夏孟瑤，蔣海軍，于志永

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

近幾十年來,多智能體系統(tǒng)的協(xié)同控制因其在無人機(jī)、航天器姿態(tài)協(xié)調(diào)、電網(wǎng)電源管理[1-3]等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而引起了人們的廣泛關(guān)注.一致性行為是一種合作控制行為,其目的是使智能體之間通過信息交換從而達(dá)成某種統(tǒng)一的協(xié)議.到目前為止,為了解決多智能體系統(tǒng)一致性問題,學(xué)者們從不同的方面提出了不同的有效的控制協(xié)議,如事件觸發(fā)控制、滑模控制等[4-5].

在實(shí)際環(huán)境中,像物理系統(tǒng)、機(jī)械設(shè)備系統(tǒng)等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)往往會受到不確定性環(huán)境的影響,這種干擾可以稱為隨機(jī)干擾.文獻(xiàn)[6]為了處理未知和時(shí)變問題提出了時(shí)變一致性方案,解決了一類不確定隨機(jī)非線性多智能體系統(tǒng)的時(shí)變一致性問題.在另一個學(xué)術(shù)領(lǐng)域,Markov 跳躍系統(tǒng)受到了廣泛的關(guān)注,因?yàn)樗且环N混合系統(tǒng),具有描述大多數(shù)物理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)突變的優(yōu)勢,如意外事件和不受控制的結(jié)構(gòu)型變化.它是在不同時(shí)間從一種模式切換到另一種模式的切換系統(tǒng),不同模式之間的切換可以通過Markov 鏈來實(shí)現(xiàn).文獻(xiàn)[7]研究了一類具有Markov 特征的二階多智能體系統(tǒng)的一致性問題,其中隨機(jī)切換拓?fù)浜碗S機(jī)通信時(shí)滯由兩個相互獨(dú)立的Markov 鏈所控制.直到現(xiàn)在,研究Markov 跳躍的隨機(jī)多智能體系統(tǒng)較少.因此,本文考慮了具有Markov 跳躍的隨機(jī)主從多智能體系統(tǒng).

在動力系統(tǒng)的演化過程中,由于受外部環(huán)境干擾或者機(jī)器發(fā)生故障,系統(tǒng)在某一時(shí)刻發(fā)生的突然變化稱為脈沖效應(yīng)[8-10].脈沖效應(yīng)作為一種普遍存在的現(xiàn)象,有很多優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn),它的優(yōu)點(diǎn)是提高數(shù)據(jù)安全性,降低控制成本.缺點(diǎn)是它會破壞系統(tǒng)的性能.文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)了一種混合有限時(shí)間穩(wěn)定控制器,利用Lyapunov 函數(shù)給出了脈沖動力系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定條件.

與現(xiàn)有的研究相比,本文的主要貢獻(xiàn)如下:(1) 本文考慮了具有脈沖效應(yīng)的Markov 跳躍和隨機(jī)擾動的主從多智能體系統(tǒng)；(2) Markov 跳躍函數(shù)不僅存在于系統(tǒng)中,而且應(yīng)用于所設(shè)計(jì)的控制器中.同時(shí),本文還考慮了脈沖效應(yīng).從而使得系統(tǒng)在固定時(shí)間內(nèi)達(dá)到一致.

1 模型建立及預(yù)備知識

首先,給出本文所用到的記號.其中Rn表示n 維歐幾里得空間.‖·‖ 表示歐幾里得范數(shù).IN表示N 維單位矩陣.對于矩陣 A,AT,λmax(A) 和λmin(A) 分別代表矩陣A 的轉(zhuǎn)置、最大特征值和最小特征值.A>0 表示矩陣A 是一個正定矩陣.diag(·) 表示對角矩陣.sign(·) 代表符號函數(shù).E{·} 表示數(shù)學(xué)期望.

考慮由N 個智能體所組成的網(wǎng)絡(luò),網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D由圖G=(V,E) 表示,其中V={1,2,···,N} 表示節(jié)點(diǎn)集,E={(i,j)|i,j ∈V} 表示邊集,記智能體i 的鄰居節(jié)點(diǎn)集為Ni={j|(i,j)∈E}.A=[aij]∈RN×N是圖G 的鄰接矩陣,若(i,j)∈E,則aij>0,否則,aij=0.對于無向圖G 來說,aij=aji.記節(jié)點(diǎn)的度矩陣為D=diag{d1,d2,···,dN},其中P 則圖G 的拉普拉斯矩陣定義為L=D-A.令矩陣H=L+B,其中B=diag{b1,b2,···,bN},如果智能體i 能夠接收到領(lǐng)導(dǎo)者的信息,則bi=1,否則,bi=0.

Markov 鏈r(t)(t ≥0) 在概率空間(Ω,F,Ft≥0,P) 上是右連續(xù)的,它在有限集S={1,2,···,s} 上取值且算子θ=[θdρ]s×s(d,ρ ∈S) 滿足

第i 個跟隨者智能體的隨機(jī)動力系統(tǒng)描述為

其中r(t),t ≥0 表示在t 時(shí)刻馬爾可夫過程的模態(tài)演變過程.A(r(t)),B(r(t))∈Rn×n表示模態(tài)為r(t)的常數(shù)矩陣.xi(t)∈Rn,(i=1,···,N) 表示第i 個智能體的狀態(tài),ui(r(t))∈Rn代表第i 個智能體的控制輸入向量.f(·)∈Rn表示i 個智能體的連續(xù)函數(shù).g(·)∈Rn×n為跟隨者智能體的噪聲強(qiáng)度函數(shù).w(t)∈Rn表示布朗運(yùn)動,并且滿足E{dw(t)}=0 和E{[dw(t)]2}=dt,假設(shè)Markov 鏈r(·) 與布朗運(yùn)動w(·) 是相互獨(dú)立的.

領(lǐng)導(dǎo)者x0(t) 的隨機(jī)動力系統(tǒng)描述為其中x0(t)∈Rn表示領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài),f(x0(t),t)∈Rn表示領(lǐng)導(dǎo)者的連續(xù)函數(shù),g(x0(t),t)∈Rn×n表示領(lǐng)導(dǎo)者的噪聲強(qiáng)度函數(shù).

下面給出一些假設(shè)、引理和定義.

假設(shè)1對于任意的向量x ∈Rn,y ∈Rn,假設(shè)函數(shù)f(·) 是Lipschitz 連續(xù)的,則存在一個常數(shù)k1>0 使得

‖f(x(t),t)-f(y(t),t)‖≤k1‖x(t)-y(t)‖.

假設(shè)2對于噪聲強(qiáng)度函數(shù)g(xi(t),t),xi(t)∈Rn滿足以下Lipschitz 條件

定義1對于一個時(shí)間T(0) 不依賴于系統(tǒng)初值xi(0),x0(0),如果說系統(tǒng)(2) 和系統(tǒng)(3) 在固定時(shí)間內(nèi)達(dá)到一致,則有l(wèi)imt→TE{‖xi(t)-x0(t)‖}=0 和E{‖xi(t)-x0(t)‖}≡0,t ≥T 成立.其中T 為停息時(shí)間.

2 主要結(jié)論

為了實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間一致,設(shè)計(jì)以下切換反饋控制器

則根據(jù)引理2 得到停息時(shí)間T 為

根據(jù)以上分析,存在一個與智能體的初值狀態(tài)無關(guān)的時(shí)間T,使得

根據(jù)定義1 可得隨機(jī)多智能體系統(tǒng)(2) 和(3) 在控制協(xié)議(4) 下能夠在固定時(shí)間內(nèi)達(dá)到一致.

當(dāng)系統(tǒng)不帶有隨機(jī)干擾時(shí),則可以將系統(tǒng)(2) 和(3) 改寫為以下模型

注1推論1 的證明與定理1 的證明相同,但是α1(r(t))的取值范圍不同.因?yàn)橄到y(tǒng)(2)和(3)中存在隨機(jī)干擾,所以定理1 中的α1(r(t)) 取值與k2有關(guān).而推論1 中的α1(r(t)) 取值與k2無關(guān),所以在隨機(jī)系統(tǒng)(1)和(2)中α1(r(t)) 的取值范圍比系統(tǒng)(14)和(15) 中的更為嚴(yán)格.

3 數(shù)值模擬

在本節(jié)將以數(shù)值模擬來驗(yàn)證本文所提出的控制算法的正確性.

考慮具有Markov 跳躍的主從隨機(jī)多智能體系統(tǒng),令n=2,N=5,并選取如下的轉(zhuǎn)移概率矩陣P

脈沖增益矩陣選取為

非線性函數(shù)fi(xi(t),t) 選取為

噪聲強(qiáng)度函數(shù)g(xi(t),t) 為

令智能體的初值狀態(tài)為x0=(-30,12)T,x1=(25,-20)T,x2=(14,-23)T,x3=(-10,-5)T,x4=(-40,-6)T.

圖1 表示系統(tǒng)維納過程.圖2 表示定理1 中的Markov 切換過程.圖3 和圖4 描述了在系統(tǒng)不受控制的條件下智能體的狀態(tài)軌跡圖.

圖1 維納過程

圖2 Markov 切換過程

圖3 無控制下的智能體xi1(t) 狀態(tài)軌跡

圖4 無控制下的智能體xi2(t) 狀態(tài)軌跡

通過選取滿足假設(shè)定理的合適參數(shù)k1=1,k2=2,α1(1)=0.73,α1(2)=0.69,β1(1)=0.9,β1(2)=1.15,β2(1)=1.2,β2(2)=0.8,qd=1.02,并令ν=0.4,u=1.2,得到了固定時(shí)間一致的圖,其中圖5 和圖6 表示控制下的智能體的狀態(tài)軌跡.從數(shù)值模擬中可以看到本文所設(shè)計(jì)的控制器的有效性.

圖5 控制下的智能體xi1(t) 狀態(tài)軌跡

圖6 控制下的智能體xi2(t) 狀態(tài)軌跡

4 結(jié)論

本文考慮了具有Markov 跳躍的主從隨機(jī)多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問題.考慮綜合因素,設(shè)計(jì)了具有脈沖效應(yīng)的非線性狀態(tài)反饋切換控制協(xié)議.通過應(yīng)用線性矩陣不等式、隨機(jī)分析理論以及Lyapunov 穩(wěn)定性理論給出了主從多智能體系統(tǒng)在固定時(shí)間內(nèi)達(dá)到一致的相關(guān)準(zhǔn)則.