劉健康

【摘要】GeoGebra（簡稱GGb），作為功能強大的數(shù)學(xué)制圖工具，具有動態(tài)、可視化的特點，能夠很好地將高中數(shù)學(xué)中比較抽象、空間思維強的知識點以一種真實的情景再現(xiàn)。動態(tài)的過程演變，可變化的形式展現(xiàn)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，快速理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。目前，GGb在我國得到廣泛的運用和推廣。本文根據(jù)高三數(shù)學(xué)教學(xué)的積累，從幾個實例闡述GGb在高三數(shù)學(xué)教學(xué)上的應(yīng)用，提高教學(xué)效率。

【關(guān)鍵詞】GGb;高三數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)教學(xué)

信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)的融合，是改變傳統(tǒng)教學(xué)模式的重要舉措。目前的教學(xué)中，部分老師對教育信息化發(fā)展的重要性存在認(rèn)識不足，個別老師還堅持“粉筆+教材”的傳統(tǒng)模式，有的老師只會點擊教輔的PPT，不做改動和選擇，有的條件好的學(xué)校提供希沃白板設(shè)備，老師也就只是用來代替粉筆書寫。這些缺乏主動意識的行為，導(dǎo)致課堂質(zhì)量、效率及效果較低。隨著國家“雙減”政策的實施，提高課堂教學(xué)效率、效果勢在必行。

GGb是一個動態(tài)幾何軟件。教師可以通過操作GGB 的滑動條、動點、制作動畫讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)動態(tài)的過程，在掌握數(shù)學(xué)知識的過程中體會數(shù)形結(jié)合的樂趣。利用GGB 使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生以及問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析以及解決的過程。利用3D 繪圖區(qū)，增加立體幾何教學(xué)的直觀性，降低抽象難度，減少學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的障礙，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)抽象思維的同時減少學(xué)生學(xué)習(xí)的畏難情緒。

一、GGb軟件在高三數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用

在高三教學(xué)中，概念復(fù)習(xí)教學(xué)特別重要，教師應(yīng)該從多角度充分揭示概念的內(nèi)涵和外延，引導(dǎo)學(xué)生對概念進行本質(zhì)的理解和提升。眾所周知，三角函數(shù)線這個概念是個教學(xué)難點，學(xué)生普遍感覺困難，新教材也意識到這一點。其實三角函數(shù)線就是三角函數(shù)的幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中代數(shù)與幾何的交匯，有數(shù)形結(jié)合的思想運用。有了GGb，我們可以結(jié)合動態(tài)展現(xiàn)，根據(jù)學(xué)生已學(xué)向量知識，更清晰掌握這個概念。

第一，設(shè)計意圖：角α的正弦值，余弦值，正切值都是“數(shù)”，而對應(yīng)正弦線、余弦線、正切線都是“形”。通過 GGb 的動態(tài)呈現(xiàn)，步步有據(jù)，形象直觀，可以得到結(jié)論：任意角α的三角函數(shù)線就是對應(yīng)的向量，這些向量的數(shù)值就是對應(yīng)的角α的三角函數(shù)值。

第二，技術(shù)操作。如圖1所示：（1）用畫圓工具做出單位圓;（2）用描點工具在單位圓上任取點B;（3）用直線工具做出射線OD，向量CB，OC，DG;（4）點擊B點屬性，開啟動畫。

圖1

第三，操作點評。制圖時要注意角α旋轉(zhuǎn)到第二、三象限時，正切線是反向延長的相交。讓學(xué)生密切注意動點所在的位置。對每一個象限的特征加以區(qū)別，讓學(xué)生通過觀察后，主動描述三角函數(shù)線的概念。

通過以上的教學(xué)過程，將數(shù)學(xué)概念動態(tài)化、直觀化，有效幫助學(xué)生理解概念本質(zhì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力和主動探究意識。通過促進學(xué)生形象思維的培養(yǎng)，進一步發(fā)展邏輯思維。

二、GGb 軟件在高三數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

在高三教學(xué)中，立體幾何一直是高考的重點。需要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，掌握空間里點、線、面的原理，表達和位置關(guān)系，熟悉柱體、錐體、臺體和更多組合幾何體的結(jié)構(gòu)，還需要從坐標(biāo)代數(shù)的角度進行各種距離、角度的計算，同時探索動態(tài)情況下的最值變化。學(xué)生空間思維能力不足，平面與空間的轉(zhuǎn)換方面有困難，學(xué)生如果不能夠正確理解立體幾何各定理，不能梳理好他們之間的關(guān)系，會導(dǎo)致學(xué)生思維受局限，不能正確全面認(rèn)識立體圖形，就無法做出正確的證明和計算。以例1的教學(xué)為例。

例1：已知P，A，B，C，D是球O上的五個點，在四邊形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=2，DC=PA=4，PA⊥面ABCD。求球O的體積。

學(xué)情分析：底面是等腰梯形，需要底面外接圓，部分學(xué)生無法正確作出，不能判斷圓心位置，大部分學(xué)生沒有尋找球心位置的正確方向，不會用球心和圓心的連線垂直外接圓面的關(guān)系。

解決辦法：用GGb畫出底面外接圓，讓學(xué)生體會外接圓圓心的位置，引導(dǎo)學(xué)生證明圓心是BC的中點，再用GGb找出球心位置，讓學(xué)生充分認(rèn)識立體結(jié)構(gòu)、線面關(guān)系，找到計算球半徑的三角形。

技術(shù)操作：如圖2所示：（1）在3D繪圖區(qū)用描點工具找到五個點，用錐體工具連成棱錐;（2）用作圓工具點擊A，B，C三點做出外接圓，確定圓心;（3）用垂線工具點擊圓心，外接圓面，作出垂線，再過P點做剛才垂線的垂線;（4）用中點工具確定球心，用多邊形工具連接球心，圓心，球面上點，連成三角形;（5）三角形中的計算球半徑。

操作點評：在用GGb 展示知識重難點的同時，還要注意課件中的顏色搭配以及信息布局，讓學(xué)生可以一眼就抓住課件中所要呈現(xiàn)的重要信息，形成記憶點。其次，還可以通過GGb的復(fù)原、重復(fù)、隱藏、顯示、拖動和動畫，配合生動有趣的語言對學(xué)生進行教學(xué)、反饋和探索。教學(xué)中，應(yīng)把學(xué)生的直觀感受擺在重要位置，充分調(diào)動學(xué)生的感覺器官，讓學(xué)生能夠?qū)⒆约旱闹庇^感受作為出發(fā)點，概括出現(xiàn)象的本質(zhì)及其規(guī)律。

三、GGb 軟件在高三數(shù)學(xué)綜合能力教學(xué)中的應(yīng)用

新課標(biāo)提出數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析。其中，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，發(fā)展形象思維、抽象思維是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容?！陡咧袛?shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提到注重信息技術(shù)和數(shù)學(xué)課程的有機整合，課堂上要盡可能使用多媒體設(shè)備、教學(xué)工具等，將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀展現(xiàn)，營造輕松愉悅的多媒體教學(xué)環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，提高空間想象能力。以例2的教學(xué)為例。

例2：已知M為函數(shù)y=8/x?的圖像上任意一點，過M作直線MA，MB分別與圓x+y=1相切于A，B兩點，則原點O到直線AB的距離最大值為（? ? ）。

A.1/8?B.1/4? ?C. 根號2/2? D.根號2/24

學(xué)情分析：學(xué)生會習(xí)慣設(shè)M（x，y），做出圓的兩條切線后，不能準(zhǔn)確求出直線AB的方程，從而用點到直線的距離公式解決不了問題?；蛘邥]有根據(jù)去猜測動點M的位置。

解決辦法：用GGb做出動態(tài)圖，在變化過程中顯示原點O到直線AB的距離的變化狀態(tài)和規(guī)律，體會M點的特殊位置，激發(fā)探索的興趣。教師再從代數(shù)和幾何兩方面培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，第一，用代數(shù)變換學(xué)習(xí)切點弦的求法，再用點到直線的距離公式，最后結(jié)合基本不等式知識。第二，從幾何角度，發(fā)現(xiàn)直角三角形中的射影定理，得到點到直線的距離和OM長度的關(guān)系，利用M點在曲線上，基本不等式求出最值。

技術(shù)操作：如圖3所示：（1）用畫圖工具做出單位圓;（2）直接輸入函數(shù)y=8/x，可以立即顯示曲線圖像;（3）用描點工具在y=8/x圖像上任取點M;（4）用作切線工具，點擊點M和圓O可作兩條切線;（5）用直線工具做出各條線段，標(biāo)明垂直90度;（6）點擊點M的屬性，開啟動畫（也可以用滑動桿控制或者復(fù)選框）。

操作點評：GGb軟件的視圖工具、操作過程的功能，能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維過程，活躍課堂氛圍、提高學(xué)生參與度，但是課堂教學(xué)最后還是以學(xué)生為主體，信息技術(shù)是輔助手段，融合得很好，恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計會效果顯著。演示的同時，教師要注意及時引導(dǎo)和歸納，最后形成知識點的傳授，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。

四、GGb 軟件在高三數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用意義和展望

多元表征理論提出：信息、資源（如數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)問題）通過建構(gòu)心像碼，擔(dān)任“橋梁”角色，對信息進行編碼和形成多種轉(zhuǎn)譯方式，從而呈現(xiàn)對信息的多元化的表征。高三數(shù)學(xué)教學(xué)是多個模塊知識點的綜合復(fù)習(xí)，可以用文字語言、符號語言以及圖像來表征，這樣通過多種表征方式能夠促進學(xué)習(xí)者深刻理解增函數(shù)概念的本質(zhì)，有利于培養(yǎng)學(xué)習(xí)者學(xué)會多角度、多方位、多種思路解決問題的習(xí)慣，在學(xué)習(xí)學(xué)科知識的同時，也可以進行美育的間接培養(yǎng)。

可視化技術(shù)通過將抽象的、復(fù)雜的知識或信息利用直觀的圖像或圖形呈現(xiàn)出來，以幫助學(xué)生快速地理解內(nèi)容、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、交流信息。高三數(shù)學(xué)可視化教學(xué)就是將抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象（概念原理、結(jié)構(gòu)關(guān)系、思想方法等）用可看見的表征形式（圖形、圖像、動畫等）清楚直白地呈現(xiàn)出來，使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象有一個形象、直觀、整體的認(rèn)識和理解。

最新的人教A版和人教B版高中數(shù)學(xué)教材中，以GGb軟件為載體，介紹了如何利用計算機技術(shù)實現(xiàn)數(shù)學(xué)功能，并開展相應(yīng)的教學(xué)活動。所以教師需要主動學(xué)習(xí)，通過論文、書籍、豐富的在線資源學(xué)習(xí)，還可以通過社交群體、區(qū)域教研、公開課等方式進一步學(xué)習(xí)GGb，各級教育部門非常重視，一批優(yōu)秀老師通過實踐取得了很好的成績，各種培訓(xùn)推廣活動頗有成效。在高三數(shù)學(xué)教學(xué)中，平面幾何、函數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何與GGb軟件的融合應(yīng)用比較多，在概率統(tǒng)計上相對不足。同時我們還需要注意現(xiàn)在的學(xué)生本身GGb知識不足夠，而且暫時作為主體的參與度不高，學(xué)生只是感官上觀察、體會，所以在課堂教學(xué)中，我們不能唯“技術(shù)論”，用好GGb軟件這個輔助，全方位去提高課堂效率。

綜上所述，高三數(shù)學(xué)就是幾何、代數(shù)的組合體。在高三數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要思想。GGb軟件幫助數(shù)學(xué)教師豐富教學(xué)方法，通過有效的教學(xué)促進學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。應(yīng)用GGB軟件輔助高三數(shù)學(xué)教學(xué)，可以降低學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)求知欲，給數(shù)學(xué)教學(xué)改革注入了新的活力。

參考文獻：

[1] 項俊.GGb軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究[J] .上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（4）：25-27.

[2] 彭淑琴.基于GGb的中學(xué)數(shù)學(xué)可視化研究[J] .陜西理工大學(xué)，2020.

[3] 劉怡軒.GGb在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與展望[J] .中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（5）.

3201501908274