王 岳

(濟南職業(yè)學院，山東 濟南 250103)

近年來，教育部要求高校在各類課程教學中同時進行思政教學。為使各高校能更有效地進行課程思政建設(shè)，2020年5月，教育部專門發(fā)布了《高等學校課程思政建設(shè)指導綱要》。綱要中指出：要深入挖掘各類課程和教學方式中蘊含的思想政治教育資源，不斷完善課程思政工作體系、教學體系和內(nèi)容體系。

高職院校的高等課程屬于公共課，是通識教育的一部分，承載著更多育人的功能?！芭囵B(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰培養(yǎng)人”是教育的根本問題，教育工作中“立德樹人”的實施效果是檢驗學校所有工作的根本標準。因此，在高職院校數(shù)學課程的教學中，以高等數(shù)學課程思政的建設(shè)研究為抓手，研究數(shù)學課程思政建設(shè)的內(nèi)涵、實施策略、設(shè)計教學中適合的思政案例，是當前高等數(shù)學課程思政建設(shè)中必須解決的重要問題。對于高職數(shù)學老師而言，應(yīng)注重挖掘和數(shù)學課程相關(guān)的思政元素，設(shè)計適合的思政案例，有效融入教學，使課程思政自然地貫穿于數(shù)學教學始終，起到“潤物細無聲”的作用，這樣才能在數(shù)學課程教學中真正落實立德樹人的根本任務(wù)，厚植高等數(shù)學課程的思政育人情懷。

教學中結(jié)合高等數(shù)學課程思政的教學實踐，以思政案例研究為切入點，對高職院校的高等數(shù)學教學中“函數(shù)極限”“導數(shù)與微分”“積分及應(yīng)用”“常微分方程”這四大模塊重要內(nèi)容的教學進行案例設(shè)計、應(yīng)用分析。

一、極限思想中的數(shù)學文化

對于高等數(shù)學中非常重要的“極限”概念，在教學過程中，不僅要讓學生理解極限概念的本質(zhì)，還要使學生了解這一概念產(chǎn)生和發(fā)展的歷史背景，這樣更有利于加深學生對概念的理解和認識。我國早在戰(zhàn)國時期，就出現(xiàn)了“極限”的思想萌芽?！肚f子·天下》中有這樣一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”意思是：一根一尺長的木棒，每天截去其長度的一半，總會剩下一半，再截去剩下的這一半的一半……如此，可以無限地截下去。這句話恰恰反映了我國古人對“無窮”和“極限”的理解和認知水平，在當時，他們就已經(jīng)創(chuàng)造性地將極限的思想方法運用到數(shù)學之中。我國古人對極限思想的提出比西方早了500多年，我國古代數(shù)學所取得的成就是無比輝煌、偉大的。

極限理論在世界數(shù)學發(fā)展史上被不斷完善，成為微積分研究的基本工具。極限是高等數(shù)學的重要概念之一，它貫穿于高等數(shù)學課程的始終，是建立微積分學的理論基礎(chǔ)。教學中，在向?qū)W生給出極限的概念時，可以結(jié)合我國古代極限思想的萌芽與發(fā)展，引入并介紹劉徽提出的利用“割圓術(shù)”求圓的面積的方法，讓學生初步認識極限的思想，感受極限的變化，從而理解極限的概念。

在我國古代，數(shù)學發(fā)展到魏晉時期，數(shù)學家劉徽在為《九章算術(shù)》做注時，提出了一種求圓的面積的方法，稱之為“割圓術(shù)”。割圓術(shù)是通過對圓的內(nèi)接或外切多邊形窮竭的方法求圓的面積，是一種運用運動變化的觀點來研究問題的方法，是極限思想的完美體現(xiàn)。

教學中，我們可以結(jié)合圖形展示向?qū)W生介紹割圓術(shù)的基本思想[1]：利用正多邊形的邊數(shù)的增加，使正多邊形面積無限逼近圓的面積。割圓術(shù)的具體方法步驟為：在待求面積的圓內(nèi)先做內(nèi)接正三角形，將其面積記為A1，顯然，A1的面積和圓的面積差別比較大。再在正三角形基礎(chǔ)上對圓再進一步分割，又作圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記為A2，此時A2的面積比A1更接近圓的面積。為了使近似程度更高，繼續(xù)割圓，再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A3……不斷分割下去，把圓的內(nèi)接正3×2n-1邊形的面積記為An，這樣就得到一個數(shù)列A1,A2,A3,…,An。應(yīng)用割圓術(shù)時，圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷增多，其正多邊形的面積也越來越接近于我們要求的圓的面積。由此可以想象：當邊數(shù)n無限增大時，內(nèi)接正3×2n-1邊形的面積An會無限接近圓的面積A。常數(shù)A就稱之為數(shù)列{An}的極限。

在這個過程中，劉徽稱“割之彌細，所失彌少，割之彌割，以至不可割，則與圓周合體而無所失矣”。割圓術(shù)的方法反映了我國古人在解決問題時所呈現(xiàn)出的初步的極限思想。

古人利用割圓術(shù)，不僅求出了圓的面積，還求出了圓的周長。并且，割圓術(shù)為更精確計算圓周率提供了重要的方法。我國南北朝時期的數(shù)學家祖沖之，就以此為基礎(chǔ)進行了更深入的探索研究，最終求出了精確到了小數(shù)點后七位的圓周率。這兩位古代數(shù)學家在世界文明史上，為數(shù)學的發(fā)展做出了卓越的貢獻，他們是我們中華民族的驕傲。

這個案例，不僅僅用數(shù)形結(jié)合的方法讓學生認識、理解了極限的思想及應(yīng)用，還同時了解了數(shù)學史上極限思想的啟蒙和發(fā)展，以及我國古代數(shù)學家在極限的研究中所做出的貢獻。學生在數(shù)學學習中會產(chǎn)生較強的民族自豪感，增加文化自信，同時提高學習高等數(shù)學的興趣。

二、導數(shù)概念中的辯證思想

“導數(shù)”與“微分”的概念是《高等數(shù)學》課程中“一元函數(shù)微分學”中的重點，也是難點。同時導數(shù)又是函數(shù)的重要研究工具，有著廣泛的應(yīng)用。

在導數(shù)的教學中，很多概念和運算能體現(xiàn)出辯證法的思想，讓學生學會用辯證的思想方法去看待問題、分析解決問題，也是課程思政的一個重要內(nèi)容。

在“導數(shù)概念”的教學中，為引入“導數(shù)”這一重要的、抽象的概念，有一個經(jīng)典的引例，是通過研究“物體做變速直線運動時的瞬時速度”這一問題，給出了函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義。

對于一個做變速直線運動的物體，如果只知道其運動方程，直接去求解它在某一時刻的瞬時速度是比較困難的。我們可以在該時刻附近再取另一時刻，使二者形成一個時間段，先求這個小時間段內(nèi)的平均速度，然后再讓兩時刻無限接近，即讓小時間段的長度無限趨近于0。在這個非常微小的時間段內(nèi)，物體雖然做變速運動，但速度變化微乎其微。因此，小時間段內(nèi)的平均速度也就無限趨近于該時刻的瞬時速度。利用極限的思想，當自變量時間的增量趨近于0時，位移函數(shù)的增量與自變量時間的增量之比的極限，就是該時刻的瞬時速度。由這個引例，可以歸納出導數(shù)的概念。

對于這個引例，可以從辯證法的角度和學生一起進一步分析研究。物體做變速直線運動，速度隨時發(fā)生變化，其本質(zhì)是變化的過程，在問題研究過程中，我們將變化的量(瞬時速度)用不變的量(平均速度)來代近似代替，實現(xiàn)對變化過程的研究和突破，這正體現(xiàn)了變與不變的辯證唯物論的觀點。在很多問題的分析研究中，變化是絕對的，不變是相對的，變化和不變構(gòu)成了相互依賴并可以相互轉(zhuǎn)換的關(guān)系[2]。平時，我們面對變化無常的事物和生活，也應(yīng)該保持一種平和的心態(tài)去面對，以不變應(yīng)萬變，運用辯證法的思想，化解矛盾，解決問題，無限接近目標，最終實現(xiàn)理想。

三、極值中的人生哲理

“極值”是高等數(shù)學中的一個重要概念，是研究函數(shù)的局部變化，描述函數(shù)特征的常用工具。極值概念的教學，需要我們通過數(shù)形結(jié)合來進行展示和分析。

在極值概念的講解中，結(jié)合函數(shù)圖像，我們可以讓學生們一起回憶北宋文學家蘇軾在《題西林壁》中描寫廬山的經(jīng)典詩句：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中。”隨著觀察者所處位置和觀察角度的不同，廬山呈現(xiàn)的風貌各不相同，高高低低，變化萬千。而教學中我們給出的函數(shù)極值的圖形，正像廬山的山嶺一樣高低起伏，連綿不斷。重山之間，一個個頂峰處取得極大值，一處處山谷間出現(xiàn)極小值。

人生的軌跡也像這連綿不斷的函數(shù)曲線，起起落落，有低谷有高峰，這既是成長和成熟的需要，也是人生的必然之路。一方面看，低谷并不可怕，就像極小值，那只是臨時(局部)的，從長遠(整體)來看，那也許只是一時的波動，將來還會有高潮。任何時候都不要氣餒，不能放棄希望和努力；從另一方面看，一時的突出成績也不一定意味著達到了人生的頂峰，就像極大值未必是最大值。眼光仍要放長遠，也許我們還有機會登上更高的山峰，看到更美的風景。

數(shù)學中處處有哲學思想的展現(xiàn)，處處有思政元素的體現(xiàn)。極值概念的教學中，老師可以自然地引導學生結(jié)合自身情況來對極值的特點進行思考：生活中要保持一顆平和的心，不管是一時處于低谷還是頂峰，都只是人生路上的一個轉(zhuǎn)折點，未來還有無限可能。同時，鼓勵學生看問題還要學會從全局著眼，跳出局限的區(qū)域，看清事物的真相與全貌。

四、積分定義中的量變質(zhì)變

“無限細分，無限求和”是定積分的主要思想，運用它可以解決幾何、物理等學科中的諸多問題，因此積分學在社會各領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用。定積分是一個非常復雜、抽象的概念，也是一個非常容易結(jié)合實際進行思政教學的知識點。

教學中在引入定積分的概念時，常結(jié)合“求曲邊梯形的面積問題”這一典型引例。利用“分割、取近似、求和、取極限”四步走的方法分步去求一個直接求并不好求的總量，而最終得到的“乘積的和的極限值”即為定積分。

曲邊梯形求面積的方法與我國古代“曹沖稱象”的過程有類似之處，大象的體重不易直接去稱，便用總重量相同的眾多石塊來代替大象，最終全部石塊質(zhì)量的累計就是大象的體重。曹沖的方法非常巧妙，而且易于操作。

教學中我們可以引導學生對定積分的概念進行更深入的思考。兩個例子中解決問題的思想方法非常接近。不管是求曲邊梯形的面積，還是求大象的體重，整個過程都給了我們一個啟發(fā)：對于不易直接求解的量，可以先“化整為零 ”，再“積零為整”，轉(zhuǎn)化之后進而求解。

生活中很多復雜問題的處理亦是如此，比如，當我們需要解決的問題難度較大時，可以退一步，先尋找與之相接近的易于解決的問題，即先將復雜問題化整為零；再從簡單、熟悉的問題入手，一步一個腳印，腳踏實地向前邁進。每解決一個小問題，成功的喜悅將激發(fā)我們更大的潛能，以更加積極的態(tài)度和有效的方法去處理更復雜的情況，從中探求出適合的方法，最終將問題積零為整，使其由量變到質(zhì)變，從而實現(xiàn)終極目標。

定積分的概念雖然比較復雜，但主要體現(xiàn)了“化整為零、以直代曲、積零為整、無限細分”四步走的數(shù)學思想。其實質(zhì)也就是“從有限到無限，由量變到質(zhì)變，從近似到精確”的哲學思想。

五、微分方程中的預測應(yīng)用

高等數(shù)學的課程內(nèi)容中“微分方程”是在實際應(yīng)用中頻繁使用的一個重要概念。在很多領(lǐng)域的問題研究中，都需要建立微分方程模型，根據(jù)函數(shù)的變化速度研究函數(shù)的變化規(guī)律和特點，這一章內(nèi)容應(yīng)用性非常強。

教學中，首先我們要讓學生理解為什么要學習微分方程。自然界與人類社會中有許多的現(xiàn)象有一定的規(guī)律，這些規(guī)律需要以一種動態(tài)的方式描述。此時，最有效的數(shù)學工具就是微分方程，微分方程是對函數(shù)與其導數(shù)間關(guān)系的一種描述，它能夠刻畫函數(shù)的每一個動態(tài)變化過程，恰好能夠解決描述整個函數(shù)的變化問題。簡單說，我們學習微分方程，可以通過函數(shù)的變化率來研究整個函數(shù)。

從科學技術(shù)和社會發(fā)展需求的角度來看，之所以我們在科學研究和專業(yè)應(yīng)用中這么需要微分方程，本質(zhì)上是因為人類掌握的都是物體的局部規(guī)律，所以需要微分方程來描述這種局部規(guī)律，然后由局部規(guī)律反推整體變化，架起局部和整體之間的橋梁。這也體現(xiàn)了“由點及面，由局部到整體”的思維方法。

其次，我們要讓學生認識到學習微分方程，最重要的是學會以微分方程為研究工具，用數(shù)學的思維和方法去解決生活中和社會發(fā)展過程中的更多實際問題。

在“微分方程的應(yīng)用”的教學中，我們可以通過生活實例使學生了解微分方程在科學發(fā)展和社會進步中有著非常廣泛的應(yīng)用，它已滲透社會發(fā)展的各個領(lǐng)域，特別是在各行各業(yè)的預測、鑒定、推斷、分析等方面，微分方程優(yōu)勢盡顯。

在預測方面，利用微分方程模型不僅能預測我國的GDP數(shù)值，還可以預測人口變化趨勢、垃圾總量變化、臺風強度、一些刑事案件的發(fā)案時間等等，在醫(yī)學和刑偵等領(lǐng)域微分方程模型更是發(fā)揮了極其重要的作用。科學家們用微分方程建立傳染病模型，分析病毒傳播速度，預測感染人數(shù)，分析數(shù)據(jù)的規(guī)律性，這對傳染病防控工作有著重要的指導作用。在刑事偵查過程中，技偵人員和法醫(yī)的很多鑒定工作也是利用了微分方程模型，對數(shù)據(jù)進行分析、判斷，從而給出鑒定結(jié)論。

通過課堂上引入的社會發(fā)展過程中微分方程的應(yīng)用實例，學生們對這部分知識能解決的實際問題會有更直觀的認識，從而提高他們在學習和探究方面的興趣和積極性。在問題解決的過程中，學生能充分感受到社會的發(fā)展和建設(shè)都離不開科學的方法和理論，只有掌握一定的科學知識，養(yǎng)成良好的科學素養(yǎng)，才能更高效地解決生產(chǎn)和生活中的各類問題。

學生在學習過程中，有思考和感悟，才能樹立正確的人生觀、世界觀和價值觀；學生在處理問題時，能透過現(xiàn)象看本質(zhì)，掌握事物的發(fā)展規(guī)律，才能培養(yǎng)良好的科學素養(yǎng)和分析問題、解決問題的能力。在高等數(shù)學課程的學習中，如果學生們能有深入的思考和美好的體驗，那么，我們的數(shù)學課程就是一門有知識、有溫度、有情懷的課程，我們的課程思政建設(shè)和思政案例設(shè)計就是有效的、成功的。