惠姣姣，于娟

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

1986年,Babcock 和Westervelt[1]將電感引入到神經(jīng)電路來(lái)模擬慣性特性,這種用二階微分方程描述的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被稱為慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不僅比傳統(tǒng)的一階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型具有更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性,還具有廣泛的生物學(xué)背景[2-3].因此，慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)和同步性研究受到了更多學(xué)者的廣泛關(guān)注.

目前,研究慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的方法主要包括變量轉(zhuǎn)換法、矩陣測(cè)度法和非降階法.其中非降階法因其能夠有效地降低理論推導(dǎo)難度并能保留系統(tǒng)的慣性特征而被廣泛應(yīng)用于慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性、正定性、周期性和同步性等研究中.然而,目前基于非降階法的研究工作[4-6]主要集中于探討實(shí)變量的慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,而關(guān)于更一般的復(fù)值慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)研究結(jié)果較少.事實(shí)上,復(fù)值慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以用于更廣泛的領(lǐng)域,包括圖像重建、非線性濾波和模式的識(shí)別與分類.另外,在當(dāng)前的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7-9]研究中,實(shí)虛部分離法是一種常用的理論分析技巧,其主要思想是先將復(fù)值慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型分解成兩個(gè)實(shí)值子系統(tǒng),再對(duì)子系統(tǒng)進(jìn)行討論.雖然這種分離方法是有效的,但會(huì)增加理論分析的難度.文獻(xiàn)[10]在不分離復(fù)變量的前提下,分析了復(fù)值憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)固定時(shí)間同步問(wèn)題.目前,在不分離復(fù)變量的框架下,通過(guò)非降階法分析復(fù)值慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步控制問(wèn)題仍具有挑戰(zhàn)性.

相比于連續(xù)反饋控制,間歇控制作為一種不連續(xù)的控制策略,能夠更有效地節(jié)約控制成本,近年來(lái)被廣泛應(yīng)用到各種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[11-13]的研究中.但是,很少有學(xué)者討論在非周期間歇控制下的復(fù)值慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問(wèn)題.

基于上述討論,本文將基于非周期間歇控制探討具有變時(shí)滯的復(fù)值慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)同步問(wèn)題,主要結(jié)論包含以下幾個(gè)方面.第一,建立了具有離散時(shí)滯和分布時(shí)滯的復(fù)值慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,它比傳統(tǒng)的慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[14]更具有一般性；第二,直接對(duì)復(fù)值響應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)間歇控制策略,不僅避免了現(xiàn)有研究[15-16]中將慣性神經(jīng)系統(tǒng)先降次再控制的復(fù)雜控制設(shè)計(jì),還降低了將復(fù)值系統(tǒng)劃分為兩個(gè)實(shí)值子系統(tǒng)引起的理論推導(dǎo)難度；第三，通過(guò)直接對(duì)同步誤差系統(tǒng)構(gòu)造Lyapunov 泛函,得到了具有較低保守性的指數(shù)同步判據(jù).

1 模型的描述及預(yù)備知識(shí)

考慮如下復(fù)值慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型:

其中:sp(t)表示第p 個(gè)神經(jīng)元在t 時(shí)刻的狀態(tài)向量,二階導(dǎo)數(shù)表示系統(tǒng)(1)的慣性項(xiàng),ap>0,bp>0,cpq,dpq和mpq代表復(fù)值的連接權(quán)重,fq(·)是第q 個(gè)神經(jīng)元的復(fù)值激活函數(shù),ν(t)和τ(t)是時(shí)變時(shí)滯且滿足0<ν(t)≤ν,˙ν(t)≤ν*<1,0<τ(t)≤τ 以及˙τ(t)≤τ*<1,Ip(t)是外部輸入.

系統(tǒng)(1)的初始條件為

其中:p ∈Γ,?=max{ν,τ},φp(χ)和ψp(χ)是連續(xù)有界函數(shù).

設(shè)系統(tǒng)(1)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),對(duì)應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為

其中:rp(t)為響應(yīng)系統(tǒng)中第p 個(gè)神經(jīng)元的狀態(tài),Up(t) 是間歇控制器,其他符號(hào)的定義與系統(tǒng)(1)中的相同.

系統(tǒng)(2)的初始條件為

其中:p ∈Γ,k ∈N+,εp>0 和δp>0 表示控制增益,tk和σk分別表示第k 個(gè)間歇周期內(nèi)的控制開始時(shí)間和停息開始時(shí)間.

2 主要結(jié)論

定義wp(t)=rp(t)-sp(t)是同步誤差,由系統(tǒng)(1),系統(tǒng)(2)和控制器(3)可得誤差系統(tǒng):

定理1在假設(shè)1～3 下, 若存在兩個(gè)正數(shù)和μ使得則系統(tǒng)(1)和(2)在控制器(3)下達(dá)到指數(shù)同步.

證明構(gòu)造如下的Lyapunov 泛函

由定義1 可知,系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)是指數(shù)同步的.

定義Θ={p ∈Γ:Ap=0}.根據(jù)假設(shè)3 易知,對(duì)任意的p ∈Γ,有Cp=0 和Bp≤0.顯然,當(dāng)tk≤t ≤σk時(shí),V˙(t)≤0.當(dāng)αp=βp(ap+bp+εp+δp-2μ-1) 時(shí),即Cp=0,假設(shè)3 可以改為如下的假設(shè).

假設(shè)4存在正常數(shù)βp使得

推論基于假設(shè)1,2,4,如果Ξ=μ-Π>0,則系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)在控制器(3)下是指數(shù)同步的.

注1在文獻(xiàn)[4]中,非降階法被用來(lái)討論具有離散時(shí)滯的實(shí)值慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)穩(wěn)定問(wèn)題.相比于此工作,本文提出了一類更一般的模型,即具有混合時(shí)滯的復(fù)值慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,并得到了保證驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)指數(shù)同步的新準(zhǔn)則.

3 數(shù)值模擬

考慮如下復(fù)值慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型:

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(14) 的動(dòng)力學(xué)行為如圖1 和圖2 所示.其中:初值為φ1(χ)=0.2-0.3i,ψ1(χ)=-0.5+0.3i,φ2(χ)=-0.6+0.2i,ψ2(χ)=0.4-0.7i,χ ∈[-1,0].

圖1 系統(tǒng)(14)的實(shí)值部分的混沌行為

圖2 系統(tǒng)(14)的復(fù)值部分的混沌行為

選取控制增益為ε1=5,ε2=8,δ1=19,δ2=24,非周期間歇控制的控制時(shí)間序列為:[0,1],[2,3.2],[4,7.2],[8,9.4],[12.7,15.8],[16,19],[20.1,23],[23.9,25.3],[27,30],[30.5,32.5],[34,35.5],[37,39.5],[40,43.5],[45,47.8],[50,55],···.

顯然,L1=L2=1,0<ν(t)<ν<1,0<ν˙(t)<ν*=0.25,τ(t)=τ=1,τ˙(t)=τ*=0.選取μ=0.1,α1=47.5,α2=32.7,β1=2,β2=1.則A1=-0.881 83,A2=-0.209 58,B1=-0.125 97,B2=-0.355 40,C1=-0.3,C2=-0.1.由定理1 可知驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(14)和響應(yīng)系統(tǒng)(15)是指數(shù)同步的,模擬結(jié)果見圖3～圖7,圖8 為間歇控制策略的時(shí)間演化.

圖3 s1 和r1 實(shí)值部分的同步圖

圖4 s1 和r1 復(fù)值部分的同步圖

圖5 s2 和r2 實(shí)值部分的同步圖

圖6 s2 和r2 復(fù)值部分的同步圖

圖7 同步誤差模擬

圖8 控制器的時(shí)間演化

4 結(jié)束語(yǔ)

與一階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比,慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擁有較快的收斂速度,較強(qiáng)的近似估計(jì)能力以及較大的存儲(chǔ)能力和容錯(cuò)能力.并且,深入地探討慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)和同步控制問(wèn)題,有助于慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)自動(dòng)化控制、醫(yī)學(xué)、語(yǔ)音識(shí)別、海洋遙感、圖像處理以及信息科學(xué)等領(lǐng)域提供宏觀指導(dǎo).因此,研究慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有很重要的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值.本文的主要?jiǎng)?chuàng)新包括:

(1)不同于大部分文章使用的復(fù)變量分離法,本文直接在復(fù)數(shù)域上構(gòu)造復(fù)值的Lyapunov 泛函并設(shè)計(jì)復(fù)值間歇控制器,直接分析慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的動(dòng)力學(xué)行為,并給出了具有混合時(shí)滯的復(fù)值慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步判據(jù).

(2)本文采用的非降階法在最大程度上保留了慣性項(xiàng)的慣性特征,降低了理論推導(dǎo)難度并且所得的結(jié)果具有較低的保守性.