呂增鋒 楊潔

【摘 要】教師探究教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的缺乏已經(jīng)成為阻礙數(shù)學(xué)探究活動(dòng)順利實(shí)施的重要因素。高中數(shù)學(xué)教材“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目的教學(xué)實(shí)踐有助于教師積累數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，其教學(xué)過程經(jīng)過遷移后可為數(shù)學(xué)探究活動(dòng)所用，從而達(dá)到以“微探究”撬動(dòng)“大探究”的實(shí)踐效果。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)探究;數(shù)學(xué)育人;方向向量;參數(shù)方程

【作者簡介】呂增鋒，正高級(jí)教師，甬城教育名家，寧波市領(lǐng)軍拔尖人才;楊潔，一級(jí)教師，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)建模與解題研究。

【基金項(xiàng)目】2021年浙江省教研課題“指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)建模課程開發(fā)與實(shí)踐研究”（G2021074）

自2006年9月起，人教A版高中數(shù)學(xué)教材就增加了“探究與發(fā)現(xiàn)”這一欄目。雖然“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目是數(shù)學(xué)知識(shí)的延伸與拓展，不僅蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)問題，而且隱藏著眾多的數(shù)學(xué)思想方法，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力與理性思維的重要載體，但由于該欄目在數(shù)學(xué)主體知識(shí)之外，很多內(nèi)容并不在高考范圍內(nèi)，因此并沒有引起廣大一線教師的重視，甚至有的教師認(rèn)為“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目是多余的。隨著新課程改革的深入，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)正式進(jìn)入課堂，為此，新課程標(biāo)準(zhǔn)還專門為該內(nèi)容的學(xué)習(xí)安排了10個(gè)課時(shí)。數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是研究數(shù)學(xué)內(nèi)部問題的綜合實(shí)踐活動(dòng)，它需要學(xué)生具備敏銳的問題意識(shí)，熟悉數(shù)學(xué)研究方法，而這些能力一般學(xué)生都很難達(dá)到。那么，“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目與“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”到底有何關(guān)聯(lián)？如何實(shí)現(xiàn)從“探究與發(fā)現(xiàn)”到“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”的跨越？筆者對(duì)此進(jìn)行研究，以期為教師教學(xué)提供參考。

一、“探究與發(fā)現(xiàn)”的數(shù)學(xué)主題與分類

通過對(duì)5冊(cè)人教A版高中數(shù)學(xué)新教材（以下簡稱人教A版新教材）進(jìn)行梳理，筆者發(fā)現(xiàn)一共設(shè)置了11次“探究與發(fā)現(xiàn)”（ 其中“*”表示2007年人教版高中數(shù)學(xué)教材也有同樣的內(nèi)容），見表1。其中必修第一冊(cè)中的“探究與發(fā)現(xiàn)”出現(xiàn)的次數(shù)最多，達(dá)到了4次，占比超過36.3;而選擇性必修第二冊(cè)出現(xiàn)的次數(shù)最少，只有1次。

從探究活動(dòng)的內(nèi)容來看，“探究與發(fā)現(xiàn)”的主題可以分為知識(shí)拓展類、數(shù)學(xué)應(yīng)用類、思想方法類、數(shù)學(xué)史類等。例如，“互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系”“為什么y=±bax是雙曲線x2a2-y2b2=1的漸近線”屬于知識(shí)拓展類;“利用單位圓的性質(zhì)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)”屬于數(shù)學(xué)應(yīng)用類;“牛頓法——用導(dǎo)數(shù)方法求方程近似解”則屬于數(shù)學(xué)思想方法類;“祖暅原理與柱體、錐體的體積”既蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)史實(shí)，又體現(xiàn)了微積分思想及其應(yīng)用。因此，它兼具數(shù)學(xué)應(yīng)用類、思想方法類與數(shù)學(xué)史類的特點(diǎn)。從探究活動(dòng)的完成方式來看，“探究與發(fā)現(xiàn)”的主題可以分為交流型數(shù)學(xué)探究、調(diào)查型數(shù)學(xué)探究以及實(shí)驗(yàn)型數(shù)學(xué)探究[1]。從探究活動(dòng)的開放水平來看，“探究與發(fā)現(xiàn)”的主題還可以分為問題起始型探究、證據(jù)起始型探究、結(jié)論起始型探究、論證起始型探究[2]。當(dāng)然，“探究與發(fā)現(xiàn)”的主題還有其他的分類方法，在此不再贅述。

二、以“微探究”撬動(dòng)“大探究”

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是高中數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式，它是指學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程。但在教學(xué)實(shí)踐中，由于缺乏數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的實(shí)施經(jīng)驗(yàn)，從而出現(xiàn)探究主題不明確、教師過度干預(yù)、過程流于形式、思維深度不夠等現(xiàn)象，而“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目的開設(shè)有助于扭轉(zhuǎn)這一局面。

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是一項(xiàng)數(shù)學(xué)研究活動(dòng)，其過程包括：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論。例如，在人教A版新教材必修第二冊(cè)“用向量法研究三角形的性質(zhì)”的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，教材不僅設(shè)計(jì)了完整而系統(tǒng)的探究任務(wù)，即從研究的思路、內(nèi)容、方法等角度對(duì)初中研究三角形的過程進(jìn)行梳理，用向量方法對(duì)已有的結(jié)論進(jìn)行證明，總結(jié)向量方法處理幾何問題的基本程序，立足向量視角發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)結(jié)論等，而且還規(guī)定了探究的具體要求，即小組集體討論探究方案，確定研究思路;以專題作業(yè)的形式撰寫研究報(bào)告;完善研究成果，全班進(jìn)行成果交流、評(píng)價(jià)等。

從字面上看，“探究”“發(fā)現(xiàn)”是并列關(guān)系，即探究的過程也是試圖發(fā)現(xiàn)的過程，相比數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，明顯少了一些復(fù)雜性和系統(tǒng)性。如果說數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是對(duì)數(shù)學(xué)問題的一次“大探究”“大發(fā)現(xiàn)”，那么探究與發(fā)現(xiàn)充其量就是一次“微探究”“小發(fā)現(xiàn)”，例如，“互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系”就是為了發(fā)現(xiàn)“互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱”這一基本事實(shí);“方向向量與直線的參數(shù)方程”就是在向量視角下推導(dǎo)直線的參數(shù)方程。因此，問題指向明確、探究任務(wù)簡單是探究與發(fā)現(xiàn)的典型特征。

雖然數(shù)學(xué)探究活動(dòng)立足于數(shù)學(xué)的宏觀研究，探究與發(fā)現(xiàn)針對(duì)的是數(shù)學(xué)的微觀結(jié)論，但兩者都是探究式學(xué)習(xí)。無非是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)學(xué)生自主探究多，教師干預(yù)少，探究活動(dòng)貫穿在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中;探究與發(fā)現(xiàn)更多是在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行有序探究，探究任務(wù)簡單，相對(duì)容易完成。探究與發(fā)現(xiàn)的開展可以為數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的實(shí)施積累寶貴的經(jīng)驗(yàn)，其教學(xué)過程經(jīng)過遷移后可為數(shù)學(xué)探究活動(dòng)所用，從而達(dá)到以“微探究”撬動(dòng)“大探究”的實(shí)踐效果。

三、從“探究與發(fā)現(xiàn)”走向“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”

基于“微探究”服務(wù)于“大探究”的認(rèn)識(shí)，“探究與發(fā)現(xiàn)”在教學(xué)目標(biāo)的定位上應(yīng)該立足數(shù)學(xué)探究的育人功能，在教學(xué)流程上要凸顯數(shù)學(xué)探究的過程，在教學(xué)評(píng)價(jià)上要力求數(shù)學(xué)探究成果的多樣性，從而實(shí)現(xiàn)“探究與發(fā)現(xiàn)”與“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”的無縫對(duì)接。接下來，筆者以人教A版新教材選擇性必修第一冊(cè)的“方向向量與直線的參數(shù)方程”為例，談?wù)劸唧w的做法。

（一）分析探究材料的育人功能

與一般的教學(xué)內(nèi)容不同，“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目中的材料一般都具有較強(qiáng)的綜合性和研究性，問題的解決思路往往直指核心素養(yǎng)的中樞。因此，“探究與發(fā)現(xiàn)”教學(xué)設(shè)計(jì)不能被零碎的知識(shí)點(diǎn)所束縛，對(duì)于探究材料的解讀，教師不僅要關(guān)注“四基”“四能”，還要著重分析其潛在的育人功能，以育人功能來統(tǒng)領(lǐng)知識(shí)點(diǎn)與數(shù)學(xué)思想方法，從而有效設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，這樣才能更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的應(yīng)有價(jià)值。

探究材料的“方向向量與直線的參數(shù)方程”，從內(nèi)容上看是借助直線的方向向量來推導(dǎo)直線的參數(shù)方程，但推導(dǎo)過程中卻蘊(yùn)含著豐富的育人功能。首先，向量的工具作用得到進(jìn)一步凸顯。學(xué)生通過之前的學(xué)習(xí)已經(jīng)知道向量能夠作為研究平面幾何與立體幾何的工具，而通過這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)之后，發(fā)現(xiàn)解析幾何也可以借助向量進(jìn)行研究。其次，聯(lián)系的觀點(diǎn)得到進(jìn)一步加強(qiáng)。不僅向量與幾何存在聯(lián)系，參數(shù)方程與普通方程，以及數(shù)學(xué)與物理也有聯(lián)系。再次，整體與局部的視角轉(zhuǎn)化開始啟動(dòng)。例如在物理學(xué)習(xí)中，我們往往會(huì)把復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)分解為簡單的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究，如在研究平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們將其分解成水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)。同樣，在數(shù)學(xué)中，有時(shí)直接推導(dǎo)曲線的普通方程比較困難，而推導(dǎo)參數(shù)方程則比較容易，所以可先求參數(shù)方程，然后再把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，這種以局部來刻畫整體的研究思路可以起到化繁為簡、化難為易的效果。最后，“運(yùn)動(dòng)中的不變性”的核心思想開始萌發(fā)。這個(gè)思想是解析幾何中曲線方程的推導(dǎo)依據(jù)，在此之前教材并沒有明確給出“直線”的幾何定義，而方向向量及物理勻速運(yùn)動(dòng)的介入，直線就可以看成是質(zhì)點(diǎn)按照給定的方向勻速運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡。

（二）對(duì)探究材料進(jìn)行再加工

教材中探究材料的來源一般有四個(gè)途徑：一是課堂教學(xué)內(nèi)容的自然延伸;二是對(duì)實(shí)際生活的思考;三是不同數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系和類比;四是數(shù)學(xué)與其他學(xué)科內(nèi)容的交叉。但受到教材的篇幅限制，探究材料的內(nèi)容往往比較精簡，比如，“互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系”只占不到半頁的篇幅，而“方向向量與直線的參數(shù)方程”最多占了一頁的篇幅。因此，單憑這些材料本身是不足以構(gòu)成一節(jié)完整的數(shù)學(xué)探究課的，這就需要教師圍繞探究材料的育人功能，對(duì)探究材料進(jìn)行再加工。

在“方向向量與直線的參數(shù)方程”中，教材重點(diǎn)關(guān)注直線參數(shù)方程的推導(dǎo)，以及參數(shù)方程和普通方程的相互轉(zhuǎn)化，而對(duì)于為什么要學(xué)參數(shù)方程？參數(shù)方程有什么用？直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及應(yīng)用等關(guān)鍵問題卻沒有進(jìn)行解釋。如果直接照搬教材內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，只能讓學(xué)生“知其然”，而“不知其所以然”，更是無法“知何由以知其所以然”，這不僅不利于學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的激發(fā)，而且無法發(fā)揮本節(jié)課的育人功能。因此，把教材缺失的內(nèi)容補(bǔ)足并進(jìn)行再加工是開展“探究與發(fā)現(xiàn)”教學(xué)的關(guān)鍵，它考驗(yàn)了教師創(chuàng)造性使用教材的水平。本節(jié)課補(bǔ)充的內(nèi)容具體見表2。

（三）設(shè)計(jì)問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)進(jìn)程

問題是數(shù)學(xué)探究的驅(qū)動(dòng)力，是幫助學(xué)生完成探究學(xué)習(xí)的腳手架。教師可先把課堂教學(xué)分為若干個(gè)環(huán)節(jié)，然后圍繞著這些環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)一個(gè)個(gè)相對(duì)獨(dú)立卻又緊密聯(lián)系的問題，最后通過對(duì)這些問題的思考來推進(jìn)學(xué)生的探究學(xué)習(xí)?！胺较蛳蛄颗c直線的參數(shù)方程”這節(jié)課主要由引入、推導(dǎo)、辨析、應(yīng)用四個(gè)環(huán)節(jié)組成，其問題設(shè)計(jì)如下。

環(huán)節(jié)一：引入

在物理學(xué)中，對(duì)于復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)往往被分解為簡單的運(yùn)動(dòng)加以研究，比如，平拋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)軌跡是比較復(fù)雜的拋物線（部分），物理學(xué)家在研究該運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常把它分解為水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)。在數(shù)學(xué)中，有些曲線的軌跡方程很難直接表示為關(guān)于x，y的普通方程，而是把x與y分別表示出來，比如，圓的擺線方程通常被表示為x=r（θ-sinθ）y=r（1-cosθ），這個(gè)方程最大的特點(diǎn)是分別呈現(xiàn)了x，y與參數(shù)θ之間的關(guān)系，而沒有給出x，y之間的直接關(guān)系，我們把這一類方程稱作參數(shù)方程。

問題1-1 為什么平拋運(yùn)動(dòng)可以被分解為水平和豎直方向的運(yùn)動(dòng)？（平面向量基本定理）

問題1-2 參數(shù)方程具有怎樣的特點(diǎn)？（方程組形式，以參數(shù)作為連接x，y之間的橋梁）

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)中速度的分解與合成的探究，教師既讓學(xué)生了解了參數(shù)方程的現(xiàn)實(shí)背景，又讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)參數(shù)方程的意義。

環(huán)節(jié)二：推導(dǎo)

前面學(xué)習(xí)了直線的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式等多種形式的方程，這些方程都是對(duì)x，y之間關(guān)系的直接反映，這類方程都被稱為普通方程。接下來教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)直線的參數(shù)方程。

問題2-1 確定一條直線需要什么條件？[一個(gè)點(diǎn)P0（x0，y0）與一個(gè)方向]

問題2-2 如何表示直線的方向？（方向向量v→）

問題2-3 直線與方向向量存在什么關(guān)系？（P0P=tv→）

問題2-4 方向向量能進(jìn)行分解嗎？（按照坐標(biāo)系進(jìn)行正交分解）

問題2-5 根據(jù)直線與方向向量的關(guān)系，你能給出直線的幾何定義嗎？（以一個(gè)定點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，按照固定的方向向兩邊無限延伸形成的軌跡為直線。）

問題2-6 直線的參數(shù)方程以什么作為參數(shù)比較合適？（t）

問題2-7 如何借助方向向量推導(dǎo)直線的參數(shù)方程？[設(shè)方向向量為v→=（m，n），直線上任意一點(diǎn)為P（x，y），則由向量共線的充要條件P0P=tv→，得

x=x0+mty=y0+nt

（t為參數(shù)）。]

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)方向向量與直線普通方程、參數(shù)方程關(guān)系的探究，教師讓學(xué)生體會(huì)方向向量在形成直線軌跡中所起的決定性作用。同時(shí)，在推導(dǎo)參數(shù)方程的過程中，凸顯了參數(shù)的幾何意義，學(xué)生體會(huì)到參數(shù)的媒介作用。

環(huán)節(jié)三：辨析

問題3-1 如何驗(yàn)證方程x=x0+mty=y0+nt（t為參數(shù)）表示的是直線方程？（進(jìn)行純粹性與完備性證明）

問題3-2 直線的參數(shù)方程與物理學(xué)中勻速運(yùn)動(dòng)有什么關(guān)系？[質(zhì)點(diǎn)以速度v→=（m，n）勻速運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線（射線），而這種運(yùn)動(dòng)可以被看作是水平與垂直方向兩種運(yùn)動(dòng)的合成。]

問題3-3 直線的參數(shù)方程唯一嗎？請(qǐng)舉例說明。（由于直線方向向量不唯一，因此直線的參數(shù)方程也不唯一。）

問題3-4 直線的參數(shù)方程與普通方程可以相互轉(zhuǎn)化嗎？（可以通過消參相互轉(zhuǎn)化）

問題3-5 直線的參數(shù)方程有沒有更好的表示形式？[引入方向向量v→=（cosθ，sinθ），其中θ是直線的傾斜角，則直線的參數(shù)方程可以表示為x=x0+tcosθy=y0+tsinθ（t為參數(shù)），這樣不僅可以從參數(shù)方程中獲得傾斜角的大小，而且還滿足|t|=|P0P|。]

【設(shè)計(jì)意圖】借助勻速運(yùn)動(dòng)揭示直線參數(shù)方程與普通方程的內(nèi)在聯(lián)系，教師讓學(xué)生學(xué)會(huì)將參數(shù)方程與普通方程進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。在探究參數(shù)的幾何意義的過程中，教師讓學(xué)生知道參數(shù)并不是唯一的。

環(huán)節(jié)四：應(yīng)用

問題4-1 寫出經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）且傾斜角為60°的直線參數(shù)方程。

問題4-2 已知直線的參數(shù)方程為x=-1+ty=1+3t（t為參數(shù)），求直線的傾斜角。

問題4-3 已知直線的參數(shù)方程為x=-1+12ty=1+32t（t為參數(shù)），求直線上到點(diǎn)（-1，1）距離為2的點(diǎn)的坐標(biāo)。

【設(shè)計(jì)意圖】教師讓學(xué)生能夠利用傾斜角寫出直線的參數(shù)方程，反之，能夠通過直線的參數(shù)方程求直線的傾斜角，同時(shí)體會(huì)參數(shù)方程在運(yùn)算中的簡化作用。

波利亞認(rèn)為，學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑都是由自己去發(fā)現(xiàn)、探究，因?yàn)檫@種理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。數(shù)學(xué)探究活動(dòng)就是一次奇妙的發(fā)現(xiàn)之旅、研究體驗(yàn)和試錯(cuò)經(jīng)歷，對(duì)學(xué)生來說彌足珍貴。當(dāng)前實(shí)施數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的焦點(diǎn)已不在于理論層面的“應(yīng)然性”探討，而在于具體教學(xué)行為中的“實(shí)然性”操作[3]。“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目不僅是教材的重要組成部分，還是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)走向“實(shí)然”的“敲門磚”。

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（責(zé)任編輯：陸順演）