項麗紅 逯彥周

(甘肅省永登縣第六中學 730300)

向量理論具有深刻的數學內涵和豐富的物理背景.向量具有幾何與代數雙重屬性，是溝通幾何與代數的橋梁，同時高中的平面向量知識是進一步學習高等數學的基礎.2012年—2021年十年間，我國高考數學命題經歷了考試大綱、課程標準并存指導，到終止考試大綱，完全依據課程標準的過程.對這十年高考數學全國卷中的平面向量試題在宏觀層面從類型、題數、分值、難易程度進行統(tǒng)計分析，在微觀層面從試題考查知識點、融合其他知識點進行統(tǒng)計分析，并以此為依據對教師教學提出一些建議.

1 十年高考全國卷平面向量試題宏觀統(tǒng)計分析

以2012—2021十年高考全國卷(共29套)中的平面向量試題(共38道)為研究對象，將38道平面向量試題從宏觀層面按類型、題數、分值、難易程度進行統(tǒng)計，結果如表1所示.從類型看，38道題目中，選擇題共20道，填空題共14道，解答題共4道，占比分別為52.6%、36.9%、10.5%.從題數看，29套試卷中，21套試卷的平面向量試題均為1道，占比72.4%，分值為5分；4套試卷的平面向量試題均為2道，占比13.8%，分值為10分；3套試卷的平面向量試題均為2道，占比10.3%，分值為17分；僅有1套試卷中平面向量試題為3道，分值為22分.從難易程度看，38道試題中，難度為易、中的試題分別為20道、12道，占比分別為52.6%、31.6%，較難題為6道，占比15.8%.

表1 2012—2021全國卷平面向量試題統(tǒng)計

年份卷別選擇題填空題解答題題目數量分值易中難2012全國大綱卷1151新課標卷11512013全國大綱卷221011新課標Ⅰ卷1151新課標Ⅱ卷11512014全國大綱卷1151新課標Ⅰ卷112102新課標Ⅱ卷11512015新課標Ⅰ卷221011新課標Ⅱ卷11512016新課標Ⅰ卷1151新課標Ⅱ卷1151新課標Ⅲ卷1151

續(xù)表

年份卷別選擇題填空題解答題題目數量分值易中難2017新課標Ⅰ卷1151新課標Ⅱ卷112172新課標Ⅲ卷11512018新課標Ⅰ卷22102新課標Ⅱ卷1151新課標Ⅲ卷11217112019新課標Ⅰ卷11132212新課標Ⅱ卷1151新課標Ⅲ卷11512020新課標Ⅰ卷1121711新課標Ⅱ卷1151新課標Ⅲ卷11512021全國甲卷1151全國乙卷1151新高考Ⅰ卷1151新高考Ⅱ卷1151

2 十年高考全國卷平面向量試題微觀知識點分析

2.1 試題考查知識點統(tǒng)計分析

將平面向量試題考查知識點按照線性運算及其幾何意義、向量平行、平面向量基本定理、平面向量的數量積及模與夾角、向量垂直、平面向量坐標運算進行統(tǒng)計(只要試題有體現就計數)，結果如表2所示.由表2知，38道試題中，考查線性運算及其幾何意義、平行、垂直、平面向量基本定理、數量積及模與夾角的試題分別有5道、4道、5道、4道、14道，占比分別為13.2%、10.5%、13.2%、10.5%、36.8%；考查線性運算、平行、垂直、數量積及模與夾角的坐標運算的試題分別有10道、4道、6道、17道，占比分別為26.3%、10.5%、15.8%、44.7%.總的來看，考查線性運算、平行、垂直、數量積及模與夾角的分別有15道、8道、11道、31道，占比分別為39.5%、21.0%、29.0%、81.5%.

表2 2012—2021全國卷平面向量試題考查知識點統(tǒng)計

知識點線性運算及其幾何意義平行基本定理數量積、模、夾角垂直坐標運算線性平行數量積、模、夾角垂直考查題數544145104176

在38道平面向量試題中，28道只考查了平面向量內容的知識點，沒有與其他知識融合,且絕大多數試題考查知識單一，屬于簡單題.如：

例1

(2021年全國甲卷第14題)已知向量=(3,1),=(1,0),=+

k

.若⊥，則

k

=

.

分析 本題考查平面向量的坐標運算，平面向量垂直的條件，屬于基礎題.易求得

例2

(2017年全國Ⅰ卷第13題)已知向量,的夾角為60°，||=2，||=1，則|+2|=

.分析 本題考查平面向量數量積的計算.代數法：|+2|=||+4·+4||=4+4×2×1×cos 60°+4=12，故幾何法：利用如下圖形(圖1)，可以判斷出+2的模長是以2為邊長，一個角為60°的菱形的較長對角線的長度，則為

圖1

2.2 試題融合其他知識點統(tǒng)計分析

平面向量與其他知識點的融合具有明顯的傾向性(表3)，38道平面向量試題中，10道融合了其他知識，其中與圓錐曲線的融合包括圓、橢圓、雙曲線與拋物線，共有6道，其余4道是與三角函數及解三角形、函數、數列融合.

表3 2012—2021全國卷平面向量試題交匯知識統(tǒng)計

交匯知識圓錐曲線圓橢圓雙曲線拋物線三角函數及解三角形函數數列考查題數1212211

當平面向量試題融合其他知識時，多考查平面向量的坐標運算，多數為數量積及模與夾角、垂直的坐標運算.如：

例3

(2021年新高考Ⅱ卷第10題)已知

O

為坐標原點，點

P

(cos

α

,sin

α

)，

P

(cos

β

,-sin

β

)，

P

(cos(

α

+

β

),sin(

α

+

β

))，

A

(1,0)，則( )

分析 本題情境熟悉，是知識交匯題，主要考查平面向量的模、數量積運算以及三角恒等變換，難度中等.通過計算可知故A,C正確.

例4

(2018年全國Ⅲ卷第20題)已知斜率為

k

的直線

l

與橢圓交于

A

，

B

兩點，線段

AB

的中點為

M

(1,

m

)(

m

>0).

(1)證明：

(2)設

F

為

C

的右焦點，

P

為

C

上一點,且證明：成等差數列，并求該數列的公差.分析 本題主要考查直線與橢圓的位置關系，等差數列的性質以及平面向量的坐標運算，重點考查數學抽象、邏輯推理、數學運算素養(yǎng)以及函數與方程、轉化與化歸的數學思想方法.(1)設而不求，利用點差法進行證明；(2)解出

m

，進而求出點

P

的坐標，得到再由兩點間距離公式表示出得到直線

l

的方程，聯立直線與橢圓方程用韋達定理進行求解.

解

(1)設

A

(

x

,

y

),

B

(

x

,

y

),則

兩式相減，并由得

由題意知于是①

由題意得故

(2)由題意得

F

(1,0)，設

P

(

x

,

y

)，則(

x

-1,

y

)+(

x

-1,

y

)+(

x

-1,

y

)=(0,0).由(1)及題設得

x

=3-(

x

+

x

)=1,

y

=-(

y

+

y

)=-2

m

<0.又因為點

P

在

C

上，所以從而

于是同理

所以

故即成等差數列.

設該數列的公差為

d

，則②將代入①得

k

=-1.所以

l

的方程為代入

C

的方程，并整理得故代入②解得

所以該數列的公差為或

3 研究結論與教學建議

3.1 研究結論

近十年高考數學全國卷平面向量試題近九成是選擇題和填空題，且選擇題居多，超七成試卷只有1道平面向量試題，分值5分，超兩成試卷有2道平面向量試題，分值為10分與17分(二者數量相差不大)，題目難度以易、中為主，占比和超八成，以知識融合題為主的難題占比低于兩成.平面向量試題考查知識點按比例由高至低依次為數量積及模與夾角、線性運算及其幾何意義、垂直、平行、平面向量基本定理，且對坐標運算的考查多于非坐標運算的考查.平面向量與其他知識的融合主要集中在圓錐曲線、三角函數與解三角形、函數、數列等.

3.2 教學建議

3

.

2

.

1

理解概念，牢記公式，穩(wěn)固雙基

教材對于平面向量內容多是按照基本概念→線性運算及其幾何意義→平面向量基本定理→坐標運算→平面向量數量積的順序編排，基本概念是后續(xù)知識展開的基礎，特別是平面向量基本定理，是坐標運算的“根”，坐標運算是其“果”.這部分知識前面概念多，后面公式多，但就全國卷而言考查內容簡單，多為選擇題和填空題，考查內容基本為數量積及模與夾角、線性運算及其幾何意義、垂直、平行、平面向量基本定理的簡單應用，有坐標運算，也有非坐標運算.因此在教學中須讓學生切實理解概念，記牢公式，穩(wěn)固雙基.

3

.

2

.

2

畫好圖形，精準運算，數形結合

平面向量兼具幾何與代數雙重屬性，教材安排也是先“幾何”后“代數”的順序，并且線性運算以及數量積運算都有豐富的物理背景，是學科交叉的良好案例.對于高中生而言，平面向量也是數形結合的良好案例.因此，在日常教學中，教師要注重學生畫圖習慣的養(yǎng)成，畫對圖，畫好圖，為之后的數學運算當好“眼睛”，在此過程中亦能培養(yǎng)數學抽象、直觀想象、邏輯推理及數學運算素養(yǎng).

3

.

2

.

3

總結反思，建構體系，提升素養(yǎng)

在平面向量與其他知識的融合中，可以發(fā)現平面向量充當輔助工具的作用，且這類題目往往對平面向量知識的考查多在坐標運算上，也很簡單，重點在于與其他知識融匯貫通，這就需要建構知識體系.高中數學知識點多，抽象程度也較高，但是好在知識之間彼此是相通的，所以我們的學習不會因所學知識的增多而負擔增重，反而會因發(fā)現、理解先后知識的聯系而嘆為觀止.因此，在教學中要注重引導學生對知識的梳理、總結、反思，總結的次數多了，學生就會發(fā)現知識間的聯系，找到聯系、及時反思，就能自主建構屬于自己的“知識體系”，當然在此過程中也可提升數學核心素養(yǎng).