。

實(shí)際對(duì)抗條件下，EKV已經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的制導(dǎo)控制將零控脫靶量控制在很小范圍內(nèi)。因?yàn)閺椀缹?dǎo)彈觀測(cè)的角速度分辨率不可能明顯優(yōu)于EKV，所以彈道導(dǎo)彈感知到的相對(duì)速度與相對(duì)位置近似在同一方向上，即感知到的E0、E0為0 m/s，從而彈道導(dǎo)彈無(wú)法準(zhǔn)確感知零控脫靶偏差方向或視線角速度的方向。導(dǎo)致彈道導(dǎo)彈無(wú)法適時(shí)判斷有效的最優(yōu)機(jī)動(dòng)方向，且彈道導(dǎo)彈向垂直于視線方向的平面內(nèi)任意方向采取機(jī)動(dòng)規(guī)避的效果差別不大。因此，彈道導(dǎo)彈實(shí)際最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避方向?yàn)槎呦鄬?duì)位置方向法平面內(nèi)的任意方向。

2.2 機(jī)動(dòng)規(guī)避脫靶量公式

為保證彈道導(dǎo)彈成功突防，在確定了最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避方向后，必須同時(shí)確定最優(yōu)規(guī)避時(shí)機(jī)。在坐標(biāo)系中建立攻防雙方的1階線性微分運(yùn)動(dòng)方程，分析不同情境下的最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)刻，并推導(dǎo)出最終脫靶量

為方便討論，認(rèn)為彈道導(dǎo)彈開(kāi)始機(jī)動(dòng)時(shí)，=0 rad/s，記此時(shí)刻=，交會(huì)時(shí)刻=由于彈道導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)規(guī)避方向在相對(duì)速度法平面內(nèi)各向同性，因此只推導(dǎo)二維平面內(nèi)最終脫靶量與這些參數(shù)間的關(guān)系。

假設(shè)相對(duì)位置方向與相對(duì)速度方向近似相同(E0=0 m/s)，相對(duì)速度不變，彈道導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)加速度和EKV機(jī)動(dòng)加速度方向都垂直于相對(duì)速度(位置)方向，且相對(duì)距離與視線角速度滿足(7)式和(8)式：

=(-)，

(7)

(8)

根據(jù)(4)式和(8)式，視線角速度隨時(shí)間的變化率為

(9)

將任意時(shí)刻的視線角加速度視為彈道導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)、EKV機(jī)動(dòng)以及相對(duì)距離變化3個(gè)因素的線性疊加，即

(10)

上述每個(gè)階段微分方程(10)式都可以寫(xiě)成

(11)

的1階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式，其中()、()為的任意函數(shù)。因此可以按標(biāo)準(zhǔn)公式寫(xiě)出方程通解，再代入初始條件求出通解中的常數(shù)項(xiàng)，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)各階段微分方程的求解：

1)第1階段。微分方程為

(12)

代入初值=、=0 rad/s，得到(12)式的解為

(-)(-2)，

(13)

(14)

2)第2階段。微分方程為

(15)

(16)

代入第2階段結(jié)束后(第3階段)的情境1臨界條件=+，得

(17)

代入第2階段結(jié)束后的情境2臨界條件=，即=-，得

(18)

3)第3階段情境1微分方程為

(19)

代入初值=和(17)式，可得(19)式的解為

(20)

當(dāng)=時(shí)，==，代入(20)式得

(21)

EKV的任務(wù)是命中進(jìn)攻彈道導(dǎo)彈，使脫靶量為0 m，而進(jìn)攻彈道導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)目標(biāo)則是使最終脫靶量盡可能大。因此，將最終脫靶量作為機(jī)動(dòng)規(guī)避性能指標(biāo)，建立性能指標(biāo)函數(shù)。

(22)

4)第3階段情境2微分方程為

(23)

代入初值==與(18)式，可得(23)式的解為

(24)

彈道導(dǎo)彈結(jié)束機(jī)動(dòng)時(shí)=，代入(24)式得

(25)

最終脫靶量為此時(shí)刻的零控脫靶量，即==(--)，(25)式代入后得到性能指標(biāo)函數(shù)為

(26)

由(22)式與(26)式可以看出，兩種情境的最終脫靶量公式相同。

2.3 最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)刻

(27)

得到最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)刻為

(28)

根據(jù)3個(gè)階段的假設(shè)模型，需保證在第1階段結(jié)束時(shí)不能出現(xiàn)彈頭機(jī)動(dòng)已結(jié)束的情況，即>+，或EKV已關(guān)機(jī)的情況，即>-的情況。所以代入(14)式，要求

(29)

且

(30)

在>1的條件下(29)式恒成立，只需判斷(30)式即可。

最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)機(jī)以最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避方向進(jìn)行機(jī)動(dòng)規(guī)避，脫靶量為(28)式代入(26)式，即

(31)

在最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)刻的公式推導(dǎo)中，導(dǎo)引頭測(cè)量中的噪聲和延遲所帶來(lái)的影響，顯然會(huì)使最終脫靶量相比(31)式更大。因此，只要按照(31)式確定機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)機(jī)，就可以實(shí)現(xiàn)彈道導(dǎo)彈的可靠突防。

2.4 不符合最優(yōu)脫靶量公式情況的分析

(32)

即使此后彈道導(dǎo)彈一直保持=的機(jī)動(dòng)加速度，其最終脫靶量也只有

(33)

這種情況下機(jī)動(dòng)規(guī)避脫靶量遠(yuǎn)小于符合最優(yōu)脫靶量公式的情況，無(wú)法確保成功突防，為避免這種情況，需要選擇可靠突防的機(jī)動(dòng)參數(shù)取值范圍。

3 校核與驗(yàn)證

分別對(duì)彈道導(dǎo)彈和EKV交戰(zhàn)過(guò)程進(jìn)行二維及三維仿真，以驗(yàn)證最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避策略的正確性、有效性以及模型簡(jiǎn)化的合理性。

3.1 二維交戰(zhàn)仿真

為了校核機(jī)動(dòng)規(guī)避策略分析的正確性，按照11節(jié)的模型設(shè)定，忽略地心引力和空氣阻力，建立彈道導(dǎo)彈—EKV對(duì)抗平面二維仿真交戰(zhàn)模型。仿真模型根據(jù)輸入的進(jìn)攻彈道導(dǎo)彈和EKV的初始參數(shù)，對(duì)彈道導(dǎo)彈和EKV二維相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行模擬。

設(shè)定彈道導(dǎo)彈開(kāi)始機(jī)動(dòng)的相對(duì)距離=20 000 m，相對(duì)速度=10 000 m/s；彈道導(dǎo)彈的初始位置=(0 m，0 m)，初始速度=(0 m/s，0 m/s)，機(jī)動(dòng)加速度大小設(shè)為100 m/s，機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)為1 s；EKV的初始位置=(25 000 m，0 m)，初始速度=(-10 000 m/s，0 m/s)；EKV的加速度大小設(shè)為100 m/s，有效導(dǎo)航比=5 rad，關(guān)機(jī)距離=5 000 m-設(shè)置為按(28)式計(jì)算得出的最優(yōu)機(jī)動(dòng)時(shí)刻1277 4 s

圖5為EKV機(jī)動(dòng)時(shí)的加速度曲線，在機(jī)動(dòng)開(kāi)始后約0.33 s時(shí)，EKV達(dá)到最大加速度，當(dāng)以最大加速度持續(xù)機(jī)動(dòng)0.45 s時(shí)，彈道導(dǎo)彈和EKV的相對(duì)距離達(dá)到關(guān)機(jī)距離，此時(shí)機(jī)動(dòng)結(jié)束，加速度為0 g.

圖5 二維仿真EKV加速度變化Fig.5 EKV acceleration change in two-dimensional simulation

圖6為二維仿真彈道導(dǎo)彈—EKV對(duì)抗軌跡。當(dāng)彈道導(dǎo)彈和EKV的相對(duì)距離為時(shí)，彈道導(dǎo)彈向垂直于視線的最優(yōu)規(guī)避方向機(jī)動(dòng)，EKV開(kāi)始對(duì)彈道導(dǎo)彈進(jìn)行機(jī)動(dòng)攔截。EKV關(guān)機(jī)時(shí)彈道導(dǎo)彈尚未結(jié)束機(jī)動(dòng)。仿真程序得到的最終脫靶量為26.369 8 m，與(31)式的求解結(jié)果相同，證明了最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)機(jī)數(shù)學(xué)推導(dǎo)的正確性。

圖6 二維仿真交戰(zhàn)軌跡Fig.6 Engagement trajectory in two-dimensional simulation

設(shè)定不同機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)、機(jī)動(dòng)加速度、機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行仿真，能觀察不同的仿真演進(jìn)過(guò)程。分別取彈道導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)加速度為80 m/s、100 m/s，機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)為1.0 s、0.8 s，機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)在(0,/)范圍內(nèi)間隔0.01 s取值。以不同參數(shù)機(jī)動(dòng)規(guī)避獲得的脫靶量，如圖7所示，最大值對(duì)應(yīng)時(shí)刻都符合最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)刻(27)式，最大值都符合(31)式。

圖7 不同參數(shù)下機(jī)動(dòng)規(guī)避的脫靶量Fig.7 Miss distance during maneuver avoidance under different parameters

3.2 三維交戰(zhàn)仿真

在校核了公式推導(dǎo)的正確性后，模擬在地心慣性坐標(biāo)系下的彈道導(dǎo)彈飛行以及攔截突防對(duì)抗過(guò)程，建立彈道導(dǎo)彈—EKV對(duì)抗三維仿真交戰(zhàn)程序，以驗(yàn)證第1節(jié)機(jī)動(dòng)規(guī)避運(yùn)動(dòng)模型的正確性。

任意指定彈道導(dǎo)彈發(fā)射位置、目標(biāo)位置以及攔截彈的發(fā)射位置(本文參照文獻(xiàn)[20]28.4節(jié)選取)，將進(jìn)攻彈道導(dǎo)彈和攔截彈簡(jiǎn)化為脈沖發(fā)射，即省略主動(dòng)段加速過(guò)程，認(rèn)為發(fā)射時(shí)就具有初速度，同時(shí)省略空氣阻力，只受重力作用。首先，利用三維蘭伯特方程，由導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)摩納哥蒙特卡洛市(43.75°E，7.42°N)、目標(biāo)點(diǎn)美國(guó)拉斯維加斯市(115.136°W，36.175°N)以及彈道導(dǎo)彈飛行時(shí)長(zhǎng)(2 000 s)，計(jì)算彈道導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)的初始速度。然后，使用開(kāi)普勒方程，由彈道導(dǎo)彈初始狀態(tài)參數(shù)(位置和速度)和設(shè)置的攔截點(diǎn)時(shí)刻(彈道導(dǎo)彈發(fā)射后1 000 s)估計(jì)攔截點(diǎn)位置。最后，再次使用蘭伯特方程，由預(yù)估的攔截點(diǎn)位置、攔截彈發(fā)射時(shí)刻(彈道導(dǎo)彈發(fā)射后200 s)和發(fā)射位置美國(guó)亞特蘭大市(74.423°W，39.364°N)以及飛行時(shí)長(zhǎng)，計(jì)算出EKV的初始速度。

在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行彈道導(dǎo)彈- EKV三維交戰(zhàn)仿真。預(yù)設(shè)攔截時(shí)刻前200 s(彈道導(dǎo)彈飛行800 s)時(shí)EKV制導(dǎo)系統(tǒng)被打開(kāi)，且采用比例導(dǎo)航制導(dǎo)律，設(shè)定=3 rad，關(guān)機(jī)距離=5 000 km. 圖8為EKV攔截時(shí)的加速度曲線，EKV制導(dǎo)開(kāi)始于起飛后大約997.4 s，最大加速度為100 m/s.

圖8 三維仿真EKV加速度變化Fig.8 EKV acceleration change in three-dimensional simulation

當(dāng)彈道導(dǎo)彈飛行時(shí)間到達(dá)按(28)式求解出的最優(yōu)機(jī)動(dòng)時(shí)刻1.421 05 s時(shí)，彈道導(dǎo)彈以=100 m/s、=1 s的加速度沿最優(yōu)機(jī)動(dòng)方向開(kāi)始機(jī)動(dòng)。圖9為彈道導(dǎo)彈和EKV運(yùn)動(dòng)軌跡的平面視圖，可以看出，在距離彈道導(dǎo)彈發(fā)射場(chǎng)大約4 577 km、1 800 km的高度處，彈道導(dǎo)彈突防成功。通過(guò)仿真得到的彈道導(dǎo)彈—EKV交會(huì)前的相對(duì)速度為7 466.2 m/s，最終脫靶量=43.475 5 m，將相同參數(shù)代入(31)式，計(jì)算得=43.477 1 m，仿真結(jié)果和使用本文模型公式計(jì)算的結(jié)果相吻合。

圖9 三維仿真交戰(zhàn)軌跡的平面視圖Fig.9 Plane view of engagement trajectory in three-dimensional simulation

三維交戰(zhàn)仿真結(jié)果表明，在更接近現(xiàn)實(shí)的仿真環(huán)境下進(jìn)行交戰(zhàn)模擬所得到的最終脫靶量，與利用2.3節(jié)最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避策略計(jì)算得出的最終脫靶量基本一致，驗(yàn)證了機(jī)動(dòng)規(guī)避運(yùn)動(dòng)模型的正確性。

4 參數(shù)適用性分析

本文模型計(jì)算求解中使用的彈道導(dǎo)彈和EKV的設(shè)計(jì)參數(shù)，都是理想狀態(tài)下的標(biāo)稱值，但在實(shí)際交戰(zhàn)中存在著多種不確定因素，因而不可避免地存在著參數(shù)誤差。參數(shù)誤差會(huì)影響彈道導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)規(guī)避效果，可能導(dǎo)致機(jī)動(dòng)規(guī)避策略失效，一般不能忽略。為保證最優(yōu)規(guī)避策略保持預(yù)期性能，分析相關(guān)參數(shù)的適用范圍是十分必要的。

首先，分析EKV相關(guān)參數(shù)的不確定性及對(duì)抗場(chǎng)景對(duì)最終脫靶量的影響，根據(jù)對(duì)EKV參數(shù)和相對(duì)速度的估計(jì)，提出實(shí)現(xiàn)最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避策略的參數(shù)要求。

(26)式兩邊分別對(duì)求導(dǎo)，得

(34)

由(34)式可見(jiàn)，關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)恒小于0 m·rad，則隨單調(diào)遞減。

(35)

因?yàn)楦鶕?jù)34節(jié)的分析，彈道導(dǎo)彈會(huì)在EKV關(guān)機(jī)前開(kāi)始機(jī)動(dòng)，即<(-)，則

(36)

最后，對(duì)(26)式兩邊分別對(duì)求導(dǎo)，可得關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)：

(37)

關(guān)于的導(dǎo)數(shù)恒大于0，即隨單調(diào)遞增。

33節(jié)推導(dǎo)得出對(duì)抗環(huán)境中的相對(duì)速度與最優(yōu)機(jī)動(dòng)時(shí)刻無(wú)關(guān)，但隨單調(diào)遞減。

在分析完感知變量的相關(guān)參數(shù)要求后，依據(jù)(31)式，分析彈道導(dǎo)彈如要實(shí)現(xiàn)可靠突防，應(yīng)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)、提出的要求：

(38)

(39)

且留有余量。

5 結(jié)論

本文針對(duì)彈道導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)突防中非常重要的兩個(gè)要素——機(jī)動(dòng)方向和機(jī)動(dòng)時(shí)刻，通過(guò)合理地彈道導(dǎo)彈—EKV運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建模與分析，給出了彈道導(dǎo)彈的最優(yōu)機(jī)動(dòng)突防策略。主要得出以下結(jié)論：

1)考慮實(shí)際對(duì)抗條件下，彈道導(dǎo)彈所能感知的相對(duì)位置和相對(duì)速度精度較低，所以彈道導(dǎo)彈的最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避方向可選取相對(duì)速度(位置)方向法平面內(nèi)的任意方向。